Te conviene dominar: Razón (Matemáticas de 7.º grado)
Te conviene dominar: Semejanza (Matemáticas de 8.º grado (Pre-Álgebra))
¿Qué altura tiene el asta de la bandera frente a tu escuela? No tienes escalera ni cinta métrica, solo una tarde soleada y una regla de una yarda. Las rectas paralelas que cortan otras rectas forman segmentos proporcionales, y ese hecho permite que topógrafos, fotógrafos e incluso astrónomos midan cosas sin tocarlas. Al final de esta página podrás responder la pregunta del asta.
Las paralelas cortan las transversales proporcionalmente
Una transversal es una recta que cruza otras rectas. Cuando unas rectas paralelas cortan dos transversales, dividen ambas en partes, y esas partes están en la misma razón.
En algunos problemas esto se llama teorema de Thales. En las clases de EE. UU. aparece como un corolario del teorema de la proporcionalidad de los triángulos, y así lo llamaremos aquí.
En la figura, $\dfrac{6}{4.5} = \dfrac{8}{x}$, así que $6x = 36$ y $x = 6$.
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Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.
Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.
Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ pulgadas y $15$ pulgadas.…
Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ pulgadas y $15$ pulgadas. En la segunda recta secante, el segmento correspondiente al de $12$ pulgadas mide $8$ pulgadas. Calcula la longitud del segmento correspondiente al de $15$ pulgadas.
Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3.5$ pulgadas y $5$ pulgadas. En la recta $s$, el segmento…
Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3.5$ pulgadas y $5$ pulgadas. En la recta $s$, el segmento correspondiente al de $3.5$ pulgadas mide $4.2$ pulgadas. ¿Cuánto mide el segmento correspondiente al de $5$ pulgadas en la recta $s$?
El teorema de la proporcionalidad de los triángulos
Ahora traza una recta paralela a un lado de un triángulo. Corta los otros dos lados, y esos lados quedan divididos proporcionalmente. Es la misma idea de la sección anterior, con las dos transversales juntándose en un vértice. Los problemas suelen describir esta situación como un triángulo cortado por una recta paralela a uno de sus lados.
Practica★☆☆Sin empezar
Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.
Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.
En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ pulgadas,…
En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ pulgadas, $MB = 2$ pulgadas y $AN = 6$ pulgadas. Calcula la longitud del lado completo $AC$.
A menudo la incógnita aparece dentro de las longitudes, como $x$ y $x + 5$. El plan es el mismo: empareja los segmentos, escribe la proporción, multiplica en cruz y resuelve. Dos cosas a tener en cuenta:
Si los términos $x^2$ se cancelan, obtienes una ecuación lineal. Si no, obtienes una cuadrática: pasa todo a un lado y factoriza.
Las longitudes son positivas, así que descarta cualquier solución que haga un segmento igual a cero o negativo.
Dos transversales que se cruzan entre dos rectas paralelas forman un reloj de arena. Los dos triángulos son semejantes por AA, porque los ángulos opuestos por el vértice en el punto de cruce son iguales y los ángulos alternos internos son iguales.
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Halla el valor de $x$ aplicando el Teorema de Tales en el siguiente diagrama, donde las tres rectas verticales son paralelas. Expresa el resultado como un número entero…
Halla el valor de $x$ aplicando el Teorema de Tales en el siguiente diagrama, donde las tres rectas verticales son paralelas. Expresa el resultado como un número entero o una fracción simplificada.
En un sistema de dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas, los segmentos de la primera secante miden $x$ y $x+3$. En la segunda secante, los segmentos…
En un sistema de dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas, los segmentos de la primera secante miden $x$ y $x+3$. En la segunda secante, los segmentos correspondientes miden $x-2$ y $x$. Plantea la proporción, resuelve la ecuación resultante y halla el valor de los cuatro segmentos.
Dos rectas paralelas distan entre sí $H$. Dos segmentos transversales se cruzan en un punto $P$ entre las paralelas, formando una figura en forma de reloj de arena. Los…
Dos rectas paralelas distan entre sí $H$. Dos segmentos transversales se cruzan en un punto $P$ entre las paralelas, formando una figura en forma de reloj de arena. Los segmentos de una de las transversales miden $x$ y $x+5$, mientras que la base del triángulo superior mide $12$ pulgadas y la base del triángulo inferior mide $27$ pulgadas. Calcula el valor de $x$ y la longitud total de esa transversal.
El recíproco: cómo comprobar si hay rectas paralelas
El teorema también funciona al revés. Eso te permite demostrar que unas rectas son paralelas solo con mediciones, sin transportador.
Para rectas cortadas por dos transversales, la prueba es la misma, siempre que ya sepas que dos de las rectas son paralelas. Compara las razones correspondientes, y si todas coinciden, la tercera recta también es paralela a ellas.
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Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ pulgadas y $20$ pulgadas. En la segunda…
Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ pulgadas y $20$ pulgadas. En la segunda secante miden $24$ pulgadas y $32$ pulgadas. ¿Son paralelas las tres rectas? Justifica tu respuesta usando el recíproco del Teorema de Tales.
El teorema sirve para algo más que medir: da una construcción con regla y compás que divide cualquier segmento en partes iguales, sin decimales.
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Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ pulgadas en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.
Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ pulgadas en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.
La luz del sol llega a la Tierra en rayos (prácticamente) paralelos. Un objeto y su sombra forman un triángulo rectángulo, y todos los objetos en el mismo momento forman un triángulo rectángulo con el mismo ángulo del sol. Por AA, esos triángulos son semejantes.
Los faroles de la calle y los reflectores de un escenario son distintos: la luz sale de un solo punto y los rayos se abren. Ahora los triángulos semejantes comparten ese punto como vértice.
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A cierta hora del día, un semáforo proyecta una sombra y, al mismo tiempo, un bolardo cercano proyecta la suya. Sabiendo que los rayos del sol inciden paralelamente,…
A cierta hora del día, un semáforo proyecta una sombra y, al mismo tiempo, un bolardo cercano proyecta la suya. Sabiendo que los rayos del sol inciden paralelamente, calcula la altura del semáforo $H$.
Sofía, que mide $1.65$ pies, se aleja de un farol encendido en línea recta. En un instante dado, su sombra mide $2.2$ pies. Si la distancia desde la base del farol hasta…
Sofía, que mide $1.65$ pies, se aleja de un farol encendido en línea recta. En un instante dado, su sombra mide $2.2$ pies. Si la distancia desde la base del farol hasta la punta de la sombra de Sofía es de $8$ pies, ¿cuál es la altura del farol?
Un foco de teatro ilumina a un actor proyectando su sombra en el telón de fondo. El foco está a ras de suelo. El actor, de $1.80$ pies de altura, camina hacia el telón.…
Un foco de teatro ilumina a un actor proyectando su sombra en el telón de fondo. El foco está a ras de suelo. El actor, de $1.80$ pies de altura, camina hacia el telón. Cuando está a $4$ pies del foco, su sombra mide $h_1$. Si camina $2$ pies más hacia el telón, su sombra mide $h_2$. Sabiendo que la distancia total del foco al telón es de $10$ pies, calcula la diferencia de altura entre las dos sombras proyectadas ($h_1 - h_2$).
La luz viaja en línea recta. Cuando los rayos pasan por un agujero diminuto, rebotan en un espejo o pasan rozando una moneda, forman triángulos semejantes entre el objeto real y la imagen o la sombra.
Un espejo funciona por la ley de la reflexión: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Con los dos ángulos rectos en el suelo, los dos triángulos son semejantes (AA).
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En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ pies de altura se…
En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ pies de altura se encuentra a $15$ pies del orificio, calcula la altura de la imagen proyectada $h$ si la profundidad de la cámara es de $0.3$ pies.
Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente…
Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente $1.4 \times 10^6$ millas y se encuentra a $1.5 \times 10^8$ millas de la Tierra, y que la Luna está a $384000$ millas de la Tierra, calcula el diámetro aproximado de la Luna usando la semejanza de triángulos.
Un espejo plano se coloca en el suelo horizontal. Una persona cuyos ojos están a $1.60$ pies del suelo se sitúa a $1.20$ pies del centro del espejo y ve exactamente…
Un espejo plano se coloca en el suelo horizontal. Una persona cuyos ojos están a $1.60$ pies del suelo se sitúa a $1.20$ pies del centro del espejo y ve exactamente reflejada en él la antena de un edificio. Si la distancia desde el espejo hasta la base del edificio es de $18$ pies, y tanto la persona como el edificio son perpendiculares al suelo, ¿cuál es la altura total de la antena desde el suelo?
Todo lo que sube en línea recta pasando por soportes verticales colocados a intervalos regulares (una rampa, un techo, la trayectoria de una pelota) crea triángulos rectángulos semejantes que parten del mismo vértice.
En un techo, toma el pico como vértice. Un puntal vertical a cierta distancia horizontal del centro forma parte de un triángulo más pequeño con el mismo pico, así que mide desde el pico (o desde la línea central), no desde los aleros.
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Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1.2$ pies en una distancia horizontal de $15$ pies. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio…
Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1.2$ pies en una distancia horizontal de $15$ pies. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio cuando la distancia horizontal recorrida desde el inicio de la rampa es de $6$ pies, ¿cuál debe ser la altura de dicho soporte?
En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2.4$ pies. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a…
En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2.4$ pies. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a $0.9$ pies de altura) y cae en la cancha contraria. Si la distancia horizontal desde el jugador hasta la red es de $12$ pies, ¿a qué distancia de la red botará la pelota?
En la estructura de un techo a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del techo mide $10$ pies en total (del centro al alero hay $5$ pies). La…
En la estructura de un techo a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del techo mide $10$ pies en total (del centro al alero hay $5$ pies). La altura máxima en el centro es de $3$ pies. Si el puntal se coloca a $1.5$ pies del centro hacia el alero, ¿cuál debe ser su longitud?
Los topógrafos miden ríos, acantilados y montañas sin cruzarlos ni escalarlos. Construyen triángulos que sí pueden medir y que son semejantes a los que no pueden medir.
Un río. Coloca estacas en tu orilla y elige un punto de referencia $T$ en la orilla opuesta. Las rectas de $T$ a las estacas forman triángulos con un segmento que puedes medir, paralelo a la orilla. Encuentra el par de triángulos semejantes que comparten el vértice $T$.
Una torre o una grúa. Los soportes verticales que se apoyan en una recta horizontal debajo de una viga inclinada tienen alturas proporcionales a sus distancias al vértice donde la viga se junta con la horizontal.
¿Y si el objeto está tan lejos que no conoces ni la distancia ni la altura? Entonces haz dos visuales. Acuéstate en el suelo para que tu ojo quede a nivel del suelo, y alinea la punta de una vara vertical con la cima de la montaña.
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Para medir el ancho de un río de orillas paralelas, un topógrafo coloca tres estacas $A, B$ y $C$ en una de las orillas, y toma como referencia un árbol $T$ en la orilla…
Para medir el ancho de un río de orillas paralelas, un topógrafo coloca tres estacas $A, B$ y $C$ en una de las orillas, y toma como referencia un árbol $T$ en la orilla opuesta. Sabiendo que el segmento $AB$ es paralelo al segmento $CD$, que $AB = 8$ pies, $BC = 12$ pies y la distancia desde $A$ hasta el río perpendicularmente es de $2$ pies, calcula el ancho del río aplicando la semejanza de triángulos.
En la estructura de una grúa torre, el brazo principal forma un triángulo con los cables tensores. Desde un nodo $A$ en el brazo principal se traza un tirante vertical…
En la estructura de una grúa torre, el brazo principal forma un triángulo con los cables tensores. Desde un nodo $A$ en el brazo principal se traza un tirante vertical hasta el brazo inferior horizontal, midiendo $3$ pies. Desde un nodo $B$, situado $4$ pies más adelante en el brazo principal, se traza otro tirante vertical que mide $4.5$ pies. ¿A qué distancia del nodo $A$ se encuentra el punto de articulación (donde se unen los dos brazos de la grúa)?
Para medir la altura de una montaña inaccesible sin usar trigonometría, un topógrafo utiliza dos varillas verticales de $2$ pies de altura. Clava la primera varilla en…
Para medir la altura de una montaña inaccesible sin usar trigonometría, un topógrafo utiliza dos varillas verticales de $2$ pies de altura. Clava la primera varilla en el suelo y, tumbándose, alinea visualmente la punta de la varilla con la cima de la montaña. La distancia desde su ojo hasta la varilla es de $1.5$ pies. Luego retrocede $150$ pies en línea recta, clava la segunda varilla, y alinea de nuevo su ojo con la punta de la varilla y la cima. Esta vez, la distancia de su ojo a la varilla es de $1.6$ pies. Calcula la altura de la montaña.
¿Y si la recta corta los lados exactamente por la mitad? Ese caso especial es tan útil que tiene su propio nombre.
Un problema con un trapecio se resuelve creando un triángulo: traza una recta por un vértice paralela a un lado no paralelo.
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En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ pulgadas y $CD = 15$ pulgadas, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el…
En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ pulgadas y $CD = 15$ pulgadas, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el segmento $MN$ divide a los lados no paralelos en la proporción $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcula la longitud del segmento $MN$. (Pista: Traza una paralela a uno de los lados oblicuos desde un vértice).
Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si…
Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si el tercer lado mide $L$, ¿cuál es la longitud de este segmento en función de $L$? Argumenta tu respuesta basándote en la semejanza de triángulos.