El maestro de ciencias le pregunta a Jayden: "¿Qué altura tiene el asta de la bandera que está frente a nuestra escuela?". Nadie quiere subirse, y la cinta métrica solo llega a 25 pies. Jayden mide 5 ft y, en una tarde soleada, su sombra mide 6 ft mientras que la sombra del asta mide 36 ft. ¿Es suficiente información? Con triángulos semejantes, sí.
Los tres criterios de semejanza
Dos figuras son semejantes (similar) cuando tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Una se puede transformar en la otra mediante movimientos rígidos y una dilatación.
No necesitas comprobar las seis condiciones. Basta con uno de estos tres criterios.
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Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y…
Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y otro de $75^\circ$. Determina si ambos triángulos son semejantes justificando tu respuesta con base en los criterios de semejanza.
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y…
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. En caso afirmativo, indica cuál es el criterio utilizado y la razón de semejanza.
Cuando sabes que dos triángulos son semejantes, el factor de escala $k = \dfrac{\text{longitud nueva}}{\text{longitud original}}$ te da todos los lados que faltan. Si $k > 1$, el triángulo nuevo es más grande. Si $k < 1$, es más pequeño.
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Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide…
Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide $15\text{ cm}$, calcula la longitud de los otros dos lados del segundo triángulo.
Triángulos dentro de triángulos: el teorema de la proporcionalidad de los triángulos
Traza una recta paralela a un lado de un triángulo de modo que corte a los otros dos lados. Se forma un triángulo pequeño que comparte un ángulo con el grande. Los otros dos ángulos son congruentes porque son ángulos correspondientes entre rectas paralelas. Eso es AA, así que el triángulo pequeño y el grande son semejantes.
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En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que…
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ y $DE = 5\text{ cm}$, aplica el teorema de Tales en el triángulo para calcular la longitud de la base $BC$.
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y…
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y $EC = 3\text{ cm}$. Aplica el teorema de Tales para plantear una ecuación y calcular el valor numérico de $x$.
La luz del sol llega en rayos paralelos, así que, en el mismo momento, todo objeto vertical forma el mismo ángulo con su sombra. Cada objeto y su sombra forman un triángulo rectángulo. Los dos triángulos comparten el ángulo del sol y un ángulo de $90^\circ$. Eso es AA.
Volviendo a la pregunta del principio: el asta mide 30 pies de altura.
Un farol funciona igual, pero la luz es un solo punto, así que los rayos no son paralelos. La lámpara, la parte superior de la cabeza de la persona y la punta de la sombra están sobre una misma recta. Eso da un triángulo pequeño dentro de uno grande.
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Un árbol proyecta una sombra de $8\text{ m}$ en el mismo instante en que un poste vertical de $1,5\text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $2\text{ m}$. Dibuja…
Un árbol proyecta una sombra de $8\text{ m}$ en el mismo instante en que un poste vertical de $1,5\text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $2\text{ m}$. Dibuja mentalmente los triángulos rectángulos que se forman y calcula la altura del árbol.
Un poste de luz tiene una altura de $4,5\text{ m}$. Una persona que mide $1,8\text{ m}$ se aleja del poste de luz en línea recta. En un momento dado, la persona se…
Un poste de luz tiene una altura de $4,5\text{ m}$. Una persona que mide $1,8\text{ m}$ se aleja del poste de luz en línea recta. En un momento dado, la persona se encuentra a $3\text{ m}$ de la base del poste de luz. Calcula la longitud $x$ de la sombra que proyecta la persona en ese instante.
Un foco de luz se encuentra en el suelo a $12\text{ m}$ de una pared vertical. Una persona de $1,8\text{ m}$ de altura camina desde el foco hacia la pared a una…
Un foco de luz se encuentra en el suelo a $12\text{ m}$ de una pared vertical. Una persona de $1,8\text{ m}$ de altura camina desde el foco hacia la pared a una velocidad constante de $1\text{ m/s}$. Aplica la semejanza de triángulos para calcular la altura $y$ de la sombra de la persona proyectada en la pared cuando han transcurrido $4\text{ s}$ desde que empezó a caminar.
Las sombras no son la única manera de formar triángulos semejantes. Un espejo en el suelo, una línea de visión que cruza un río y una cámara estenopeica producen el mismo par AA.
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Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1,5\text{ m}$ desde el…
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1,5\text{ m}$ desde el espejo, el estudiante (cuyos ojos están a $1,6\text{ m}$ del suelo) puede ver exactamente la parte más alta del edificio reflejada en él. Sabiendo que los ángulos de incidencia y reflexión en el espejo forman triángulos rectángulos semejantes, calcula la altura del edificio.
Para medir el ancho de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina…
Para medir el ancho de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina $15\text{ m}$ por la orilla hasta un punto $C$ y clava un jalón. Luego camina $3\text{ m}$ más hasta el punto $D$, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta un punto $E$, desde el cual ve alineados el jalón $C$ y el árbol $B$. Calcula el ancho $x$ del río.
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la…
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la cámara. Si la imagen invertida del edificio que se proyecta en el fondo de la cámara tiene una altura de $12\text{ cm}$, ¿cuál es la altura real del edificio?
Traza la altura desde el ángulo recto de un triángulo rectángulo hasta la hipotenusa. Divide el triángulo en dos triángulos rectángulos más pequeños. Ambos son semejantes al original y entre sí.
¿Por qué? En $\triangle ABC$ el ángulo en $C$ mide $90^\circ$. $\triangle ACD$ tiene un ángulo recto en $D$ y comparte $\angle A$ con él. $\triangle CBD$ tiene un ángulo recto en $D$ y comparte $\angle B$. Por AA,
Al leer las proporciones de estas semejanzas salen dos resultados famosos. Un número $x$ es la media geométrica de $m$ y $n$ cuando $x^2 = mn$, es decir, $x = \sqrt{mn}$.
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En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura $h$.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3,6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para…
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3,6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para hallar la longitud de dicho cateto.
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4,5\text{ cm}$. Aplica…
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4,5\text{ cm}$. Aplica los teoremas de la semejanza en triángulos rectángulos para calcular el perímetro y el área del triángulo completo.
Muchos problemas no muestran un triángulo rectángulo con su altura. Tienes que descubrirlo. Aquí van tres lugares donde buscar:
Rectángulo: la diagonal lo corta en dos triángulos rectángulos. La perpendicular desde un vértice hasta la diagonal es la altura sobre la hipotenusa y divide la diagonal en dos proyecciones.
Semicírculo: un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. Si $AB$ es un diámetro y $C$ está en la circunferencia, entonces $\triangle ABC$ es rectángulo en $C$.
Cono dentro de una esfera: si el vértice $A$ y el polo opuesto $B$ de la esfera forman un diámetro, y $C$ es un punto del borde de la base del cono, entonces $\angle ACB = 90^\circ$. La generatriz $AC$ es un cateto, el radio de la base es la altura desde $C$ hasta $AB$, y la proyección de $AC$ sobre $AB$ es la altura del cono.
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En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la…
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la altura mide $6\text{ cm}$, determina analíticamente la longitud de los dos segmentos y calcula el perímetro exacto del triángulo original.
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de…
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de los segmentos mide $7,2\text{ cm}$, halla el área total del rectángulo aplicando los teoremas del cateto y de la altura.
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de…
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de la esfera y la generatriz del cono para aplicar los teoremas de semejanza. Calcula el radio de la base del cono y su altura.
Si cada longitud de una figura se multiplica por $k$, el perímetro, que es una suma de longitudes, se multiplica por $k$. El área depende de dos longitudes (base y altura), así que se multiplica por $k \cdot k$.
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La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2,5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2,5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de…
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de $18\text{ m}$. Si el área de la vela pequeña es de $6\text{ m}^2$, ¿cuál es el área de la vela grande?
Corta una pirámide o un cono con un plano paralelo a su base. La cara del corte es semejante a la base. La pirámide o el cono pequeño que queda arriba del corte es semejante al sólido completo. El factor de escala es la razón de las distancias al vértice.
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Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a…
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a $3\text{ cm}$ del vértice. Calcula el área de la sección obtenida y el volumen de la pirámide deficiente (la pequeña pirámide superior).
Un tanque de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si el…
Un tanque de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si el tanque contiene agua hasta una altura de $2\text{ m}$, utiliza la relación entre los volúmenes de cuerpos semejantes para calcular el volumen de agua que contiene y el volumen vacío restante.
En los problemas más difíciles no te dibujan los dos triángulos. Busca rectas paralelas (AA por ángulos correspondientes), ángulos compartidos y ángulos rectos. Luego anota a qué triángulo pertenece cada longitud, al pequeño o al grande, antes de escribir una proporción.
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En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con…
En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo, y el vértice opuesto descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor exacto del lado del cuadrado $x$.
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable…
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable recto desde la parte superior de cada poste hasta la base del otro. Calcula a qué altura $h$ del suelo se cruzan ambos cables. Demuestra si este resultado depende o no de la distancia que separa los postes.
Se tiene un trapecio rectángulo cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se…
Se tiene un trapecio rectángulo cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se cortan en un punto, formando un triángulo en la parte superior. Calcula la altura $x$ de dicho triángulo superior y el área total del gran triángulo formado.