Te conviene dominar: Conceptos (Matemáticas de 7.º grado)
Te conviene dominar: Probabilidad (Matemáticas de 7.º grado)
Marcus encesta el $75\%$ de sus tiros libres. En el partido de esta noche tiene dos tiros libres. ¿Qué tan probable es que enceste los dos? ¿Y que enceste al menos uno? Lanzar dos monedas, sacar dos cartas o elegir una bolsa y luego una canica funcionan igual: el experimento ocurre en etapas, y cada etapa aporta una probabilidad que hay que combinar. Al final de esta página responderás la pregunta de Marcus de dos maneras.
Experimentos de varias etapas
Un diagrama de árbol enumera todos los resultados. Cada rama lleva su probabilidad. Aquí tienes dos lanzamientos de una moneda:
(C = cara, S = sello.)
Para hallar la probabilidad al final de un camino, multiplica a lo largo de las ramas: $\tfrac12 \times \tfrac12 = \tfrac14$. ¿Por qué? La mitad de todos los juegos empieza con cara, y la mitad de esa mitad vuelve a terminar en cara. Tomas una fracción de una fracción.
Cuando una etapa no cambia la otra (una moneda y un dado, dos ruletas separadas), las etapas son independientes y simplemente multiplicas la probabilidad de cada etapa.
Practica★☆☆Sin empezar
Lanzamos dos monedas al aire de forma independiente. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos cruces.
Lanzamos dos monedas al aire de forma independiente. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos cruces.
Lanzamos un dado cúbico equilibrado (con las caras numeradas del $1$ al $6$) y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el dado y una cara en la…
Lanzamos un dado cúbico equilibrado (con las caras numeradas del $1$ al $6$) y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el dado y una cara en la moneda?
Hacemos girar las dos ruletas independientes que se muestran en la figura. Calcula la probabilidad de que la primera ruleta marque el número $3$ y la segunda ruleta…
Hacemos girar las dos ruletas independientes que se muestran en la figura. Calcula la probabilidad de que la primera ruleta marque el número $3$ y la segunda ruleta marque el color verde (V).
A veces la segunda etapa depende de lo que pasó en la primera. Entonces usas la probabilidad de la segunda etapa dada la primera.
Con una tabla
Cuando te dan conteos, a menudo puedes leer la respuesta directamente de una tabla de doble entrada.
Practica★☆☆Sin empezar
En un restaurante, el $60\%$ de los clientes pide menú del día y el $40\%$ pide a la carta. De los que piden menú, el $70\%$ toma postre. De los que piden a la carta, el…
En un restaurante, el $60\%$ de los clientes pide menú del día y el $40\%$ pide a la carta. De los que piden menú, el $70\%$ toma postre. De los que piden a la carta, el $50\%$ toma postre. Calcula la probabilidad de que un cliente elegido al azar pida menú del día y tome postre.
En una clase de 10.º grado hay $12$ chicos y $18$ chicas. Se sabe que $4$ chicos y $6$ chicas llevan lentes. Si elegimos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad…
En una clase de 10.º grado hay $12$ chicos y $18$ chicas. Se sabe que $4$ chicos y $6$ chicas llevan lentes. Si elegimos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica que lleva lentes?
En un centro deportivo se ofrecen clases de tenis y pádel. Hay $120$ socios inscritos en estas clases, y cada socio practica un solo deporte. Se sabe que $70$ socios…
En un centro deportivo se ofrecen clases de tenis y pádel. Hay $120$ socios inscritos en estas clases, y cada socio practica un solo deporte. Se sabe que $70$ socios juegan al pádel y que hay $50$ mujeres en total. Además, $30$ mujeres juegan al tenis. Si se elige un socio al azar, calcula la probabilidad de que sea un hombre que juega al pádel.
Cuando sacas dos veces de la misma bolsa, importa si el primer objeto se devuelve o no.
Con reemplazo: la bolsa es la misma cada vez, así que cada extracción tiene las mismas probabilidades. Las extracciones son independientes.
Sin reemplazo: la bolsa cambia. El primer objeto ya no está, así que tanto la cantidad favorable como el total disminuyen.
La misma idea sirve para tres o más extracciones. Cada nuevo factor tiene un elemento menos arriba y uno menos abajo.
Practica★☆☆Sin empezar
En una caja hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extrae una bola, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Halla la probabilidad de…
En una caja hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extrae una bola, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Halla la probabilidad de que ambas bolas sean rojas.
De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas consecutivamente sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las dos cartas sean Reyes.
De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas consecutivamente sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las dos cartas sean Reyes.
Se extraen tres cartas consecutivamente y sin reemplazamiento de una baraja española de $40$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener tres cartas del palo de oros.
Se extraen tres cartas consecutivamente y sin reemplazamiento de una baraja española de $40$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener tres cartas del palo de oros.
Si sacas hasta el primer éxito, con un límite en el número de extracciones, cada punto de parada posible es su propio camino. Suma los caminos.
Hallar cuántos objetos hay
Si te dan la probabilidad y el número de objetos es desconocido, llámalo $x$ y escribe el producto como una ecuación.
Practica★★★Sin empezar
Una urna contiene $x$ bolas blancas y $5$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Si sabemos que la probabilidad de que ambas bolas…
Una urna contiene $x$ bolas blancas y $5$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazamiento. Si sabemos que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es de $\frac{1}{6}$, plantea una ecuación de segundo grado y determina el número inicial de bolas blancas $x$ que había en la urna.
Se extraen cartas de una baraja española de $40$ cartas una a una y sin reemplazamiento, hasta que aparezca el primer As. El experimento termina en el momento en que…
Se extraen cartas de una baraja española de $40$ cartas una a una y sin reemplazamiento, hasta que aparezca el primer As. El experimento termina en el momento en que sale un As o cuando se han extraído $3$ cartas como máximo. Calcula la probabilidad de que el experimento termine habiendo encontrado un As.
A veces la primera etapa tiene varias opciones, y cada opción lleva al resultado que quieres de una forma distinta. Calcula cada camino con la regla de la multiplicación. Luego suma los caminos.
Practica★★☆Sin empezar
Disponemos de dos urnas. La urna $A$ contiene $4$ bolas blancas y $2$ negras. La urna $B$ contiene $3$ bolas blancas y $5$ negras. Lanzamos una moneda equilibrada; si…
Disponemos de dos urnas. La urna $A$ contiene $4$ bolas blancas y $2$ negras. La urna $B$ contiene $3$ bolas blancas y $5$ negras. Lanzamos una moneda equilibrada; si sale cara, extraemos una bola de la urna $A$, y si sale cruz, extraemos una bola de la urna $B$. Halla la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.
Una fábrica de componentes electrónicos tiene dos máquinas. La máquina $M_1$ produce el $60\%$ de los componentes y la máquina $M_2$ el $40\%$ restante. Se sabe que el…
Una fábrica de componentes electrónicos tiene dos máquinas. La máquina $M_1$ produce el $60\%$ de los componentes y la máquina $M_2$ el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de los componentes producidos por $M_1$ son defectuosos, mientras que el $5\%$ de los producidos por $M_2$ son defectuosos. Si se selecciona un componente al azar en el almacén, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
Una prueba médica para detectar una enfermedad tiene las siguientes características: si una persona está enferma, la prueba da positivo en el $95\%$ de los casos. Si la…
Una prueba médica para detectar una enfermedad tiene las siguientes características: si una persona está enferma, la prueba da positivo en el $95\%$ de los casos. Si la persona está sana, la prueba da positivo (falso positivo) en el $3\%$ de los casos. Se sabe que el $2\%$ de la población padece esta enfermedad. Si se elige a una persona al azar y se le realiza la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea positivo?
La primera etapa puede decidir cómo es la segunda. Dibuja las ramas, halla la probabilidad del resultado en cada una y suma. Una rama que no puede producir el resultado aporta $0$, así que puedes omitirla.
Pasar un objeto de un recipiente a otro
Aquí la primera extracción cambia el contenido del segundo recipiente. Divide según lo que se pasó.
Practica★★☆Sin empezar
En un juego, un participante extrae primero una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si la carta extraída es del palo de copas, lanza un dado cúbico equilibrado…
En un juego, un participante extrae primero una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si la carta extraída es del palo de copas, lanza un dado cúbico equilibrado (del $1$ al $6$). Si la carta NO es de copas, lanza una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que el participante acabe obteniendo un $5$ en el dado?
Tenemos dos cajas. La caja 1 contiene $3$ fichas rojas y $2$ verdes. La caja 2 contiene $1$ ficha roja y $4$ verdes. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y, sin…
Tenemos dos cajas. La caja 1 contiene $3$ fichas rojas y $2$ verdes. La caja 2 contiene $1$ ficha roja y $4$ verdes. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y, sin mirar su color, se introduce en la caja 2. A continuación, se extrae una ficha al azar de la caja 2. Calcula la probabilidad de que esta segunda ficha sea roja.
Disponemos de dos urnas. La urna $U_1$ contiene $2$ bolas rojas y $2$ bolas negras. La urna $U_2$ está inicialmente vacía. Se extraen simultáneamente dos bolas de $U_1$…
Disponemos de dos urnas. La urna $U_1$ contiene $2$ bolas rojas y $2$ bolas negras. La urna $U_2$ está inicialmente vacía. Se extraen simultáneamente dos bolas de $U_1$ y se introducen en $U_2$. A continuación, se extrae una bola al azar de $U_2$. Calcula la probabilidad de que la bola extraída de $U_2$ sea roja.
Volvamos a Marcus. Él encesta el $75\%$ de sus tiros libres, y los dos tiros son independientes.
Los dos: $0.75 \times 0.75 = 0.5625$, aproximadamente $56\%$.
Al menos uno: $1 - (0.25)(0.25) = 1 - 0.0625 = 0.9375$, aproximadamente $94\%$.
"O": en paralelo y en serie
"A o B" es una pregunta de "al menos uno", así que usa el complemento. "A y B" es un simple producto. En una tubería o un circuito, una rama con partes en serie necesita que funcionen todas (multiplica). Las ramas en paralelo necesitan que funcione al menos una rama (complemento).
Practica★★☆Sin empezar
Dos jugadoras de baloncesto, Sofía y Laura, lanzan un tiro libre cada una. La probabilidad de que Sofía enceste es $0,8$ y la probabilidad de que Laura enceste es $0,7$.…
Dos jugadoras de baloncesto, Sofía y Laura, lanzan un tiro libre cada una. La probabilidad de que Sofía enceste es $0,8$ y la probabilidad de que Laura enceste es $0,7$. Sus lanzamientos son sucesos independientes. Calcula la probabilidad de que al menos una de las dos enceste su tiro libre.
Un arquero tiene una probabilidad de $0,85$ de dar en el centro de la diana en cada disparo. Si realiza tres disparos consecutivos e independientes, halla la…
Un arquero tiene una probabilidad de $0,85$ de dar en el centro de la diana en cada disparo. Si realiza tres disparos consecutivos e independientes, halla la probabilidad de que falle los tres disparos.
El siguiente esquema muestra un sistema de tuberías con tres válvulas $A$, $B$ y $C$. El agua fluye de izquierda a derecha. Para que el agua llegue al final, debe pasar…
El siguiente esquema muestra un sistema de tuberías con tres válvulas $A$, $B$ y $C$. El agua fluye de izquierda a derecha. Para que el agua llegue al final, debe pasar por la válvula $A$ o por la rama inferior que contiene las válvulas $B$ y $C$ en serie. Las probabilidades de que las válvulas estén abiertas son $P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,8$ y $P(C) = 0,9$. Sabiendo que el funcionamiento de cada válvula es independiente, calcula la probabilidad de que el agua logre atravesar el sistema.
Algunas preguntas tienen varios caminos que cuentan, como "exactamente uno", o una serie que termina cuando alguien ha ganado suficientes juegos. Enumera todos los caminos, multiplica a lo largo de cada uno y suma.
Áreas como probabilidades
Cuando un dardo da al azar en un blanco, la probabilidad de una región es su área dividida entre el área total.
Practica★★★Sin empezar
Dos equipos de e-sports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas se proclama campeón). La probabilidad de…
Dos equipos de e-sports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas se proclama campeón). La probabilidad de que Alpha gane una partida es $0,6$ y la de que gane Beta es $0,4$ (no hay empates). Los resultados de las partidas son independientes. Calcula la probabilidad de que el equipo Alpha gane el torneo.
En un congreso internacional, el $40\%$ de los asistentes son europeos y el $60\%$ son americanos. Se sabe que el $30\%$ de los europeos y el $20\%$ de los americanos…
En un congreso internacional, el $40\%$ de los asistentes son europeos y el $60\%$ son americanos. Se sabe que el $30\%$ de los europeos y el $20\%$ de los americanos son bilingües. Si seleccionamos a dos asistentes al azar con reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los dos sea bilingüe?
Se lanza un dardo a la diana de la figura, formada por dos círculos concéntricos de radios $R$ y $2R$. El dardo siempre impacta en la diana y la probabilidad de impactar…
Se lanza un dardo a la diana de la figura, formada por dos círculos concéntricos de radios $R$ y $2R$. El dardo siempre impacta en la diana y la probabilidad de impactar en una región es proporcional a su área. Si se lanzan dos dardos de forma independiente, calcula la probabilidad de que un dardo caiga en la zona central (A) y el otro en la zona exterior (B).