Rectas horizontales y verticales
Imagina el mapa de una ciudad en forma de cuadrícula, como el centro de Chicago. Si caminas hacia el este por una calle, tu posición norte-sur nunca cambia. Si caminas hacia el norte por una avenida, tu posición este-oeste nunca cambia. Esos caminos en los que algo "nunca cambia" son las rectas más sencillas del plano cartesiano, y cada una se escribe con una ecuación corta. ¿Cómo? Vamos a descubrirlo.
Rectas horizontales
¿Por qué funciona? Al moverte por una recta horizontal no subes ni bajas, así que $y$ se mantiene igual mientras $x$ toma cualquier valor.
Usa el deslizador para subir y bajar una recta horizontal. Solo cambia $y$; la recta se mantiene plana.
Escriba la ecuación de la recta paralela al eje de abscisas (eje $X$) que pasa por el punto $A(3, -5)$.
Escriba la ecuación de la recta paralela al eje de abscisas (eje $X$) que pasa por el punto $A(3, -5)$.
Rectas verticales y los ejes
Al moverte por una recta vertical subes o bajas en línea recta, así que $x$ nunca cambia mientras $y$ toma cualquier valor.
Los dos ejes de coordenadas son casos especiales de estas rectas:
| Recta | Ecuación |
|---|---|
| eje $x$ | $y = 0$ |
| eje $y$ | $x = 0$ |
Escriba la ecuación de la recta paralela al eje de ordenadas (eje $Y$) que pasa por el punto $B(-2, 7)$.
Escriba la ecuación de la recta paralela al eje de ordenadas (eje $Y$) que pasa por el punto $B(-2, 7)$.
Escriba las ecuaciones generales de los ejes de coordenadas $X$ e $Y$.
Escriba las ecuaciones generales de los ejes de coordenadas $X$ e $Y$.
Un dron de reparto se desplaza por una ciudad con calles en cuadrícula. Su trayectoria sigue una línea recta paralela al eje $Y$ pasando por la coordenada $(6, 2)$.…
Un dron de reparto se desplaza por una ciudad con calles en cuadrícula. Su trayectoria sigue una línea recta paralela al eje $Y$ pasando por la coordenada $(6, 2)$. Escriba la ecuación de su trayectoria y las coordenadas de dos puntos por los que pasará.
Intersecciones y rectas perpendiculares
Una recta vertical $x = a$ y una recta horizontal $y = b$ siempre se cruzan en exactamente un punto: $(a, b)$. Además se cortan en ángulo recto, así que una recta vertical es perpendicular a toda recta horizontal.
Para hallar dónde una recta horizontal o vertical corta a otra recta, sustituye el valor conocido en la otra ecuación.
Para hallar la recta perpendicular a una recta horizontal o vertical dada, basta cambiar el tipo. La perpendicular a $y = 5$ que pasa por $(2, 9)$ es vertical, así que es $x = 2$.
Determine las coordenadas del punto de intersección de las rectas $r: x = 5$ y $s: y = -2$.
Determine las coordenadas del punto de intersección de las rectas $r: x = 5$ y $s: y = -2$.
Halle la ecuación de la recta perpendicular a $x = 7$ que pasa por el punto $M(-4, 9)$.
Halle la ecuación de la recta perpendicular a $x = 7$ que pasa por el punto $M(-4, 9)$.
Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos costos fijos mensuales de $\$12000\text{ \$}$, independientemente de la cantidad $x$ de piezas fabricadas. Los…
Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos costos fijos mensuales de $\$12000\text{ \$}$, independientemente de la cantidad $x$ de piezas fabricadas. Los ingresos vienen dados por la recta $y = 30x$. Escriba la ecuación de la recta de costos fijos en el plano $(x, y)$ y halle el punto exacto donde los ingresos igualan a los costos fijos.
Pendiente y vector director
Un vector director $\langle a, b\rangle$ de una recta señala la dirección de la recta: avanzar $a$ unidades a la derecha y $b$ hacia arriba te mantiene sobre ella. La pendiente (slope) es entonces $m = \dfrac{b}{a}$, es decir, "elevación sobre avance".
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Una recta horizontal tiene vector director $\langle 1, 0\rangle$: avance $1$, elevación $0$. Así, $m = \dfrac{0}{1} = 0$.
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Una recta vertical tiene vector director $\langle 0, 1\rangle$: avance $0$, elevación $1$. La pendiente $\dfrac{1}{0}$ es indefinida, porque no se puede dividir entre $0$.
Cualquier múltiplo distinto de cero también sirve. Por ejemplo, $\langle 5, 0\rangle$ también es un vector director de una recta horizontal. En algunos problemas a la pendiente se le llama gradiente; es el mismo número.
Indique cuál es el vector director y la pendiente de la recta de ecuación $y = 4$.
Indique cuál es el vector director y la pendiente de la recta de ecuación $y = 4$.
Indique cuál es el vector director y la pendiente de la recta de ecuación $x = -1$.
Indique cuál es el vector director y la pendiente de la recta de ecuación $x = -1$.
En un experimento de química, la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) se mantiene constante a $35^\circ\text{C}$ a lo largo del tiempo $t$ (en minutos). Representando…
En un experimento de química, la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) se mantiene constante a $35^\circ\text{C}$ a lo largo del tiempo $t$ (en minutos). Representando el tiempo en el eje $X$ y la temperatura en el eje $Y$, escriba la ecuación de la recta y su vector director.
Ecuaciones paramétrica y general
Una recta también se puede describir con un punto de partida $(x_0, y_0)$ y un vector director $\langle a, b\rangle$:
$$x = x_0 + at, \qquad y = y_0 + bt$$Al cambiar el parámetro $t$, el punto $(x, y)$ se desliza por la recta.
Para las rectas paralelas a los ejes todo se simplifica mucho:
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Recta horizontal $y = k$: $x = t,\; y = k$. (Vector director $\langle 1, 0\rangle$.)
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Recta vertical $x = k$: $x = k,\; y = t$. (Vector director $\langle 0, 1\rangle$.)
La ecuación general pasa todo a un lado: $Ax + By + C = 0$. Es la misma idea que la forma estándar $Ax + By = C$. Por ejemplo, $y = 2$ se convierte en $y - 2 = 0$, y $x = -3$ se convierte en $x + 3 = 0$.
Dada la recta en forma paramétrica $x = -3$, $y = t$, indique a qué eje es paralela y escriba su ecuación general.
Dada la recta en forma paramétrica $x = -3$, $y = t$, indique a qué eje es paralela y escriba su ecuación general.
El cabezal de una impresora 3D debe trazar una línea de soporte horizontal constante a $15\text{ mm}$ del origen en el eje $Y$. Escriba las ecuaciones paramétricas y la…
El cabezal de una impresora 3D debe trazar una línea de soporte horizontal constante a $15\text{ mm}$ del origen en el eje $Y$. Escriba las ecuaciones paramétricas y la ecuación general de esta recta.
Reconocerlas a partir de dos puntos
Arrastra el punto de abajo a $(-3, 2)$ y luego a $(4, 2)$. ¿Qué se mantiene igual?
Un camino escalonado (dos segmentos, uno paralelo a cada eje) es simplemente una recta horizontal y una recta vertical.
Alturas. La altura de un triángulo es perpendicular a un lado. Si ese lado es horizontal, la altura es vertical, y viceversa.
Una recta pasa por los puntos $P(4, 2)$ y $Q(-3, 2)$. ¿Es paralela a alguno de los ejes? Escriba su ecuación.
Una recta pasa por los puntos $P(4, 2)$ y $Q(-3, 2)$. ¿Es paralela a alguno de los ejes? Escriba su ecuación.
Un brazo robótico debe moverse desde el punto $P(-2, -5)$ hasta el punto $Q(4, 7)$ siguiendo una trayectoria escalonada compuesta por dos segmentos: primero un…
Un brazo robótico debe moverse desde el punto $P(-2, -5)$ hasta el punto $Q(4, 7)$ siguiendo una trayectoria escalonada compuesta por dos segmentos: primero un movimiento paralelo al eje $X$ y luego un movimiento paralelo al eje $Y$. Escriba las ecuaciones de las rectas que contienen a estos dos segmentos.
Dado el triángulo de vértices $A(-3, 2)$, $B(5, 2)$ y $C(1, 8)$, halle la ecuación de la altura que parte del vértice $C$. ¿A qué eje es paralela esta altura?
Dado el triángulo de vértices $A(-3, 2)$, $B(5, 2)$ y $C(1, 8)$, halle la ecuación de la altura que parte del vértice $C$. ¿A qué eje es paralela esta altura?
Reconocerlas en la forma general
En $Ax + By + C = 0$, una recta paralela a un eje carece de una variable:
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Si $B = 0$ (sin término en $y$), entonces $Ax + C = 0$, así que $x = -\dfrac{C}{A}$. La recta es vertical.
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Si $A = 0$ (sin término en $x$), entonces $By + C = 0$, así que $y = -\dfrac{C}{B}$. La recta es horizontal.
En ambos casos, los coeficientes $A$ y $B$ no pueden ser $0$ a la vez, o no hay recta.
Cuando los dos coeficientes dependen de un parámetro, comprueba que no se anulen a la vez.
Determine el valor de $k$ para que la recta de ecuación general $kx + 3y - 6 = 0$ sea paralela al eje $X$. Escriba la ecuación resultante.
Determine el valor de $k$ para que la recta de ecuación general $kx + 3y - 6 = 0$ sea paralela al eje $X$. Escriba la ecuación resultante.
Determine el valor de $a$ para que la recta de ecuación $4x + (a+1)y - 8 = 0$ sea paralela al eje $Y$. Escriba la ecuación resultante.
Determine el valor de $a$ para que la recta de ecuación $4x + (a+1)y - 8 = 0$ sea paralela al eje $Y$. Escriba la ecuación resultante.
Encuentre el valor de $m$ para que la recta $(m^2-9)x + (m+3)y + 5 = 0$ sea paralela al eje $X$. ¿Existe algún valor de $m$ para el que esta misma recta sea paralela al…
Encuentre el valor de $m$ para que la recta $(m^2-9)x + (m+3)y + 5 = 0$ sea paralela al eje $X$. ¿Existe algún valor de $m$ para el que esta misma recta sea paralela al eje $Y$? Justifique su respuesta.
Distancias y posición relativa
Posición relativa de dos rectas. Cuando una de las rectas es $y = k$ o $x = h$, sustitúyela en la otra ecuación. El resultado te dice si las rectas son paralelas, coincidentes (la misma recta) o secantes.
Calcule la distancia mínima que separa a las rectas paralelas $r: y = 8$ y $s: y = -3$.
Calcule la distancia mínima que separa a las rectas paralelas $r: y = 8$ y $s: y = -3$.
Un sistema de riego por goteo está instalado a lo largo de una tubería paralela al eje $Y$. Sabemos que la tubería debe regar un árbol situado en el punto $A(5, 12)$ y…
Un sistema de riego por goteo está instalado a lo largo de una tubería paralela al eje $Y$. Sabemos que la tubería debe regar un árbol situado en el punto $A(5, 12)$ y que la distancia exacta de la tubería al eje $Y$ es de $5\text{ m}$. Escriba la ecuación de la recta que representa la tubería.
Discuta la posición relativa de la recta $r: x = 4$ y la recta $s: 2x + ky - 8 = 0$ en función del parámetro $k$.
Discuta la posición relativa de la recta $r: x = 4$ y la recta $s: 2x + ky - 8 = 0$ en función del parámetro $k$.
Rectángulos alineados con los ejes
Los lados de cualquier rectángulo con lados paralelos a los ejes están sobre dos rectas horizontales y dos verticales. Las canchas de baloncesto, las pantallas de celular y los planos de una casa están llenos de ellos.
Volvamos a la cuadrícula de la ciudad: caminar por una calle mantiene fija tu posición norte-sur, que es una recta horizontal $y = k$. Caminar por una avenida mantiene fija tu posición este-oeste, que es una recta vertical $x = h$. Donde se cruzan una calle y una avenida estás en el punto $(h, k)$.
En un campo de fútbol representamos el centro del campo en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si el campo tiene $100\text{ m}$ de largo (situado sobre el eje $X$) y…
En un campo de fútbol representamos el centro del campo en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si el campo tiene $100\text{ m}$ de largo (situado sobre el eje $X$) y $60\text{ m}$ de ancho (situado sobre el eje $Y$), escriba las ecuaciones de las cuatro líneas rectas que delimitan el terreno de juego.
En el desarrollo de un videojuego, la pantalla tiene una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles. Si se sitúa el origen $(0,0)$ en la esquina inferior izquierda,…
En el desarrollo de un videojuego, la pantalla tiene una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles. Si se sitúa el origen $(0,0)$ en la esquina inferior izquierda, escriba las ecuaciones de las dos líneas rectas (una horizontal y otra vertical) que dividen la pantalla exactamente en cuatro cuadrantes iguales.
Un cuadrado tiene su centro en el punto $C(3, 3)$ y sus lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Si el lado del cuadrado mide $4\text{ u}$, escriba las ecuaciones…
Un cuadrado tiene su centro en el punto $C(3, 3)$ y sus lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Si el lado del cuadrado mide $4\text{ u}$, escriba las ecuaciones de las cuatro rectas que contienen a sus lados.