El dron de reparto de Emma despega de un almacén y aterriza en la casa de un cliente. A la piloto no le basta con saber dónde empezó y dónde terminó. También necesita saber cuánto se movió hacia el este, cuánto hacia el norte y qué distancia voló en línea recta. Un solo objeto guarda toda esa información: el vector.
Notación: en esta página los puntos se escriben con paréntesis, como $A(2, 5)$, y los vectores con paréntesis angulares, como $\langle 3, 4 \rangle$. En algunos problemas los vectores se escriben con paréntesis, como $(3, 4)$. Significan lo mismo.
Vectores y componentes
Un personaje de un videojuego camina de $A(-1, 1)$ a $B(3, 4)$ en el mapa. El cambio en $x$ es $3 - (-1) = 4$ y el cambio en $y$ es $4 - 1 = 3$. Entonces $\vec{AB} = \langle 4, 3 \rangle$.
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Dados los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$, calcule las componentes del vector $\vec{AB}$ y su módulo.
Dados los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$, calcule las componentes del vector $\vec{AB}$ y su módulo.
La magnitud de un vector es su longitud: la distancia en línea recta del inicio al final. Las componentes son los catetos de un triángulo rectángulo, así que la magnitud es la hipotenusa.
Arrastra el punto de abajo y observa el triángulo rectángulo. La distancia al origen es la magnitud del vector $\langle x, y \rangle$.
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Halle los posibles valores de $x$ para que el vector $\vec{v} = (x, -8)$ tenga un módulo exactamente igual a $10$.
Halle los posibles valores de $x$ para que el vector $\vec{v} = (x, -8)$ tenga un módulo exactamente igual a $10$.
Los vectores se combinan componente por componente.
Geométricamente, para sumar vectores los colocas punta con cola. La suma va desde el inicio del primero hasta el final del segundo.
Las velocidades también son vectores. Un kayakista rema con velocidad $\langle 4, 0 \rangle$ mph hacia el este mientras la corriente lo empuja con $\langle 0, -3 \rangle$ mph hacia el sur. La velocidad real es la suma, $\langle 4, -3 \rangle$ mph. La rapidez es su magnitud, $\sqrt{16 + 9} = 5$ mph.
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Considere los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 4)$. Calcule las componentes del vector resultante de la operación $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$.
Considere los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 4)$. Calcule las componentes del vector resultante de la operación $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$.
Observe los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ representados en la cuadrícula. Escriba sus componentes y calcule analíticamente las coordenadas del vector suma…
Observe los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ representados en la cuadrícula. Escriba sus componentes y calcule analíticamente las coordenadas del vector suma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.
Un dron de entrega vuela con una velocidad propia representada por el vector $\vec{v}d = (12, 5)$ mph. En ese instante, el viento sopla con una velocidad…
Un dron de entrega vuela con una velocidad propia representada por el vector $\vec{v}_d = (12, 5)$ mph. En ese instante, el viento sopla con una velocidad $\vec{v}_v = (-3, 2)$ mph. Calcule el vector velocidad real del dron y su rapidez (el módulo del vector resultante).
La longitud total de un segmento $AB$ es $\lVert \vec{AB} \rVert$. En los problemas que piden el punto medio y la longitud, haz los dos cálculos por separado.
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Determine las coordenadas del punto medio $M$ del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, 7)$ y $Q(2, -3)$.
Determine las coordenadas del punto medio $M$ del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, 7)$ y $Q(2, -3)$.
Una tubería rectilínea conecta una estación de bombeo $A(-15, 20)$ con un depósito $B(45, -12)$ (coordenadas en pies). Se quiere instalar una válvula de control…
Una tubería rectilínea conecta una estación de bombeo $A(-15, 20)$ con un depósito $B(45, -12)$ (coordenadas en pies). Se quiere instalar una válvula de control exactamente en el punto medio del trayecto. Calcule las coordenadas donde se ubicará la válvula y la longitud total de la tubería.
Un punto que está a una fracción $t$ del camino de $A$ a $B$ se encuentra partiendo de $A$ y sumando esa fracción del vector:
$$P = A + t\,\vec{AB}$$
Para el punto medio, $t = \tfrac12$. Para cortar un segmento en 3 partes iguales, usa $t = \tfrac13$ y $t = \tfrac23$.
El centroide de un triángulo es el punto donde se cortan las tres medianas. Está a $\tfrac23$ del camino de cada vértice al punto medio del lado opuesto. Así, $G = A + \tfrac23\vec{AM}$, donde $M$ es el punto medio de $\overline{BC}$.
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Una viga de acero cuyos extremos están en las coordenadas $A(-4, 2)$ y $B(8, 14)$ debe cortarse en tres partes idénticas para fabricar soportes. Calcule las coordenadas…
Una viga de acero cuyos extremos están en las coordenadas $A(-4, 2)$ y $B(8, 14)$ debe cortarse en tres partes idénticas para fabricar soportes. Calcule las coordenadas de los dos puntos de corte $P$ y $Q$ que dividen al segmento $AB$ en tres partes de igual longitud.
El baricentro $G$ (centro de gravedad) de un triángulo siempre se encuentra a una distancia de $\frac{2}{3}$ desde cualquier vértice hasta el punto medio del lado…
El baricentro $G$ (centro de gravedad) de un triángulo siempre se encuentra a una distancia de $\frac{2}{3}$ desde cualquier vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Si los vértices de una placa triangular metálica son $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ y $C(4, 8)$, halle primero el punto medio $M$ del lado $BC$. Luego, usando el vector $\vec{AM}$, calcule las coordenadas exactas del baricentro $G$.
Dos vectores son paralelos si uno es un múltiplo escalar del otro: $\vec u = k\vec v$. Si $k > 0$ apuntan en el mismo sentido. Si $k < 0$ apuntan en sentidos opuestos.
Puntos colineales. Tres puntos $A$, $B$, $C$ están en una misma recta exactamente cuando $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ son paralelos. Ambos vectores parten de $A$, así que ser paralelos significa que están sobre la misma recta.
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Indique si los vectores $\vec{a} = (6, -9)$ y $\vec{b} = (-2, 3)$ son paralelos (tienen la misma dirección). Justifique su respuesta matemáticamente.
Indique si los vectores $\vec{a} = (6, -9)$ y $\vec{b} = (-2, 3)$ son paralelos (tienen la misma dirección). Justifique su respuesta matemáticamente.
En el diseño de un puente, tres pilares deben estar perfectamente alineados. En el plano del arquitecto, las bases de los pilares están situadas en las coordenadas…
En el diseño de un puente, tres pilares deben estar perfectamente alineados. En el plano del arquitecto, las bases de los pilares están situadas en las coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 3)$ y $R(8, k)$. Determine el valor de $k$ para que la alineación sea correcta.
En una mesa de billar, una bola es golpeada y sigue la trayectoria del vector $\vec{u} = (4, 3)$. Tras rebotar en la banda, su nueva trayectoria está dada por el vector…
En una mesa de billar, una bola es golpeada y sigue la trayectoria del vector $\vec{u} = (4, 3)$. Tras rebotar en la banda, su nueva trayectoria está dada por el vector $\vec{v} = (-3, k)$. Calcule el valor de $k$ para que la trayectoria de rebote forme un ángulo de $90^\circ$ con la trayectoria de llegada.
Averigüe si el triángulo formado por las antenas de telecomunicaciones situadas en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ y $C(9, -1)$ es un triángulo rectángulo. Utilice…
Averigüe si el triángulo formado por las antenas de telecomunicaciones situadas en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ y $C(9, -1)$ es un triángulo rectángulo. Utilice el producto escalar de los vectores que forman sus lados para justificar su respuesta.
Paralelogramos. En el paralelogramo $ABCD$, los lados opuestos son vectores iguales: $\vec{AB} = \vec{DC}$ y $\vec{AD} = \vec{BC}$. Para hallar un vértice que falta, parte de $A$ y avanza según $\vec{BC}$: $D = A + \vec{BC}$.
Cuadrados. Si dos vértices opuestos de un cuadrado son $A$ y $B$, entonces $\lVert \vec{AB} \rVert$ es la diagonal $d$, el centro es el punto medio de $\overline{AB}$ y el área es $\dfrac{d^2}{2}$. Esto es porque un lado $s$ cumple $d = s\sqrt2$, así que $d^2 = 2s^2$. Por ejemplo, con $(0, 1)$ y $(4, -3)$: $d^2 = 16 + 16 = 32$, el área es $16$ y el centro es $(2, -1)$.
Espejos. Reflejar un punto sobre el eje $x$ cambia el signo de $y$: $(x, y) \to (x, -y)$. En un problema de espejos, una trayectoria reflejada se ve como una recta que sale de la imagen de la fuente.
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Para instalar un panel solar con forma de paralelogramo $ABCD$, los técnicos han fijado tres de sus vértices en las coordenadas $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ y $C(6, 6)$ (en…
Para instalar un panel solar con forma de paralelogramo $ABCD$, los técnicos han fijado tres de sus vértices en las coordenadas $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ y $C(6, 6)$ (en pies). Calcule las coordenadas del cuarto vértice $D$ utilizando operaciones con vectores.
Un rayo láser parte de una fuente situada en $F(-3, -2)$ y se refleja en un espejo plano que coincide con el eje de abscisas (eje X). Si el punto exacto de impacto en el…
Un rayo láser parte de una fuente situada en $F(-3, -2)$ y se refleja en un espejo plano que coincide con el eje de abscisas (eje X). Si el punto exacto de impacto en el espejo es $I(1, 0)$, halle las coordenadas del punto simétrico de $F$ respecto al espejo y escriba las componentes del vector que define la trayectoria reflejada.
Cuatro boyas delimitan una zona de reserva marina en los puntos $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 5)$ y $D(-1, 3)$. Demuestre en primer lugar, utilizando vectores, que la…
Cuatro boyas delimitan una zona de reserva marina en los puntos $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 5)$ y $D(-1, 3)$. Demuestre en primer lugar, utilizando vectores, que la figura formada es un paralelogramo. A continuación, calcule el producto escalar de sus diagonales para comprobar si se trata específicamente de un rombo.
Muchos problemas más difíciles dan una condición y piden un número o un punto desconocido. La receta siempre es la misma: escribe la incógnita en las coordenadas, traduce la condición a una ecuación y resuélvela.
Puntos equidistantes. Un punto $P$ está a la misma distancia de $A$ y de $B$ cuando $PA = PB$. Todos esos puntos están en la mediatriz de $\overline{AB}$ (la perpendicular bisector). Si elevas ambos lados al cuadrado, evitas las raíces cuadradas.
Parámetros. Si los vectores contienen una incógnita, usa la prueba de paralelismo o el producto punto.
Un vector perpendicular de longitud dada. El vector $\langle -b, a \rangle$ es perpendicular a $\langle a, b \rangle$ y tiene la misma magnitud. Multiplícalo por un número para obtener la longitud que necesitas. Tanto $k$ como $-k$ sirven, así que hay dos respuestas.
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Determine las coordenadas de un punto $P$ situado sobre el eje de ordenadas (eje Y) que se encuentre a la misma distancia de los puntos $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.
Determine las coordenadas de un punto $P$ situado sobre el eje de ordenadas (eje Y) que se encuentre a la misma distancia de los puntos $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.
Considere los vectores dependientes de un parámetro $\vec{u} = (m, 2)$ y $\vec{v} = (3, m-1)$. Halle los valores del parámetro $m$ en dos casos geométricos distintos: a)…
Considere los vectores dependientes de un parámetro $\vec{u} = (m, 2)$ y $\vec{v} = (3, m-1)$. Halle los valores del parámetro $m$ en dos casos geométricos distintos:
a) Para que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean perpendiculares.
Encuentre las componentes de un vector $\vec{w}$ que sea perpendicular al vector $\vec{u} = (-5, 12)$ y cuyo módulo sea exactamente la mitad del módulo de $\vec{u}$.…
Encuentre las componentes de un vector $\vec{w}$ que sea perpendicular al vector $\vec{u} = (-5, 12)$ y cuyo módulo sea exactamente la mitad del módulo de $\vec{u}$. ¿Cuántas soluciones matemáticas existen para $\vec{w}$? Escríbalas todas.
De vuelta al dron: si vuela de $A$ a $B$, el vector $\vec{AB}$ da el rumbo mediante sus componentes horizontal y vertical. Su magnitud $\lVert \vec{AB} \rVert$ es la distancia en línea recta que recorrió.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado