Ejercicios: Posición relativa de dos rectas

Escriba la posición relativa de las rectas $r: y = 3x - 5$ y $s: y = -2x + 4$ justificando su respuesta a partir de sus pendientes.

Determine la posición relativa de las rectas $r: 2x - 4y + 6 = 0$ y $s: -x + 2y - 3 = 0$ comparando sus coeficientes.

Calcule las coordenadas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 5 = 0$.

Halle la ecuación explícita de la recta paralela a $r: y = -4x + 1$ que pasa por el punto $P(0, 3)$.

Compruebe si las rectas dadas en forma continua $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ y $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ son paralelas o secantes.

Calcule el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: 3x + ky - 2 = 0$ y $s: x - 2y + 5 = 0$ sean paralelas.

Dadas las rectas $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ y $s: 2x + y - 7 = 0$, estudie su posición relativa comparando sus vectores directores y comprobando si un punto de $r$ pertenece a $s$.

Halle el punto de intersección de la recta $r: 3x - 2y - 12 = 0$ con el eje de abscisas (eje X).

Dos tuberías principales de riego en un campo de cultivo siguen las trayectorias de las rectas $r: 5x + 3y - 15 = 0$ y $s: 2x - y + 5 = 0$. Averigüe si se cruzan y, en caso afirmativo, halle las coordenadas exactas del punto de conexión.

Una carretera recta sigue la ecuación $2x - y + 4 = 0$. Un repetidor de telefonía celular está situado en el punto $P(5, 1)$. Halle la ecuación general de la línea de cableado más corta (que debe ser perpendicular) que une el repetidor con la carretera.

En el plano arquitectónico de un edificio, dos muros de carga vienen dados por las ecuaciones $r: ax - 6y + 12 = 0$ y $s: 2x + by - 4 = 0$. Determine los valores de $a$ y $b$ para que ambos muros representen exactamente la misma línea (rectas coincidentes).

Un dron de rescate se desplaza por la línea recta que pasa por los puntos $A(-2, 1)$ y $B(4, 5)$. Otro dron de vigilancia sigue la trayectoria dada por la recta $s: y = \frac{2}{3}x + 4$. Determine si sus trayectorias son paralelas o si, por el contrario, se cortan en algún punto.

Dos barcos navegan con trayectorias dadas por las ecuaciones paramétricas $r: x = 1 + 2t, y = -3 + t$ y $s: x = -1 + 4k, y = 2 + 2k$. Compruebe analíticamente si sus rutas son paralelas o si navegan por la misma línea.

Calcule el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 2y - 5 = 0$ y $s: 3x - y + 1 = 0$ sean perpendiculares.

En un programa de diseño 3D, un láser corta una plancha metálica a lo largo de la recta $r: 4x - 3y - 12 = 0$. Halle la ecuación general de otra recta de corte, paralela a la anterior, que pase por el punto $Q(-1, 2)$.

Dos cometas siguen trayectorias rectilíneas en un modelo espacial 2D. El primero pasa por los puntos $P(0, 4)$ y $Q(3, 0)$. El segundo tiene por ecuación continua $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{4}$. Compruebe si sus trayectorias se cruzan en algún punto o si son paralelas.

Tres calles forman un parque triangular en el centro de una ciudad. Las ecuaciones de las calles son $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: x - 2y + 6 = 0$. Calcule las coordenadas exactas de los tres vértices del parque.

Discuta la posición relativa de las rectas $r: kx + y - 3 = 0$ y $s: 4x + ky - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $k$.

Un robot aspirador se mueve sobre la trayectoria descrita por la recta $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Al encontrar un obstáculo exactamente en el punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y), gira $90^{\circ}$ y continúa su marcha en línea recta. Halle la ecuación general de la nueva trayectoria y el punto donde cortará al eje de abscisas (eje X).

Halle las coordenadas del punto simétrico de $A(2, 5)$ respecto de la recta $r: x - 2y + 3 = 0$.

Los lados de un terreno con forma de cuadrilátero están situados sobre las rectas $r: 2x + y - 5 = 0$ y $s: x - 2y + 5 = 0$. Sabiendo que uno de los vértices del terreno es el punto $P(4, 2)$ y que el recinto es un rectángulo perfecto, halle las ecuaciones generales de las rectas que contienen a los otros dos lados.

Calcule el área del triángulo que forma la recta $r: 5x + 2y - 20 = 0$ con los dos ejes de coordenadas.

Dadas las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: x + y - 1 = 0$, halle la ecuación explícita de una recta paralela a $r$ que pase por el punto de intersección de $s$ con el eje de abscisas.

Un rayo de luz sigue la trayectoria de la recta $r: x - y + 2 = 0$ e incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje X. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión respecto a la normal, halle la ecuación general de la recta que describe el rayo reflejado.