Transformaciones y traslaciones
Estás jugando billar y la bola blanca no tiene un tiro directo a la bola 8. Tendrás que hacerla rebotar en la banda de abajo. ¿Hacia dónde exactamente debes apuntar? Un dron de entregas que cruza la ciudad, un engrane que gira y un láser que rebota en un espejo son transformaciones del plano. En coordenadas se reducen a unas pocas fórmulas sencillas, y al final de esta página las usarás para apuntar ese tiro con rebote.
Transformaciones y traslaciones
Los movimientos rígidos nunca cambian la distancia entre dos puntos. Esta es la fórmula que usarás para comprobarlo.
El movimiento rígido más sencillo es la traslación: desliza cada punto la misma distancia en la misma dirección.
Algunos problemas escriben un vector con paréntesis, como $(-4, 2)$. Significa lo mismo que $\langle -4, 2 \rangle$.
El triángulo $PQR$ se trasladó por $\langle 3, 2 \rangle$. Cada vértice se movió 3 unidades a la derecha y 2 hacia arriba, así que las tres flechas punteadas son paralelas y de la misma longitud.
Un dron de reparto está en la posición $A(3, 5)$ y se desplaza siguiendo el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición final $A'$?
Un dron de reparto está en la posición $A(3, 5)$ y se desplaza siguiendo el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición final $A'$?
En un tablero de ajedrez gigante, una pieza se mueve desde la casilla con coordenadas $P(-1, -3)$ hasta la casilla $Q(4, 2)$. Determine las componentes del vector de…
En un tablero de ajedrez gigante, una pieza se mueve desde la casilla con coordenadas $P(-1, -3)$ hasta la casilla $Q(4, 2)$. Determine las componentes del vector de traslación $\vec{PQ}$.
En un software de arquitectura (CAD), el plano de una ventana está definido por el polígono de vértices $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ y $D(1, 3)$. El diseñador decide…
En un software de arquitectura (CAD), el plano de una ventana está definido por el polígono de vértices $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ y $D(1, 3)$. El diseñador decide trasladar la ventana aplicando el vector $\vec{v} = (-3, 2)$. Calcule las coordenadas de los nuevos vértices $A'$, $B'$, $C'$ y $D'$.
Reflexiones
Una reflexión voltea una figura respecto a una recta de reflexión, como un espejo o un doblez en el papel. Cada punto y su imagen están a la misma distancia de la recta, en lados opuestos. La recta de reflexión es la mediatriz (mediatriz) del segmento $PP'$.
En el diseño de un logotipo, el punto $M(-4, 7)$ se refleja respecto al eje de ordenadas (eje Y). ¿Cuáles son las coordenadas del punto reflejado $M'$?
En el diseño de un logotipo, el punto $M(-4, 7)$ se refleja respecto al eje de ordenadas (eje Y). ¿Cuáles son las coordenadas del punto reflejado $M'$?
En una fábrica de textiles, una máquina dobla una tela a lo largo de la recta horizontal $y = 2$. Si un patrón decorativo está impreso en el punto $P(3, -1)$, ¿cuáles…
En una fábrica de textiles, una máquina dobla una tela a lo largo de la recta horizontal $y = 2$. Si un patrón decorativo está impreso en el punto $P(3, -1)$, ¿cuáles serán las coordenadas del patrón $P'$ una vez doblada la tela?
Una tubería recta de suministro de agua pasa por los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$. Por motivos de redundancia en el diseño, se construye una segunda tubería que es…
Una tubería recta de suministro de agua pasa por los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$. Por motivos de redundancia en el diseño, se construye una segunda tubería que es exactamente simétrica a la primera respecto al eje de abscisas (eje X). Halle las coordenadas de los puntos simétricos $A'$ y $B'$, y determine la ecuación explícita de la recta que define la trayectoria de esta segunda tubería.
Rotaciones respecto al origen
Una rotación gira una figura un ángulo dado alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación. Por convención, los ángulos positivos giran en sentido contrario a las manecillas del reloj.
El centro es el único punto que una rotación deja en su lugar. Por eso el único punto de una señal circular que gira y que no se mueve es su propio centro.
Una pieza de un engranaje situada en el punto $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas $O(0, 0)$. ¿En qué posición $K'$…
Una pieza de un engranaje situada en el punto $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas $O(0, 0)$. ¿En qué posición $K'$ quedará la pieza tras el giro?
Se aplica un giro de $180^\circ$ a una señal de tránsito circular con centro en el punto $C(3, 4)$ y radio $2$. ¿Qué punto exacto de la señal permanece en la misma…
Se aplica un giro de $180^\circ$ a una señal de tránsito circular con centro en el punto $C(3, 4)$ y radio $2$. ¿Qué punto exacto de la señal permanece en la misma posición (es invariante) tras el movimiento?
Un cuadrado tiene su centro geométrico en el origen $O(0, 0)$ y uno de sus vértices es $V_1(3, 3)$. Para encontrar los demás vértices, se aplican giros sucesivos de…
Un cuadrado tiene su centro geométrico en el origen $O(0, 0)$ y uno de sus vértices es $V_1(3, 3)$. Para encontrar los demás vértices, se aplican giros sucesivos de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen, obteniendo $V_2$, $V_3$ y $V_4$. Calcule las coordenadas de los cuatro vértices y compruebe analíticamente que la distancia entre $V_1$ y $V_2$ es exactamente igual a la distancia entre $V_2$ y $V_3$.
Reflexión puntual: la rotación de $180^\circ$
Rotar $180^\circ$ respecto a un centro $C$ también se llama reflexión puntual respecto a $C$. Cada punto pasa "en línea recta a través" de $C$ hasta el lado opuesto. Eso significa que $C$ es el punto medio de $PP'$.
Algunos problemas la llaman simetría central y al centro "centro de simetría". Es la misma idea.
Un jardinero quiere plantar un árbol en el punto $B'$, que debe ser simétrico al árbol situado en $B(2, -6)$ respecto al centro del jardín $C(0, 0)$. Calcule las…
Un jardinero quiere plantar un árbol en el punto $B'$, que debe ser simétrico al árbol situado en $B(2, -6)$ respecto al centro del jardín $C(0, 0)$. Calcule las coordenadas de $B'$.
Dos postes de luz están situados en los puntos $F_1(-2, 8)$ y $F_2(6, -2)$. Se quiere colocar un transformador eléctrico en el centro de simetría de ambos. ¿Cuáles son…
Dos postes de luz están situados en los puntos $F_1(-2, 8)$ y $F_2(6, -2)$. Se quiere colocar un transformador eléctrico en el centro de simetría de ambos. ¿Cuáles son las coordenadas de dicho centro?
Un brazo robótico articula en el punto $C(2, 1)$. Su pinza se encuentra inicialmente en $P(5, 3)$. Si el brazo realiza un giro de $180^\circ$ alrededor de la…
Un brazo robótico articula en el punto $C(2, 1)$. Su pinza se encuentra inicialmente en $P(5, 3)$. Si el brazo realiza un giro de $180^\circ$ alrededor de la articulación $C$, ¿cuáles serán las nuevas coordenadas $P'$ de la pinza?
Rotar respecto a cualquier centro
Las reglas $(-y, x)$ y $(y, -x)$ solo funcionan cuando el centro es el origen. Para cualquier otro centro $C$, primero haz que $C$ sea el origen.
Una cámara de seguridad montada en un poste en $C(1, 2)$ enfoca inicialmente a una puerta situada en $P(4, 2)$. Para cubrir un pasillo, la cámara gira $90^\circ$ en…
Una cámara de seguridad montada en un poste en $C(1, 2)$ enfoca inicialmente a una puerta situada en $P(4, 2)$. Para cubrir un pasillo, la cámara gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de su eje en $C$. ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo punto $P'$ al que apuntará la cámara? (Asuma que la distancia focal se mantiene constante).
En el mecanizado CNC de una pieza, la herramienta de corte se encuentra inicialmente en el punto $H(0, 5)$. El programa ejecuta dos comandos: primero, el plato de…
En el mecanizado CNC de una pieza, la herramienta de corte se encuentra inicialmente en el punto $H(0, 5)$. El programa ejecuta dos comandos: primero, el plato de sujeción gira $180^\circ$ respecto al centro $C(2, 3)$, llevando la herramienta a la posición $H'$. Inmediatamente después, el carro se traslada según el vector $\vec{u} = (-1, -4)$ hasta alcanzar la posición final $H''$. Determine las coordenadas exactas de $H'$ y $H''$.
Una pieza triangular de un mosaico histórico con un vértice en $P(2, 6)$ se ha desprendido y, al caer, ha girado exactamente $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor…
Una pieza triangular de un mosaico histórico con un vértice en $P(2, 6)$ se ha desprendido y, al caer, ha girado exactamente $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de un punto desconocido $C(x, y)$, quedando el vértice en la nueva posición $P'(-4, 4)$. Sabiendo que en un giro de $90^\circ$ antihorario alrededor del origen un vector $(a, b)$ se transforma en $(-b, a)$, plantee las ecuaciones correspondientes a la transformación del vector $\vec{CP}$ en $\vec{CP'}$ y resuelva el sistema para hallar las coordenadas del centro de giro $C$.
Pasando al espacio 3D
Todo lo anterior se extiende al espacio, donde un punto tiene tres coordenadas $(x, y, z)$.
En un almacén automatizado, un paquete se mueve en línea recta desde el estante $A(10, 5, 2)$ hasta la zona de carga $B(2, 8, 0)$. Determine el vector de traslación…
En un almacén automatizado, un paquete se mueve en línea recta desde el estante $A(10, 5, 2)$ hasta la zona de carga $B(2, 8, 0)$. Determine el vector de traslación $\vec{AB}$. Si otro paquete situado en $C(4, 4, 4)$ realiza exactamente el mismo movimiento, ¿cuáles serán las coordenadas de su posición final $C'$?
Un programa de impresión 3D primero traslada un vértice de un sólido mediante el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ y, a continuación, le aplica una simetría central respecto…
Un programa de impresión 3D primero traslada un vértice de un sólido mediante el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ y, a continuación, le aplica una simetría central respecto al origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$. Si el vértice original estaba en la posición $V(2, -3, 1)$, ¿cuál es su posición final $V'$?
Un dron submarino se encuentra en la posición $D(4, -2, -5)$ (el plano XY representa el nivel del mar). Primero, asciende verticalmente una cierta distancia aplicando el…
Un dron submarino se encuentra en la posición $D(4, -2, -5)$ (el plano XY representa el nivel del mar). Primero, asciende verticalmente una cierta distancia aplicando el vector de traslación $\vec{v} = (0, 0, 5)$. A continuación, emite un pulso de sonar que se refleja especularmente en el fondo marino, el cual es completamente plano y está definido por la ecuación $z = -10$. ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de la nueva posición del dron respecto al fondo marino?
Composición de transformaciones
Puedes componer transformaciones: aplicas una y luego aplicas la siguiente al resultado.
Dos traslaciones simplemente suman sus vectores. Moverse por $\vec{u}$ y luego por $\vec{w}$ es lo mismo que moverse una sola vez por $\vec{u} + \vec{w}$.
Dos reflexiones respecto a rectas paralelas también dan algo sencillo.
Un robot aspirador se mueve desde su base siguiendo el vector $\vec{u} = (2, 5)$ y luego sigue el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base está en el origen $O(0,0)$,…
Un robot aspirador se mueve desde su base siguiendo el vector $\vec{u} = (2, 5)$ y luego sigue el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base está en el origen $O(0,0)$, ¿cuáles son las coordenadas de su posición final y qué vector único $\vec{v}$ representa el desplazamiento total?
Un velero se desplaza en el mar impulsado por el viento, lo que le confiere un desplazamiento según el vector $\vec{v} = (12, -5)$ millas. Simultáneamente, una corriente…
Un velero se desplaza en el mar impulsado por el viento, lo que le confiere un desplazamiento según el vector $\vec{v} = (12, -5)$ millas. Simultáneamente, una corriente marina lo arrastra según el vector $\vec{c} = (-3, -2)$ millas. Si el velero partió del puerto en $P(-4, 10)$, ¿cuál es su posición final $P'$ y a qué distancia en línea recta se encuentra del punto de partida?
Un rayo de luz atraviesa un cristal grueso y sufre una doble reflexión interna. Primero experimenta una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 1$, y luego otra…
Un rayo de luz atraviesa un cristal grueso y sufre una doble reflexión interna. Primero experimenta una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 1$, y luego otra simetría axial respecto a la recta $x = 4$. Si una impureza en el cristal está en el punto $M(-2, 3)$, halle su posición tras la primera simetría ($M'$) y tras la segunda ($M''$). ¿A qué vector de traslación directo equivale la composición de estas dos simetrías axiales?
Identificar una transformación
Dada una figura y su imagen, puedes saber qué transformación se usó observando cómo cambian las coordenadas.
| Lo que ves | Transformación |
|---|---|
| $P' - P$ es el mismo vector para todos los puntos | traslación por ese vector |
| $(x, y) \to (x, -y)$ o $(-x, y)$ | reflexión respecto al eje $x$ o al eje $y$ |
| $(x, y) \to (-x, -y)$ | rotación de $180^\circ$ respecto al origen (reflexión puntual) |
| $(x, y) \to (-y, x)$ | rotación de $90^\circ$ en sentido contrario a las manecillas respecto al origen |
| $(x, y) \to (y, -x)$ | rotación de $90^\circ$ en el sentido de las manecillas respecto al origen |
Dos pruebas rápidas ayudan. Una traslación mueve todos los puntos por el mismo vector. Una rotación respecto al origen mantiene cada punto a la misma distancia del origen.
Para justificar tu respuesta, muestra que una misma regla funciona para todos los vértices. En una reflexión puntual, también puedes mostrar que los puntos medios de $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son el mismo punto.
En un estudio de transformaciones geométricas, los vértices de un triángulo son $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ y $C(2, 4)$. Tras aplicar un único movimiento en el plano, los…
En un estudio de transformaciones geométricas, los vértices de un triángulo son $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ y $C(2, 4)$. Tras aplicar un único movimiento en el plano, los nuevos vértices resultan ser $A'(-1, -2)$, $B'(-3, -1)$ y $C'(-2, -4)$. Identifique de qué tipo de movimiento se trata (traslación, giro o simetría) y especifique sus elementos característicos (vector, centro y ángulo, o eje). Justifique analíticamente su respuesta.
Aplicaciones: tiros con rebote y espejos
Las reflexiones resuelven problemas donde algo rebota. Cuando una bola golpea una banda o la luz golpea un espejo, sale con el mismo ángulo con el que llegó. Este es el truco:
De vuelta a la mesa de billar: refleja el objetivo respecto a la banda, apunta en línea recta a esa bola "fantasma", y la banda hace el resto.
Las reflexiones también ayudan cuando conoces el camino pero no el espejo. El espejo es la mediatriz de $PP'$. Si un láser sale de $(3, 8)$ y llega a $(3, 2)$, la coordenada $x$ se mantiene, así que el espejo es horizontal, y está a la mitad: $y = \dfrac{8 + 2}{2} = 5$.
Un rayo láser se emite desde el punto $E(1, 5)$ y, tras reflejarse en un espejo plano y paralelo al eje X, impacta en el punto receptor $R(1, -1)$. Sabiendo que la…
Un rayo láser se emite desde el punto $E(1, 5)$ y, tras reflejarse en un espejo plano y paralelo al eje X, impacta en el punto receptor $R(1, -1)$. Sabiendo que la abscisa no cambia y la ordenada de los puntos simétricos equidista del espejo, ¿cuál es la ecuación de la recta que define la posición del espejo?
En una mesa de billar, una bola está en la posición $A(2, 3)$. Un jugador quiere golpearla para que impacte en la banda derecha (situada a lo largo de la recta $x = 8$)…
En una mesa de billar, una bola está en la posición $A(2, 3)$. Un jugador quiere golpearla para que impacte en la banda derecha (situada a lo largo de la recta $x = 8$) y, tras rebotar, golpee a otra bola situada en $B(4, 7)$. Para calcular la trayectoria, utilice el punto simétrico de $B$ respecto a la banda, llamémosle $B'$. Halle las coordenadas de $B'$ y encuentre la ecuación de la recta que une $A$ con $B'$. ¿En qué punto exacto $P$ de la banda rebotará la bola?