Rectas paralelas, secantes y coincidentes

Tres posiciones posibles

Si ambas rectas están escritas en forma pendiente-intersección $y = mx + b$, las pendientes te dicen casi todo.

Prueba los deslizadores: cambia la pendiente $m$ de la primera recta y observa cómo cambia su posición respecto de $y = 2x - 3$.

Algunos problemas llaman a la forma pendiente-intersección ecuación explícita, a la forma estándar $Ax + By + C = 0$ ecuación general y a la forma simétrica (la verás más adelante en esta página) forma continua. Son solo distintas maneras de escribir la misma recta.

Comparar coeficientes en $Ax + By + C = 0$

Muchos problemas dan las rectas como $Ax + By + C = 0$. (En EE. UU., la forma estándar suele escribirse $Ax + By = C$, que es lo mismo con $C$ pasado al otro lado.) Despeja $y$ para ver la pendiente:

Comparar las pendientes y las intersecciones de dos rectas así escritas da un atajo que no necesita reescribir nada.

Hallar el punto de intersección

Si dos rectas son secantes, el punto donde se cruzan está en ambas. Por eso sus coordenadas cumplen las dos ecuaciones, es decir, se obtiene resolviendo el sistema de las dos ecuaciones (por sustitución o por eliminación).

Rectas dadas por dos puntos, ecuaciones paramétricas o forma simétrica

Las rectas no siempre llegan como $y = mx + b$. La estrategia es siempre la misma: hallar la pendiente de cada recta. Si las pendientes son distintas, las rectas son secantes. Si coinciden, prueba un punto de la primera recta en la segunda.

Tres maneras de leer una pendiente

• Dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• Ecuaciones paramétricas $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$: la recta pasa por $(x_0, y_0)$ (cuando $t = 0$) y avanza $a$ unidades horizontales y $b$ verticales por cada paso de $t$. Así, el vector director es $\langle a, b \rangle$ y la pendiente es $\dfrac{b}{a}$.

• Forma simétrica $\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b}$: la recta pasa por $(x_0, y_0)$ y de nuevo la pendiente es $\dfrac{b}{a}$. Para obtener la forma $y = mx + b$, multiplica en cruz: $b(x - x_0) = a(y - y_0)$.

Dos vectores directores apuntan en la misma dirección cuando sus componentes son proporcionales.

Rectas paralelas y perpendiculares por un punto

A menudo tienes que construir una recta nueva: por un punto y paralela a una recta dada, o por un punto y perpendicular a ella.

El camino más corto de un punto a una recta es el segmento perpendicular. Por eso "el cable más corto de un punto a una carretera" es la perpendicular que pasa por ese punto.

Triángulos formados por tres rectas

Tres rectas que son secantes dos a dos forman un triángulo, siempre que no pasen las tres por un mismo punto. Sus vértices son los tres puntos de intersección, uno por cada par de rectas. Si las tres rectas se cortan en un único punto, los tres puntos de intersección son el mismo y no hay triángulo.

Una recta y los dos ejes coordenados también forman un triángulo. Sus vértices son el origen y las dos intersecciones, y como los ejes son perpendiculares, es un triángulo rectángulo con las intersecciones como catetos.

Pies de perpendiculares, reflexiones y rectángulos

Si combinas rectas perpendiculares con intersecciones, puedes resolver problemas de geometría más difíciles.

Reflejar un punto respecto de una recta

Para reflejar el punto $A$ respecto de la recta $r$: traza la perpendicular desde $A$ hasta $r$, halla dónde corta a $r$ (el pie $M$) y avanza la misma distancia más allá. Así, $M$ es el punto medio de $A$ y su imagen $A'$:

Un rayo que rebota en el eje x

Un espejo sobre el eje $x$ refleja la figura respecto del eje: $y$ se convierte en $-y$. Un rayo que llega al espejo en un punto y sale con ángulos iguales conserva ese punto y cambia el signo de la pendiente.

Rectángulos

En un rectángulo, los lados opuestos son paralelos y los lados adyacentes son perpendiculares. Si dos lados dados son perpendiculares y hay un vértice $P$ en otro lugar, los otros dos lados pasan ambos por $P$ y son paralelos a los lados dados.

Resumen

De vuelta al mapa: dos calles que "en realidad son la misma calle" son rectas coincidentes. Lo detectas cuando todas las razones entre coeficientes coinciden, o cuando las pendientes y las intersecciones son iguales.