Poliedros
Un juego de rol de mesa trae dados de 4, 6, 8, 12 y 20 caras. Una caja de zapatos, una pirámide de un parque de diversiones y un cubo de Rubik también son sólidos cerrados cuyas caras son polígonos planos. A estos sólidos se les llama poliedros. Al final de esta página sabrás por qué ese juego de dados tiene exactamente estas cinco formas y ninguna otra.
Caras, aristas y vértices
Gira el cubo y cuenta sus partes. Fíjate en la última línea.
Un poliedro es convexo si el segmento entre dos puntos cualesquiera del sólido queda dentro del sólido. Piensa en un cubo, no en una figura "abollada". En esta página todos los poliedros son convexos, salvo que se diga lo contrario.
Observa el siguiente cubo y numera sus elementos fundamentales. Indica cuántas caras, vértices y aristas tiene en total. Hazlo en tu cuaderno.
Observa el siguiente cubo y numera sus elementos fundamentales. Indica cuántas caras, vértices y aristas tiene en total. Hazlo en tu cuaderno.
Fórmula de Euler
Cuenta las partes de algunos sólidos:
| Sólido | $F$ | $V$ | $E$ | $F + V$ | $E + 2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Cubo | 6 | 8 | 12 | 14 | 14 |
| Prisma triangular | 5 | 6 | 9 | 11 | 11 |
| Pirámide cuadrada | 5 | 5 | 8 | 10 | 10 |
Las dos últimas columnas siempre coinciden.
En algunos problemas se escribe $C + V = A + 2$, con $C$ para las caras y $A$ para las aristas. Es la misma fórmula.
¿Por qué funciona la fórmula? Un poliedro convexo es como un globo. Si lo inflas hasta convertirlo en una esfera, obtienes un mapa de caras, aristas y vértices sobre la esfera. Todo mapa de este tipo cumple $F - E + V = 2$. Por eso la fórmula vale para todo poliedro convexo.
Comprueba si se cumple el Teorema de Euler en un prisma de base triangular. Para ello, cuenta sus elementos y aplica la fórmula: $C + V = A + 2$ donde $C$ es el número…
Comprueba si se cumple el Teorema de Euler en un prisma de base triangular. Para ello, cuenta sus elementos y aplica la fórmula:
$C + V = A + 2$
donde $C$ es el número de caras, $V$ el de vértices y $A$ el de aristas.
Si tenemos un poliedro convexo con 12 caras y 20 vértices (un dodecaedro), utiliza el Teorema de Euler para calcular el número de aristas que tiene.
Si tenemos un poliedro convexo con 12 caras y 20 vértices (un dodecaedro), utiliza el Teorema de Euler para calcular el número de aristas que tiene.
Un arquitecto está diseñando una estructura para un museo de arte moderno. La pieza central es un poliedro convexo que tiene $12$ caras y $30$ aristas. Debido a un error…
Un arquitecto está diseñando una estructura para un museo de arte moderno. La pieza central es un poliedro convexo que tiene $12$ caras y $30$ aristas. Debido a un error en los planos, no se indica el número de vértices. Utiliza el Teorema de Euler para calcular cuántos vértices tiene la escultura y explica si es posible que se trate de un dodecaedro regular basándote en sus elementos.
Prismas y pirámides
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Un prisma tiene dos bases congruentes y paralelas. Sus caras laterales son paralelogramos, y rectángulos si el prisma es recto. Si las bases son rectángulos, es un prisma rectangular (una caja).
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Una pirámide tiene una sola base. Sus caras laterales son triángulos que se unen en un punto, el vértice o ápice (apex).
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Ambos se nombran según su base: prisma triangular, pirámide pentagonal, etcétera.
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Una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular. Un prisma recto tiene las aristas laterales perpendiculares a las bases.
Si la base tiene $n$ lados, puedes predecir las cantidades:
| Sólido | $F$ | $V$ | $E$ |
|---|---|---|---|
| Prisma $n$-gonal | $n + 2$ | $2n$ | $3n$ |
| Pirámide $n$-gonal | $n + 1$ | $n + 1$ | $2n$ |
Comprueba con el prisma pentagonal: $7 + 10 = 15 + 2$. ✓
Un prisma rectangular de dimensiones $\ell \times w \times h$ tiene tres pares de caras iguales: $\ell \times w$ (arriba y abajo), $\ell \times h$ (frente y atrás) y $w \times h$ (izquierda y derecha).
Clasifica el siguiente cuerpo geométrico indicando si es un prisma o una pirámide. Razona tu respuesta fijándote en sus caras laterales y en sus bases.
Clasifica el siguiente cuerpo geométrico indicando si es un prisma o una pirámide. Razona tu respuesta fijándote en sus caras laterales y en sus bases.
Un fabricante de cajas de regalo quiere diseñar una con forma de ortoedro. Si las dimensiones de la base son $10\text{ cm}$ y $15\text{ cm}$, y la altura es de…
Un fabricante de cajas de regalo quiere diseñar una con forma de ortoedro. Si las dimensiones de la base son $10\text{ cm}$ y $15\text{ cm}$, y la altura es de $20\text{ cm}$, indica cuántas de sus caras son iguales entre sí.
Pirámides: triángulos rectángulos, área y volumen
Una pirámide recta esconde varios triángulos rectángulos. Aprende a encontrarlos.
Una advertencia sobre las letras. Los libros y los problemas no siempre usan las mismas. En algunos dibujos la altura inclinada (slant height: la altura de una cara lateral, desde el vértice hasta el punto medio de una arista de la base) se llama $a$, y la altura $h$ es el segmento del vértice al centro de la base. Aquí escribimos $\ell$ para la altura inclinada y reservamos $a$ para el apotema de la base. Fíjate siempre en dónde empieza y dónde termina el segmento al que se refiere cada letra.
El apotema de la base es la distancia más corta del centro a un lado. Para un polígono regular, el área de la base es $B = \tfrac12 aP$, donde $P$ es el perímetro.
Con otras bases regulares se procede igual. Solo necesitas el apotema de la base. Para un octágono regular de lado $s$, el apotema es aproximadamente $1.21\,s$. (Sale del triángulo rectángulo con un ángulo de $22.5°$: $a = \dfrac{s}{2\tan 22.5°} \approx 1.207\,s$.)
Observa el dibujo de esta pirámide cuadrangular. Identifica y nombra el segmento marcado con la letra $h$ (que va del vértice al centro de la base) y el segmento marcado…
Observa el dibujo de esta pirámide cuadrangular. Identifica y nombra el segmento marcado con la letra $h$ (que va del vértice al centro de la base) y el segmento marcado con la letra $a$ (altura de una cara lateral).
Una empresa de perfumes ha diseñado un frasco con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $6 \text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el…
Una empresa de perfumes ha diseñado un frasco con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $6 \text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el vértice con una esquina de la base) mide $10 \text{ cm}$. Calcula la altura de la pirámide para saber si cabe en un estante de $9 \text{ cm}$ de alto.
Se quiere construir una carpa de circo con forma de pirámide octogonal regular. La arista de la base mide $6$ pies y la altura de la carpa en el centro es de $10$ pies.…
Se quiere construir una carpa de circo con forma de pirámide octogonal regular. La arista de la base mide $6$ pies y la altura de la carpa en el centro es de $10$ pies. Sabiendo que la apotema de un octágono regular de lado $L$ es aproximadamente $1,21 \cdot L$:
- a) Calcula la apotema de la pirámide.
- b) Calcula la cantidad de lona necesaria para cubrir las paredes laterales de la carpa.
- c) Calcula el volumen de aire que contiene la carpa.
Prismas: área total y volumen
Muchas veces lo primero es hallar el área de la base. Dos ayudas aparecen una y otra vez.
Una base trapezoidal. El área es $\tfrac12(b_1 + b_2)h_t$. En un trapecio isósceles, traza dos perpendiculares. Cada una forma un triángulo rectángulo con un cateto de $\tfrac{b_1 - b_2}{2}$ y el lado inclinado como hipotenusa. Así obtienes la altura $h_t$ del trapecio.
Una base de hexágono regular. Seis triángulos equiláteros encajan alrededor del centro. El apotema $a$ es la altura de uno de ellos.
¿Por qué $a = \tfrac{\sqrt{3}}{2}s$? Divide un triángulo equilátero por la mitad. Obtienes un triángulo 30-60-90 con hipotenusa $s$ y cateto corto $\tfrac{s}{2}$. Por el teorema de Pitágoras, $a = \sqrt{s^2 - \tfrac{s^2}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}s$.
En el taller de tecnología, un grupo de alumnos está construyendo una caja con forma de prisma hexagonal regular para guardar filamentos de una impresora 3D. La arista…
En el taller de tecnología, un grupo de alumnos está construyendo una caja con forma de prisma hexagonal regular para guardar filamentos de una impresora 3D. La arista de la base mide $10 \text{ cm}$ y la altura del prisma es de $25 \text{ cm}$. Calcula el área total de cartón necesaria para fabricar la caja (incluida la tapa).
Dato: Recuerda calcular primero la apotema de la base usando el Teorema de Pitágoras.
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $12 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, y sus lados oblicuos miden…
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $12 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, y sus lados oblicuos miden $5 \text{ cm}$. La altura del prisma es de $20 \text{ cm}$.
Dato: Primero deberás hallar la altura del trapecio de la base para poder calcular su área.
Un tanque de agua tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $4$ pies y $10$ pies, y los lados iguales miden $5$ pies.…
Un tanque de agua tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $4$ pies y $10$ pies, y los lados iguales miden $5$ pies. Si la altura del tanque (la longitud del prisma) es de $15$ pies:
- a) Calcula el área de la base del tanque (necesitarás hallar primero la altura del trapecio).
- b) Calcula el área total del tanque.
- c) Si se llena hasta el $80\%$ de su capacidad, ¿cuántos galones de agua contendrá?
Los poliedros regulares
Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice se juntan el mismo número de caras. Solo hay cinco, los sólidos platónicos.
| Poliedro | Caras | $F$ | $V$ | $E$ |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | triángulos | 4 | 4 | 6 |
| Cubo (hexaedro) | cuadrados | 6 | 8 | 12 |
| Octaedro | triángulos | 8 | 6 | 12 |
| Dodecaedro | pentágonos | 12 | 20 | 30 |
| Icosaedro | triángulos | 20 | 12 | 30 |
Duales. Marca el centro de cada cara de un poliedro y une los centros de las caras que comparten una arista. Obtienes un nuevo poliedro, el dual. Las caras y los vértices intercambian sus papeles: si el original tiene $F$ caras y $V$ vértices, el dual tiene $V$ caras y $F$ vértices, y el mismo número de aristas. El cubo y el octaedro son duales, el dodecaedro y el icosaedro son duales, y el tetraedro es su propio dual.
De vuelta a los dados. El dado de 20 caras es un icosaedro: 20 triángulos, 12 vértices, 30 aristas, y $20 + 12 = 32 = 30 + 2$. En un sólido platónico todas las caras son idénticas y todos los vértices se ven igual, así que ninguna cara se favorece cuando el dado cae. Por eso el juego de dados usa exactamente el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Un balón de fútbol (soccer) clásico no es regular. Es un icosaedro truncado con 12 pentágonos y 20 hexágonos: $F = 32$, $V = 60$, $E = 90$, y $32 + 60 = 90 + 2$. ✓
¿Cuál es el nombre del poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros? Dibuja un esquema sencillo de su forma e indica cuántos vértices tiene.
¿Cuál es el nombre del poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros? Dibuja un esquema sencillo de su forma e indica cuántos vértices tiene.
Relaciona cada uno de los 5 Poliedros Regulares (Sólidos Platónicos) con el polígono que forma sus caras: Tetraedro Cubo (Hexaedro) Octaedro Dodecaedro Icosaedro Los…
Relaciona cada uno de los 5 Poliedros Regulares (Sólidos Platónicos) con el polígono que forma sus caras:
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Tetraedro
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Cubo (Hexaedro)
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Octaedro
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Dodecaedro
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Icosaedro
Los polígonos disponibles son: Triángulo equilátero, Cuadrado y Pentágono regular.
Un coleccionista de dados tiene uno muy especial con forma de octaedro regular (8 caras triangulares) donde cada arista mide $4 \text{ cm}$. Si decide fabricar un nuevo…
Un coleccionista de dados tiene uno muy especial con forma de octaedro regular (8 caras triangulares) donde cada arista mide $4 \text{ cm}$. Si decide fabricar un nuevo dado uniendo los centros de las caras del octaedro original:
- a) ¿Qué nombre recibe el poliedro resultante (su poliedro dual)?
- b) ¿Cuántas caras y cuántos vértices tendrá este nuevo poliedro? Comprueba si cumple la fórmula de Euler.
Cortar esquinas
Corta una esquina de un poliedro con un plano. Esto se llama truncamiento. Cuenta qué cambia.
Las caras también cambian. Una cara que pierde una esquina gana un lado. Un triángulo al que se le corta una esquina se convierte en un cuadrilátero.
¿Y si cortas todos los vértices por los puntos medios de sus aristas? Los cortes vecinos ahora coinciden en el mismo punto medio, así que la regla de una esquina ya no se aplica. Cuenta directamente las partes del nuevo sólido.
Se ha diseñado una pieza mecánica que consiste en un cubo de $8 \text{ cm}$ de arista al que se le ha realizado un corte plano que pasa por los puntos medios de tres…
Se ha diseñado una pieza mecánica que consiste en un cubo de $8 \text{ cm}$ de arista al que se le ha realizado un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas concurrentes en un vértice, eliminando así una pequeña pirámide triangular (proceso de truncamiento).
- a) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene el nuevo poliedro resultante?
- b) ¿Se sigue cumpliendo el Teorema de Euler tras el corte?
Un diseñador de trofeos para una competencia de videojuegos ha decidido crear una pieza a partir de un cubo de vidrio de $12$ pulgadas de arista. El proceso consiste en…
Un diseñador de trofeos para una competencia de videojuegos ha decidido crear una pieza a partir de un cubo de vidrio de $12$ pulgadas de arista. El proceso consiste en "truncar" el cubo cortando cada uno de sus $8$ vértices mediante planos que pasan por los puntos medios de las tres aristas que concurren en dicho vértice.
- a) Calcula el número de caras, vértices y aristas del poliedro resultante.
- b) Comprueba si el nuevo poliedro sigue cumpliendo el Teorema de Euler.
- c) ¿Qué tipo de polígonos forman las caras del nuevo trofeo?
El teorema de Pitágoras en el espacio
Una diagonal del espacio de una caja une dos vértices opuestos pasando por el interior. Para hallar su longitud, usa el teorema de Pitágoras dos veces: primero en la base y luego en un triángulo vertical.
Tenemos una caja de cartón en forma de ortoedro de dimensiones $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Queremos guardar en su interior un tubo…
Tenemos una caja de cartón en forma de ortoedro de dimensiones $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Queremos guardar en su interior un tubo fluorescente que mide $128 \text{ cm}$ de largo. ¿Es posible guardarlo en línea recta uniendo dos vértices opuestos de la caja? Justifica tu respuesta calculando la diagonal principal del poliedro.
Una empresa de logística utiliza cajas con forma de ortoedro para transportar material deportivo. Un cliente necesita enviar una jabalina de entrenamiento que mide…
Una empresa de logística utiliza cajas con forma de ortoedro para transportar material deportivo. Un cliente necesita enviar una jabalina de entrenamiento que mide exactamente $2,25$ metros de largo. El almacén dispone de cajas cuyas dimensiones son $200$ cm de largo, $80$ cm de ancho y $60$ cm de alto. Determina razonadamente, mediante el cálculo de la diagonal del ortoedro, si la jabalina puede viajar dentro de la caja sin doblarse (suponiendo que su grosor es despreciable).
Troncos y sólidos semejantes
Corta una pirámide con un plano paralelo a su base. La pirámide pequeña de arriba es una copia a menor escala de la pirámide completa. La parte que queda abajo es un tronco (frustum).
Dos sólidos son semejantes si uno es una copia a escala del otro con factor de escala $k$.
Para obtener el volumen de un tronco, resta: tronco = pirámide completa menos pirámide pequeña.
Cuando un problema da el área de la base y te dice dónde está el corte, halla $k$ a partir de las alturas. Luego usa $k$ para las longitudes y $k^3$ para los volúmenes.
Un trofeo tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de la base inferior miden $10 \text{ cm}$, las de la base superior $4 \text{ cm}$ y la…
Un trofeo tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de la base inferior miden $10 \text{ cm}$, las de la base superior $4 \text{ cm}$ y la altura del tronco es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de metal necesario para fundir este trofeo.
Sugerencia: Puedes usar la fórmula del volumen del tronco o considerar el tronco como la diferencia de dos pirámides.
Una pirámide cuadrangular regular tiene una altura de $24$ pulgadas y el área de su base es de $100$ $cm^2$. Se realiza un corte con un plano paralelo a la base a una…
Una pirámide cuadrangular regular tiene una altura de $24$ pulgadas y el área de su base es de $100$ $cm^2$. Se realiza un corte con un plano paralelo a la base a una altura de $12$ pulgadas desde el vértice (es decir, por el punto medio de la altura).
- a) Calcula la arista de la base del tronco de pirámide superior.
- b) Calcula el volumen del tronco de pirámide inferior resultante tras retirar la parte superior.
Tenemos dos prismas rectos de base hexagonal regular que son semejantes. El primero tiene una altura de $10$ pulgadas y su área total es de $350$ $cm^2$. Si el segundo…
Tenemos dos prismas rectos de base hexagonal regular que son semejantes. El primero tiene una altura de $10$ pulgadas y su área total es de $350$ $cm^2$. Si el segundo prisma tiene un volumen que es exactamente $8$ veces el volumen del primero:
- a) ¿Cuál es la razón de semejanza $k$ entre ambos cuerpos?
- b) Calcula la altura y el área total del segundo prisma basándote en las relaciones de semejanza para áreas y volúmenes.
Sólidos compuestos y simetría
Un sólido compuesto se construye uniendo o quitando sólidos más simples. Descomponlo en piezas que conozcas. Suma volúmenes cuando unes y réstalos cuando vacías. Para el área total, piensa qué caras quedan a la vista y cuáles quedan ocultas o recién expuestas.
Simetría. Un plano de simetría corta un sólido en dos mitades que son imagen especular una de la otra. Un prisma recto de base rectangular (con las tres dimensiones distintas) tiene 3 planos de simetría. Un cubo tiene 9.
Un bloque de granito tiene forma de ortoedro de dimensiones $40 \times 40 \times 100$ pulgadas. Un escultor quiere tallar un hueco en su interior con forma de pirámide…
Un bloque de granito tiene forma de ortoedro de dimensiones $40 \times 40 \times 100$ pulgadas. Un escultor quiere tallar un hueco en su interior con forma de pirámide cuadrangular cuya base coincida con una de las caras de $40 \times 40$ pulgadas y cuyo vértice llegue exactamente al centro de la cara opuesta.
- a) Calcula el volumen de granito que queda tras extraer la pirámide.
- b) Calcula el área de la superficie total del cuerpo resultante (incluyendo las paredes interiores del hueco piramidal).
Se construye una pieza mecánica uniendo un cubo de arista $a = 6$ pulgadas y una pirámide regular cuya base coincide con una de las caras del cubo. Se sabe que el…
Se construye una pieza mecánica uniendo un cubo de arista $a = 6$ pulgadas y una pirámide regular cuya base coincide con una de las caras del cubo. Se sabe que el volumen total de la pieza es de $288$ $cm^3$.
- a) Calcula la altura de la pirámide.
- b) Calcula la distancia máxima entre el vértice de la pirámide y cualquiera de los vértices de la base inferior del cubo.
- c) ¿Cuántos planos de simetría tiene esta pieza compuesta?