El conjunto de los números naturales
En la tribuna del Estadio Centenario, cada hincha tiene un número de entrada. ¿Existe una entrada con el número más grande de todos? ¿Y una con un número entre el $7$ y el $8$? El conjunto de los números naturales tiene reglas propias que conviene dejar claras antes de operar en serio.
El conjunto $\mathbb{N}$
Valor de posición y descomposición polinómica
En nuestro sistema decimal, una cifra vale distinto según el lugar que ocupa. Cada lugar vale $10$ veces el de su derecha.
Con potencias de $10$ queda la descomposición polinómica:
$$52.908 = 5 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 8$$En el sistema de numeración decimal, el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. En el número 7.475, indica qué valor representa el primer "7" (empezando por…
En el sistema de numeración decimal, el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. En el número 7.475, indica qué valor representa el primer "7" (empezando por la izquierda) y qué valor representa el segundo "7". ¿Cuántas veces es mayor el primero respecto al segundo?
La población estimada de una red social en el año 2023 alcanzó la cifra de $1.205.040.300$ usuarios activos. a) Escribe cómo se lee dicho número en castellano. b)…
La población estimada de una red social en el año 2023 alcanzó la cifra de $1.205.040.300$ usuarios activos.
- a) Escribe cómo se lee dicho número en castellano.
- b) Realiza su descomposición polinómica utilizando potencias de base $10$.
- c) ¿Cuál es el valor posicional de la cifra $5$ en dicho número?
Considera el número natural $N = 47.082$. a) Si intercambiamos la cifra de las unidades de millar con la cifra de las decenas, ¿cuál es la diferencia entre el número…
Considera el número natural $N = 47.082$.
- a) Si intercambiamos la cifra de las unidades de millar con la cifra de las decenas, ¿cuál es la diferencia entre el número original y el nuevo número obtenido?
- b) ¿Cuántas centenas completas hay en total en el número $N$?
- c) Escribe el número natural más cercano a $N$ que termine en tres ceros.
Propiedades de las operaciones
Las operaciones en $\mathbb{N}$ cumplen propiedades que te ahorran cuentas. Todas tienen nombre.
| Propiedad | Suma | Producto |
|---|---|---|
| Conmutativa | $a + b = b + a$ | $a \cdot b = b \cdot a$ |
| Asociativa | $(a + b) + c = a + (b + c)$ | $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ |
| Elemento neutro | $a + 0 = a$ | $a \cdot 1 = a$ |
La distributiva une las dos operaciones: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Potencias y cuadrados perfectos
Una potencia es un producto de factores iguales: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$ y $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$. La base es el factor que se repite y el exponente dice cuántas veces.
Lucía quiere organizar su colección de $36$ pegatinas formando un cuadrado perfecto sobre la tapa de su álbum. ¿Cuántas pegatinas debe poner en cada lado del cuadrado…
Lucía quiere organizar su colección de $36$ pegatinas formando un cuadrado perfecto sobre la tapa de su álbum. ¿Cuántas pegatinas debe poner en cada lado del cuadrado para que no le sobre ninguna? Dibuja un esquema sencillo de la solución.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un almacén de logística se organizan cajas de zapatos formando cubos perfectos. Si una estantería tiene una base cuadrada de $7 \times 7$ cajas y se apilan hasta…
En un almacén de logística se organizan cajas de zapatos formando cubos perfectos. Si una estantería tiene una base cuadrada de $7 \times 7$ cajas y se apilan hasta alcanzar la misma altura para formar un cubo:
- a) ¿Cuántas cajas hay en total en la estantería? Exprésalo en forma de potencia y calcula el valor.
- b) Si se venden $150$ cajas, ¿cuál es el número máximo de cajas que pueden seguir formando un cuadrado perfecto en el suelo del almacén? ¿Cuántas cajas sobrarían en ese caso?
Jerarquía de operaciones
Cuando una expresión mezcla sumas, restas, productos, divisiones, potencias y paréntesis, el orden no es libre: hay una jerarquía fija.
En un desafío de lógica matemática, se te entrega una expresión a la que le faltan paréntesis para que el resultado sea correcto. Coloca los paréntesis necesarios para…
En un desafío de lógica matemática, se te entrega una expresión a la que le faltan paréntesis para que el resultado sea correcto. Coloca los paréntesis necesarios para que se cumpla la igualdad:
$$5 + 3 \cdot 8 - 6^2 : 4 + 2 = 23$$Una vez resuelto, explica paso a paso la jerarquía de operaciones que has seguido para llegar al resultado de $23$.
Números romanos
Antes del sistema decimal, en Roma se escribía con letras. Los ves en fechas de edificios y en los relojes antiguos.
Caminando por el centro de tu ciudad, ves una placa en un monumento antiguo que indica el año de su construcción en números romanos: MDCCCXCVII. Traduce esa fecha a…
Caminando por el centro de tu ciudad, ves una placa en un monumento antiguo que indica el año de su construcción en números romanos: MDCCCXCVII. Traduce esa fecha a nuestro sistema de numeración decimal.
Números con patrones especiales
Algunos naturales esconden un patrón geométrico. Los cuadrados perfectos ya los viste; los números hexagonales se forman con puntos ordenados en hexágonos que van creciendo. Los primeros son $1, 6, 15, 28, \ldots$
La variable $n$ indica la posición en la secuencia, y la fórmula $H_n = 2n^2 - n$ da el número de puntos. Para usarla, sustituís $n$ y respetás la jerarquía.
Otra familia son los capicúas: se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, como $4.774$. Un capicúa de cuatro cifras tiene la forma $abba$.
Los pitagóricos estudiaban los números poligonales. Observa la siguiente secuencia de números hexagonales y responde: 1. Dibuja o describe cómo sería la figura del…
Los pitagóricos estudiaban los números poligonales. Observa la siguiente secuencia de números hexagonales y responde:
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Dibuja o describe cómo sería la figura del cuarto número hexagonal ($H_4$).
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¿Cuántos puntos tendrá la figura $H_5$?
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Sabiendo que la fórmula para calcular el número hexagonal que ocupa la posición $n$ es $H_n = 2n^2 - n$, calcula el valor para $H_{12}$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un número natural de cuatro cifras cumple las siguientes condiciones: Es un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda). La suma de…
Un número natural de cuatro cifras cumple las siguientes condiciones:
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Es un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).
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La suma de sus cifras es $24$.
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La cifra de las unidades de millar es el triple que la cifra de las centenas.
Determina razonadamente de qué número se trata y represéntalo mediante su descomposición polinómica.
Resumen
Volvé al principio: no existe una entrada con el número más grande, porque $\mathbb{N}$ es infinito, y entre el $7$ y el $8$ no hay ningún natural.