Triángulos rectángulos semejantes
Aaliyah quiere saber qué altura tiene el asta de bandera que hay frente a su escuela. No puede subirse, y su cinta métrica de 25 pies se queda muy corta. Pero sí puede medir distancias en el suelo, y lleva un espejito en la mochila. ¿Le basta con eso? Sí, porque los triángulos rectángulos semejantes convierten medidas cortas y fáciles en alturas imposibles de medir. Al final de esta página verás exactamente cómo.
¿Son semejantes dos triángulos rectángulos?
Dos triángulos rectángulos ya tienen un par de ángulos iguales: los de $90^\circ$. Así que para el criterio AA solo falta un par más de ángulos agudos iguales.
También puedes comprobarlo con los lados. Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando:
-
sus dos catetos son proporcionales, o
-
la hipotenusa y un cateto son proporcionales.
¿Por qué funciona la segunda prueba? Si la hipotenusa y un cateto se multiplican por el mismo factor $k$, el teorema de Pitágoras obliga a que el otro cateto también se multiplique por $k$.
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de…
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de $50\text{ cm}$ y un cateto de $30\text{ cm}$. Comprueba matemáticamente si ambas cuñas son semejantes.
Factor de escala, área y volumen
Si dos figuras son semejantes con factor de escala $k$:
-
las longitudes se multiplican por $k$,
-
las áreas se multiplican por $k^2$,
-
los volúmenes se multiplican por $k^3$.
¿Por qué? El área tiene dos dimensiones y cada una se estira por $k$. El volumen tiene tres.
Cuando un plano paralelo a la base corta una pirámide, la pirámide pequeña de arriba es semejante a la completa. Su factor de escala es $k = \dfrac{\text{distancia desde el vértice}}{\text{altura total}}$.
Dos señales de tránsito con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si…
Dos señales de tránsito con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si el cateto menor de la señal grande mide $60\text{ cm}$, ¿cuál es el área de la señal grande?
Una pirámide recta de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base a un tercio de su altura (midiendo desde el vértice). Si el área de la sección transversal…
Una pirámide recta de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base a un tercio de su altura (midiendo desde el vértice). Si el área de la sección transversal obtenida es de $15\text{ cm}^2$, ¿cuál es el volumen de la pirámide original si su altura total es de $18\text{ cm}$?
Sombras y fuentes de luz
Los rayos del sol son prácticamente paralelos. Así que, en el mismo momento y lugar, todo objeto vertical y su sombra forman un triángulo rectángulo con el mismo ángulo agudo. Esos triángulos son semejantes por AA, y $\dfrac{\text{altura}}{\text{sombra}}$ es igual en todos.
Una lámpara o un reflector funcionan igual, salvo que ahora los rayos salen en abanico desde un punto.
Un poste de voleibol proyecta una sombra de $3,5\text{ m}$ sobre el suelo horizontal. A la misma hora y en el mismo lugar, una botella de agua de $0,25\text{ m}$ de…
Un poste de voleibol proyecta una sombra de $3,5\text{ m}$ sobre el suelo horizontal. A la misma hora y en el mismo lugar, una botella de agua de $0,25\text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $0,35\text{ m}$. Calcula la altura del poste utilizando semejanza de triángulos.
Una cerca opaca de $2\text{ m}$ de altura está situada frente a la pared vertical de un edificio. Un foco de luz situado en el suelo a $1,5\text{ m}$ de la cerca…
Una cerca opaca de $2\text{ m}$ de altura está situada frente a la pared vertical de un edificio. Un foco de luz situado en el suelo a $1,5\text{ m}$ de la cerca proyecta la sombra de esta sobre el edificio, alcanzando una altura de $6\text{ m}$. Si alejamos el foco $1\text{ m}$ más de la cerca (situándolo a $2,5\text{ m}$), ¿cuánto descenderá la altura de la sombra proyectada en el edificio?
El método del espejo
En un día nublado no hay sombras, pero un espejo plano en el suelo sigue funcionando. La luz rebota en un espejo de modo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Tanto el observador como el objeto forman triángulos rectángulos con el suelo, y esos triángulos tienen ángulos agudos iguales en el espejo. Por eso son semejantes por AA.
Volvamos al asta: con solo un espejo y una cinta métrica en el suelo, Aaliyah descubrió que el asta mide $40$ ft.
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1,5\text{ m}$ desde el…
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1,5\text{ m}$ desde el espejo hasta que ve el punto más alto del aerogenerador reflejado exactamente en el centro del espejo. Si los ojos de la ingeniera están a $1,6\text{ m}$ del suelo, calcula la altura del aerogenerador.
La altura sobre la hipotenusa
Traza la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Divide el triángulo en dos triángulos rectángulos más pequeños. Cada uno comparte un ángulo agudo con el grande, así que los tres triángulos son semejantes.
Aquí la altura divide la hipotenusa $c$ en dos partes llamadas proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa: $x$ es la parte junto al cateto $a$, e $y$ es la parte junto al cateto $b$. La media geométrica de dos números positivos $p$ y $q$ es $\sqrt{pq}$.
¿Por qué? Compara los triángulos pequeños emparejando los lados. Los dos triángulos pequeños dan $\dfrac{x}{h} = \dfrac{h}{y}$, así que $h^2 = xy$. El triángulo grande y el que contiene a $a$ dan $\dfrac{c}{a} = \dfrac{a}{x}$, así que $a^2 = xc$. La regla del área es simplemente el área del triángulo grande calculada de dos maneras: $\tfrac{1}{2}ab = \tfrac{1}{2}ch$.
Una buena comprobación: $a^2 + b^2 = xc + yc = (x + y)c = c^2$, que es otra vez el teorema de Pitágoras. Algunos problemas llaman a estos resultados teorema de la altura y teorema del cateto.
En un techo a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de…
En un techo a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de $2\text{ m}$ y $8\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la altura máxima del techo.
Una rampa de skate tiene un perfil de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La base horizontal (hipotenusa) mide $10\text{ m}$ y la proyección del tramo de…
Una rampa de skate tiene un perfil de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La base horizontal (hipotenusa) mide $10\text{ m}$ y la proyección del tramo de subida sobre la base es de $3,6\text{ m}$. Utiliza el teorema del cateto para calcular la longitud del tramo de subida.
En una estructura metálica con forma de triángulo rectángulo, un pilar vertical (altura sobre la hipotenusa) divide a la viga inferior (hipotenusa) en dos partes. Si un…
En una estructura metálica con forma de triángulo rectángulo, un pilar vertical (altura sobre la hipotenusa) divide a la viga inferior (hipotenusa) en dos partes. Si un lado inclinado (cateto) mide $5\text{ m}$ y la viga inferior total mide $10\text{ m}$, ¿cuánto mide la proyección de ese lado sobre la viga inferior?
Encontrar todas las longitudes
Un triángulo rectángulo con su altura tiene seis longitudes: $a, b, c, h, x, y$. Si conoces dos cualesquiera que sean independientes, casi siempre puedes encontrar todas las demás. Plan:
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Marca qué proyección toca a cada cateto.
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Elige el teorema que relaciona lo que conoces con una sola incógnita.
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Usa $c = x + y$ siempre que te falte una pieza.
De $a^2 = xc$ sale una fórmula muy práctica: $$x = \dfrac{a^2}{c}$$ La proyección de un cateto es el cateto al cuadrado entre la hipotenusa.
El mástil central de una carpa forma un ángulo recto con las dos cuerdas principales que lo sujetan desde la parte superior hasta el suelo. El mástil mide $4\text{ m}$…
El mástil central de una carpa forma un ángulo recto con las dos cuerdas principales que lo sujetan desde la parte superior hasta el suelo. El mástil mide $4\text{ m}$ de altura y una de las cuerdas se ancla a $3,2\text{ m}$ de la base del mástil. ¿A qué distancia de la base se ancla la otra cuerda?
En una clase de dibujo técnico, un alumno traza un triángulo rectángulo con una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y catetos de $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Luego, traza la…
En una clase de dibujo técnico, un alumno traza un triángulo rectángulo con una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y catetos de $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Luego, traza la altura relativa a la hipotenusa. Utiliza el teorema del cateto para calcular cuánto miden las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
La fachada de un edificio moderno tiene un ventanal en forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del ventanal respecto a la base es de…
La fachada de un edificio moderno tiene un ventanal en forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del ventanal respecto a la base es de $4,8\text{ m}$ y la proyección del lado menor sobre la base es de $3,6\text{ m}$. Calcula la longitud de los dos catetos y de la hipotenusa.
Plantear ecuaciones cuadráticas
A veces el problema te da una relación entre dos longitudes en lugar de sus valores. Entonces llamas $x$ a una longitud, escribes la otra en función de $x$ y dejas que un teorema construya la ecuación.
Otro planteamiento útil es usar el teorema de Pitágoras cuando te dan la hipotenusa y una relación entre los catetos.
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo rectángulo. La proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $4\text{ dam}$ mayor que la proyección del otro…
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo rectángulo. La proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $4\text{ dam}$ mayor que la proyección del otro cateto. Si la altura relativa a la hipotenusa mide $4,8\text{ dam}$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula la longitud total de la hipotenusa.
El diseño de una vela de windsurf tiene forma de triángulo rectángulo. Se sabe que el borde inferior (hipotenusa) mide $5\text{ m}$ y que el borde de fuga (uno de los…
El diseño de una vela de windsurf tiene forma de triángulo rectángulo. Se sabe que el borde inferior (hipotenusa) mide $5\text{ m}$ y que el borde de fuga (uno de los catetos) mide $1,2\text{ m}$ más que su proyección sobre la hipotenusa. Determina las dos posibles longitudes que puede tener el borde de fuga utilizando el teorema del cateto.
Un puente atirantado tiene un pilar principal que forma un ángulo recto con los dos tirantes más largos. La longitud total del tablero entre los anclajes de estos…
Un puente atirantado tiene un pilar principal que forma un ángulo recto con los dos tirantes más largos. La longitud total del tablero entre los anclajes de estos tirantes (hipotenusa) es de $125\text{ m}$. Si uno de los tirantes mide $25\text{ m}$ más que el otro, determina la altura del pilar principal (altura sobre la hipotenusa).
Razones y rectángulos
Cuando te dan las dos proyecciones como una razón, escríbelas como $x = pt$ e $y = qt$ con la misma incógnita $t$. Entonces $h^2 = xy$ te da una ecuación para $t$.
La altura y una proyección también pueden ser los lados de un rectángulo dentro del triángulo. Ese rectángulo tiene lados $h$ y $x$ (o $h$ e $y$), así que su área es $h \cdot x$.
En un museo, un cuadro rectangular está enmarcado por un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa, de manera que la altura sobre la hipotenusa coincide con uno…
En un museo, un cuadro rectangular está enmarcado por un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa, de manera que la altura sobre la hipotenusa coincide con uno de los lados del cuadro. Si las proyecciones de los catetos sobre la base miden $16\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$, y el cuadro ocupa exactamente el rectángulo formado por la altura y la proyección menor, ¿cuál es el área del cuadro?
En un diseño arquitectónico, el perfil de un techo es un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide a…
En un diseño arquitectónico, el perfil de un techo es un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos que están en proporción $9:16$. Si la altura mide $6\text{ m}$, calcula el perímetro total del triángulo que forma el techo.
Usar la altura dos veces, y una demostración
La herramienta $c \cdot h = a \cdot b$ te permite calcular la altura sin proyecciones. Y los triángulos pequeños que corta la altura también son rectángulos, así que puedes trazar otra altura dentro de ellos y volver a aplicar los teoremas.
Ahora, una invitación a demostrar algo. Toma el triángulo rectángulo de catetos $9$ y $12$ (hipotenusa $15$). La altura es $h = \dfrac{9 \cdot 12}{15} = 7.2$, así que $\dfrac{1}{h^2} = \dfrac{1}{51.84}$. Ahora suma los inversos de los cuadrados de los catetos: $$\dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{144} = \dfrac{16 + 9}{1296} = \dfrac{25}{1296} = \dfrac{1}{51.84}$$ ¡Coinciden! No es casualidad, y se cumple en todo triángulo rectángulo: $\dfrac{1}{h^2} = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}$.
Un diseñador industrial crea una pieza plana en forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. Para reforzar la pieza, coloca una…
Un diseñador industrial crea una pieza plana en forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. Para reforzar la pieza, coloca una varilla recta perpendicular a la hipotenusa que pasa por el vértice del ángulo recto (es decir, la altura). A su vez, desde el pie de esta altura traza otra varilla perpendicular al cateto mayor. ¿Cuánto mide esta última varilla?
Demuestra que en cualquier triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los…
Demuestra que en cualquier triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos ($\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$). Posteriormente, verifica esta relación calculando la altura de ambas formas en un triángulo de catetos $10\text{ cm}$ y $24\text{ cm}$.
Triángulos superpuestos
Algunas figuras esconden dos triángulos rectángulos que comparten un ángulo. Los dos tienen un ángulo recto, así que son semejantes por AA. Entonces solo tienes que emparejar bien los lados y resolver una proporción.
En una mesa de billar, una bola debe golpear la banda y rebotar hacia un agujero, formando dos triángulos rectángulos semejantes. La bola está a $20\text{ cm}$ de la…
En una mesa de billar, una bola debe golpear la banda y rebotar hacia un agujero, formando dos triángulos rectángulos semejantes. La bola está a $20\text{ cm}$ de la banda y el agujero a $60\text{ cm}$ de la misma banda. Si la distancia horizontal paralela a la banda entre la bola y el agujero es de $100\text{ cm}$, ¿a qué distancia horizontal desde la posición inicial de la bola debe producirse el impacto en la banda?
En una pieza de joyería, se inscribe un cuadrado de lado $x$ dentro de un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ mm}$ y $8\text{ mm}$, de modo que el vértice del…
En una pieza de joyería, se inscribe un cuadrado de lado $x$ dentro de un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ mm}$ y $8\text{ mm}$, de modo que el vértice del ángulo recto del triángulo coincide con un vértice del cuadrado y el vértice opuesto del cuadrado descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor de $x$ utilizando semejanza de triángulos.
Una hoja de papel rectangular de $8\text{ cm}$ de ancho y $15\text{ cm}$ de largo se dobla de modo que dos vértices opuestos coinciden. El pliegue formado es una línea…
Una hoja de papel rectangular de $8\text{ cm}$ de ancho y $15\text{ cm}$ de largo se dobla de modo que dos vértices opuestos coinciden. El pliegue formado es una línea recta. Calcula la longitud de dicho pliegue basándote en la semejanza de triángulos rectángulos que se forman.
Figuras en reloj de arena: ríos y cables que se cruzan
Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Si dos triángulos están punta con punta, como un reloj de arena, y cada uno tiene un ángulo recto (o los lados son paralelos), el criterio AA da triángulos semejantes. Los topógrafos lo usan para medir el ancho de un río sin cruzarlo.
La misma forma de reloj de arena aparece con dos postes verticales y dos cables que se cruzan.
Un topógrafo quiere calcular el ancho de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la orilla…
Un topógrafo quiere calcular el ancho de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la orilla (perpendicularmente a la visual inicial) y coloca un jalón. Luego camina otros $6\text{ m}$ en la misma dirección, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta que ve el jalón alineado con el árbol. ¿Cuál es el ancho del río?
En un estudio de estática, dos postes verticales de alturas $a = 120\text{ cm}$ y $b = 80\text{ cm}$ están separados una distancia $d$. Desde la base de cada poste se…
En un estudio de estática, dos postes verticales de alturas $a = 120\text{ cm}$ y $b = 80\text{ cm}$ están separados una distancia $d$. Desde la base de cada poste se tira un cable tenso hasta la cima del otro poste. Los cables se cruzan a una altura $h$. Demuestra mediante semejanza de triángulos que la altura $h$ a la que se cruzan no depende de la distancia $d$ y calcula su valor.