Tablas de doble entrada e independencia
Una prueba rápida de estreptococo en la escuela da positivo. ¿Qué tan seguro puedes estar de que de verdad tienes estreptococo? La respuesta sorprende a mucha gente, y depende de algo más que de qué tan buena es la prueba. Al final de esta página sabrás calcularlo.
Cómo leer una tabla de doble entrada
Una tabla de frecuencias de doble entrada (two-way table) clasifica al mismo grupo de personas (u objetos) según dos categorías a la vez. Una categoría va en las filas y la otra en las columnas.
Esta es una encuesta a 150 estudiantes sobre el almuerzo.
| Compra el almuerzo | Trae el almuerzo | Total | |
|---|---|---|---|
| De 9.º grado | 40 | 35 | 75 |
| De 10.º grado | 30 | 45 | 75 |
| Total | 70 | 80 | 150 |
Cada número responde una pregunta distinta:
-
Un número dentro de la tabla es una frecuencia conjunta: cuenta a los estudiantes con ambas características, por ejemplo, de 10.º grado y que traen el almuerzo.
-
Un número de la fila o la columna de Total es una frecuencia marginal: cuenta una sola característica.
-
El número de la esquina inferior derecha es el total general.
La probabilidad de que el evento no ocurra es el complemento:
$$P(A^c) = 1 - P(A)$$Esto funciona porque el evento y su complemento juntos cubren a todos los estudiantes, así que sus probabilidades suman $1$.
Una tabla de frecuencias relativas divide cada cantidad entre el total general, de modo que los números son probabilidades (y el total general es $1$).
Cuando faltan algunas casillas, usa el hecho de que cada fila y cada columna suman su total. Llena primero los espacios fáciles.
En una preparatoria (high school*) de Texas, se encuestó a los estudiantes sobre si tienen un trabajo de medio tiempo. Los resultados se muestran en la siguiente tabla…
En una preparatoria (high school) de Texas, se encuestó a los estudiantes sobre si tienen un trabajo de medio tiempo. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de doble entrada:
| Grado | Tiene trabajo | No tiene trabajo | Total |
|---|---|---|---|
| 9.º (Freshmen) | $15$ | $105$ | $120$ |
| 10.º (Sophomores) | $30$ | $90$ | $120$ |
| 11.º (Juniors) | $65$ | $45$ | $110$ |
| 12.º (Seniors) | $80$ | $20$ | $100$ |
| Total | $190$ | $260$ | $450$ |
Si se selecciona un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que tenga un trabajo de medio tiempo, dado que es un estudiante de 12.º grado. Expresa tu respuesta como una fracción simplificada.
Una cafetería en Seattle anotó las ventas de bebidas calientes y frías durante la mañana y la tarde: | | Mañana | Tarde | | :--- | :---: | :---: | | Bebida caliente |…
Una cafetería en Seattle anotó las ventas de bebidas calientes y frías durante la mañana y la tarde:
| Mañana | Tarde | |
|---|---|---|
| Bebida caliente | $150$ | $50$ |
| Bebida fría | $40$ | $80$ |
Calcula la probabilidad marginal de que un cliente compre una bebida fría, independientemente de la hora del día.
Una clínica médica en Florida realiza pruebas para detectar una alergia común. La tabla de doble entrada está incompleta. Sabemos que se evaluó a un total de $500$…
Una clínica médica en Florida realiza pruebas para detectar una alergia común. La tabla de doble entrada está incompleta. Sabemos que se evaluó a un total de $500$ pacientes. De ellos, $120$ realmente tienen la alergia. La prueba dio un resultado positivo a $105$ de los pacientes que tienen la alergia, y dio un resultado positivo a $38$ pacientes que no tienen la alergia (falsos positivos).
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Construye la tabla de doble entrada completa con las frecuencias conjuntas y marginales.
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Si un paciente recibe un resultado positivo en la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga la alergia?
Probabilidad condicional
Supón que te dicen que el estudiante elegido es de 10.º grado. Ahora ya no eliges entre los 150 estudiantes. Eliges solo entre los de la fila de 10.º grado, que tiene 75. La palabra dado (given) significa "reduce el grupo a esta fila o columna".
¿Por qué funciona la regla? Divide el numerador y el denominador de $\dfrac{45}{75}$ entre $150$ y obtienes $\dfrac{45/150}{75/150} = \dfrac{P(A \text{ y } B)}{P(B)}$. Es la misma fracción, escrita con probabilidades.
También puedes trabajar con una tabla de frecuencias relativas. Divide la probabilidad conjunta entre la probabilidad marginal del evento dado.
| Android | iPhone | Total | |
|---|---|---|---|
| Adolescente | 0.10 | 0.30 | 0.40 |
| Adulto | 0.25 | 0.35 | 0.60 |
| Total | 0.35 | 0.65 | 1.00 |
Una tienda de electrónica en California analizó las ventas de sus computadoras y tabletas según el sistema operativo. | Dispositivo | Windows/Android | macOS/iOS | Total…
Una tienda de electrónica en California analizó las ventas de sus computadoras y tabletas según el sistema operativo.
| Dispositivo | Windows/Android | macOS/iOS | Total |
|---|---|---|---|
| Computadora portátil | $45$ | $55$ | $100$ |
| Tableta | $30$ | $70$ | $100$ |
| Total | $75$ | $125$ | $200$ |
Sea $A$ el evento "el cliente compró una computadora portátil" y $B$ el evento "el dispositivo tiene macOS/iOS". Encuentra la probabilidad de la unión de estos eventos, $P(A \cup B)$.
En una fábrica de ensamblaje de celulares, hay dos máquinas, la Máquina A y la Máquina B. La Máquina A produce el $65\%$ de los celulares, y la Máquina B produce el…
En una fábrica de ensamblaje de celulares, hay dos máquinas, la Máquina A y la Máquina B. La Máquina A produce el $65\%$ de los celulares, y la Máquina B produce el $35\%$ restante. Se sabe que el $4\%$ de los celulares producidos por la Máquina A son defectuosos, mientras que el $2\%$ de los producidos por la Máquina B son defectuosos.
Si se selecciona un celular al azar del inventario total, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
Eventos independientes
Dos eventos son independientes cuando saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro. ¿Son independientes "ser de 10.º grado" y "traer el almuerzo"? Compara la probabilidad condicional con la probabilidad general.
En la tabla del almuerzo, $P(\text{trae el almuerzo}) = \dfrac{80}{150} \approx 0.533$, pero $P(\text{trae el almuerzo} \mid \text{10.º grado}) = 0.6$. Son distintas, así que los eventos son dependientes: en esta encuesta, los de 10.º grado traen el almuerzo con más frecuencia.
Ahora mira una tabla donde las proporciones coinciden. Un maestro les pregunta a 100 estudiantes sobre la banda y los trabajos de medio tiempo.
| Tiene trabajo | No tiene trabajo | Total | |
|---|---|---|---|
| En la banda | 24 | 56 | 80 |
| No está en la banda | 6 | 14 | 20 |
| Total | 30 | 70 | 100 |
$P(\text{trabajo} \mid \text{banda}) = \dfrac{24}{80} = 0.3$, $P(\text{trabajo} \mid \text{no banda}) = \dfrac{6}{20} = 0.3$ y $P(\text{trabajo}) = \dfrac{30}{100} = 0.3$. Las tres coinciden, así que los eventos son independientes. Estar en la banda no dice nada sobre quién tiene trabajo.
Hay una segunda forma de comprobarlo, usando "y". Los eventos son independientes exactamente cuando
$$P(A \text{ y } B) = P(A) \cdot P(B)$$Compruébalo: $P(\text{banda y trabajo}) = \dfrac{24}{100} = 0.24$ y $P(\text{banda}) \cdot P(\text{trabajo}) = 0.8 \times 0.3 = 0.24$. ✓
A veces falta un número y te dicen que los eventos son independientes. Iguala las dos proporciones.
Se encuestó a un grupo de personas sobre su plataforma de streaming* favorita. Los resultados fueron: $40$ prefieren Netflix, $30$ prefieren Hulu, $20$ prefieren Max, y…
Se encuestó a un grupo de personas sobre su plataforma de streaming favorita. Los resultados fueron: $40$ prefieren Netflix, $30$ prefieren Hulu, $20$ prefieren Max, y $10$ prefieren Disney+.
Sea el evento $A$ "la persona prefiere Hulu". Utilizando la notación de complemento ($A^c$), calcula $P(A^c)$ y explica qué representa este valor en el contexto del problema.
El diagrama de árbol muestra las probabilidades de los solicitantes a una universidad de Ohio. Los estudiantes pueden ser del estado (In-state*) o de fuera del estado…
El diagrama de árbol muestra las probabilidades de los solicitantes a una universidad de Ohio. Los estudiantes pueden ser del estado (In-state) o de fuera del estado (Out-of-state), y luego ser admitidos o rechazados.
Utilizando el diagrama, calcula la probabilidad de que un estudiante haya sido admitido. Luego, encuentra la probabilidad de que un estudiante sea de fuera del estado, dado que fue admitido.
En un estudio de control de calidad, se sabe que los eventos $A$ y $B$ tienen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0.55$ $P(B) = 0.40$ $P(A \cup B) = 0.73$ Calcula…
En un estudio de control de calidad, se sabe que los eventos $A$ y $B$ tienen las siguientes probabilidades:
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$P(A) = 0.55$
-
$P(B) = 0.40$
-
$P(A \cup B) = 0.73$
Calcula $P(B \mid A)$ y $P(A \mid B)$. Luego, demuestra algebraicamente si los eventos $A$ y $B$ son independientes o no.
Diagramas de Venn y la regla de la suma
Un diagrama de Venn muestra la misma información que una tabla de doble entrada, usando círculos que se traslapan. Toma 40 estudiantes. Algunos juegan fútbol ($S$), otros corren en el equipo de atletismo ($T$), algunos hacen ambos y otros ninguno.
La parte compartida, $S$ y $T$, es la intersección $S \cap T$. Todo lo que está dentro de al menos un círculo es la unión $S \cup T$. En matemáticas, "o" es inclusivo: significa uno, el otro, o ambos.
Para hallar la probabilidad de "$S$ o $T$", podrías sumar los dos círculos: $\dfrac{20}{40} + \dfrac{15}{40}$. Pero los 6 estudiantes de la parte compartida se contarían dos veces, así que hay que restarlos una vez.
Para pasar de un diagrama de Venn a una probabilidad condicional, restringe al círculo dado. El círculo dado se convierte en todo tu espacio muestral.
A veces las regiones se escriben con una variable como $x$. Las regiones de un diagrama de Venn deben sumar el total, así que escribe esa suma, iguálala al total y despeja $x$. Luego lee las probabilidades en el diagrama.
La regla de la suma también se puede resolver al revés para hallar la parte compartida.
El diagrama de Venn muestra los resultados de una encuesta a $120$ estudiantes sobre si juegan fútbol (soccer*) o béisbol. Utiliza el diagrama para calcular la…
El diagrama de Venn muestra los resultados de una encuesta a $120$ estudiantes sobre si juegan fútbol (soccer) o béisbol. Utiliza el diagrama para calcular la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar juegue béisbol, dado que sabemos que juega fútbol.
En un estudio sobre hábitos de transporte en Nueva York, se recopilaron los siguientes datos sobre cómo llegan los empleados al trabajo y si llegan a tiempo: | | Llega a…
En un estudio sobre hábitos de transporte en Nueva York, se recopilaron los siguientes datos sobre cómo llegan los empleados al trabajo y si llegan a tiempo:
| Llega a tiempo | Llega tarde | Total | |
|---|---|---|---|
| Metro (Subway) | $180$ | $20$ | $200$ |
| Automóvil | $70$ | $30$ | $100$ |
| Total | $250$ | $50$ | $300$ |
Para comprobar si los eventos "Tomar el metro" y "Llegar tarde" son independientes, calcula $P(\text{Llegar tarde})$ y $P(\text{Llegar tarde} \mid \text{Metro})$. ¿Son independientes estos dos eventos?
Una compañía de seguros de automóviles en Illinois analizó $1,200$ accidentes de tráfico recientes. Clasificaron los accidentes según si el conductor llevaba puesto el…
Una compañía de seguros de automóviles en Illinois analizó $1,200$ accidentes de tráfico recientes. Clasificaron los accidentes según si el conductor llevaba puesto el cinturón de seguridad y si sufrió lesiones graves.
| Lesión grave | Sin lesión grave | Total | |
|---|---|---|---|
| Con cinturón | $48$ | $852$ | $900$ |
| Sin cinturón | $62$ | $238$ | $300$ |
| Total | $110$ | $1,090$ | $1,200$ |
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Calcula $P(\text{Lesión grave})$.
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Calcula $P(\text{Lesión grave} \mid \text{Con cinturón})$.
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Basándote en tus cálculos, ¿son matemáticamente independientes los eventos "Sufrir una lesión grave" y "Llevar puesto el cinturón"? Justifica tu respuesta.
La regla del producto
Emma encesta el $70\%$ de sus tiros libres, y cada tiro es independiente de los demás. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste dos seguidos? Tiene que encestar el primero y el segundo. Imagina un cuadrado unitario: el ancho se divide según el primer evento y el alto según el segundo.
La intersección es un rectángulo cuya área es base por altura. Esa es la regla del producto.
Para eventos independientes, también hay una forma útil de la regla de la suma. "Ninguno" tiene probabilidad $P(A^c) \cdot P(B^c)$, y $P(A \cup B) = 1 - P(\text{ninguno})$.
Cuando dos probabilidades se relacionan con una frase como "$P(A)$ es el doble de $P(B)$", escribe ambas con una sola variable. Por ejemplo, si $P(A) = 2p$ y $P(B) = p$, la independencia da $P(A \cap B) = 2p \cdot p = 2p^2$. Iguala eso al número dado y despeja $p$. Como las probabilidades nunca son negativas, quédate solo con la solución positiva.
De acuerdo con la regla de la suma para probabilidades, para dos eventos cualesquiera $A$ y $B$, se cumple que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. En una escuela,…
De acuerdo con la regla de la suma para probabilidades, para dos eventos cualesquiera $A$ y $B$, se cumple que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
En una escuela, la probabilidad de que un estudiante participe en el club de teatro es $0.35$, la probabilidad de que participe en el coro es $0.40$, y la probabilidad de que participe en ambos es $0.15$. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar participe en el club de teatro o en el coro?
Se realiza una encuesta a $300$ residentes sobre una nueva ley de zonificación urbana. Sea $F$ el evento "está a favor de la ley" y $P$ el evento "es propietario de una…
Se realiza una encuesta a $300$ residentes sobre una nueva ley de zonificación urbana. Sea $F$ el evento "está a favor de la ley" y $P$ el evento "es propietario de una vivienda".
Se conocen los siguientes datos:
-
$P(F \mid P) = 0.60$
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$P(P \mid F) = 0.75$
-
$P(F \cap P) = 0.30$
A partir de esta información, reconstruye la tabla de doble entrada de $2 \times 2$ con las cantidades exactas de personas para cada celda y determina cuántos residentes no están a favor de la ley y tampoco son propietarios.
Diagramas de árbol y la prueba de estreptococo
Un diagrama de árbol (tree diagram) organiza los eventos por etapas. Cada rama lleva su probabilidad. Las probabilidades de la segunda etapa son condicionales a la primera.
Volvamos al problema del principio. Supón que el $10\%$ de los estudiantes que se hacen la prueba tienen estreptococo. La prueba da positivo en el $90\%$ de los estudiantes que tienen estreptococo y también (por error) en el $10\%$ de los que no lo tienen.
Esta segunda idea es la regla de la probabilidad total:
$$P(B) = P(A) \cdot P(B \mid A) + P(A^c) \cdot P(B \mid A^c)$$Suma todos los caminos que terminan en $B$.
Volvamos a la pregunta inicial: un resultado positivo, incluso en una prueba que acierta el $90\%$ de las veces con los estudiantes enfermos, significa solo un $50\%$ de probabilidad de tener estreptococo. El estreptococo es poco común ($10\%$), así que los falsos positivos del grupo grande de sanos son tantos como los verdaderos positivos del grupo pequeño de enfermos. Cuando un problema da porcentajes, un buen primer paso es elegir un total conveniente (como $1{,}000$ o $10{,}000$), convertir los porcentajes en cantidades y llenar una tabla de doble entrada.
En una baraja estándar de $52$ cartas (sin comodines), hay $4$ palos: corazones, diamantes, tréboles y espadas. Cada palo tiene $13$ cartas, de las cuales $3$ son…
En una baraja estándar de $52$ cartas (sin comodines), hay $4$ palos: corazones, diamantes, tréboles y espadas. Cada palo tiene $13$ cartas, de las cuales $3$ son figuras (J, Q, K).
Se extrae una carta al azar. Sean los eventos:
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$F$: La carta es una figura.
-
$C$: La carta es de corazones.
Calcula $P(F \cap C^c)$, es decir, la probabilidad de que la carta sea una figura Y NO sea de corazones.
Los resultados de una encuesta a votantes registrados en un condado sobre la "Proposición 10" se muestran en porcentajes relativos al total de encuestados: | Afiliación…
Los resultados de una encuesta a votantes registrados en un condado sobre la "Proposición 10" se muestran en porcentajes relativos al total de encuestados:
| Afiliación | A favor | En contra | Indeciso | Total |
|---|---|---|---|---|
| Partido Demócrata | $28\%$ | $12\%$ | $5\%$ | $45\%$ |
| Partido Republicano | $15\%$ | $25\%$ | $5\%$ | $45\%$ |
| Independiente | $4\%$ | $3\%$ | $3\%$ | $10\%$ |
| Total | $47\%$ | $40\%$ | $13\%$ | $100\%$ |
Si se selecciona al azar a un votante que está "A favor" de la Proposición 10, ¿cuál es la probabilidad de que esté afiliado al Partido Demócrata? Redondea tu respuesta a dos decimales.
En una preparatoria, $200$ estudiantes pueden elegir estudiar Español ($E$), Francés ($F$) y/o Alemán ($A$). El diagrama de Venn muestra la distribución de los…
En una preparatoria, $200$ estudiantes pueden elegir estudiar Español ($E$), Francés ($F$) y/o Alemán ($A$). El diagrama de Venn muestra la distribución de los estudiantes. Sabemos además que:
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El total de estudiantes que estudian Español es $60$.
-
El total de estudiantes que estudian Francés es $45$.
Encuentra los valores de $x$, $y$, y $z$. Luego, calcula la probabilidad condicional $P(E \mid (F \cup A)^c)$.