Latitud y longitud

Imagine que es un cartógrafo principiante. En su primer mapa, debe situar las líneas de referencia más importantes de la Tierra. Observe el dibujo y asocie cada letra con su nombre correspondiente:

1. Ecuador.

2. Meridiano de Greenwich.

3. Polo Norte.

4. Un paralelo cualquiera.

Dos barcos, el Alfa y el Beta, navegan por el Océano Atlántico. Sus coordenadas son:

• Barco Alfa: $20^\circ$ N, $30^\circ$ O

• Barco Beta: $20^\circ$ N, $60^\circ$ O

Responda razonadamente:

1. a) ¿Se encuentran sobre el mismo paralelo o sobre el mismo meridiano?
2. b) ¿Cuál de los dos barcos está más cerca del Meridiano de Greenwich?

Indique en qué hemisferio (Norte o Sur para la latitud, Este u Oeste para la longitud) se encuentran los siguientes puntos geográficos:

• Punto A: $34^\circ$ N, $120^\circ$ E

• Punto B: $12^\circ$ S, $45^\circ$ O

• Punto C: $89^\circ$ N, $5^\circ$ O

• Punto D: $40^\circ$ S, $170^\circ$ E

Un explorador ha anotado por error las siguientes coordenadas en su diario. Explique por qué estas coordenadas son geográficamente imposibles:

1. a) Latitud: $105^\circ$ S, Longitud: $20^\circ$ E.
2. b) Latitud: $45^\circ$ N, Longitud: $210^\circ$ O.

Observe la siguiente representación plana (planisferio) de una zona del océano. Identifique las coordenadas (Latitud y Longitud) del punto $P$ marcado con una estrella.

Si viaja en avión desde Houston ($40^\circ$ N, $3^\circ$ O) hacia una ciudad que está exactamente en sus antípodas (el punto opuesto de la esfera terrestre):

1. a) ¿Cuál sería la latitud de ese punto? (Mismo valor pero dirección opuesta).
2. b) Si la longitud de un punto y su antípoda deben sumar $180^\circ$ y estar en hemisferios opuestos, ¿cuál sería la longitud de ese punto?

Se dice que las antípodas de un lugar son el punto de la superficie terrestre diametralmente opuesto. Si las coordenadas de su ciudad son $40^\circ$ $25'$ N de latitud y $3^\circ$ $41'$ O de longitud:

1. a) ¿Cuál sería la latitud de sus antípodas?
2. b) ¿Cuál sería la longitud de sus antípodas?

(Pista: Para la latitud cambie de hemisferio; para la longitud busque el meridiano que complete $180^\circ$ y cambie de hemisferio E/W).

Dos ciudades, Villa Sol y Villa Luna, se encuentran sobre el mismo meridiano. Si Villa Sol tiene una latitud de $45^\circ$ N y Villa Luna tiene una latitud de $20^\circ$ S, ¿cuántos grados de arco de meridiano las separan?

Una ballena jorobada migra siguiendo exactamente el mismo meridiano desde una zona de alimentación situada a $65^\circ$ N de latitud hasta una zona de reproducción a $15^\circ$ S. Si el radio medio de la Tierra se considera de $6\,371$ millas, calcule la distancia total en millas que recorre la ballena en su viaje de ida.

En náutica se utiliza la "milla náutica", que se define como la longitud de un arco de meridiano de $1'$ (un minuto de grado).

1. a) Calcule a cuántas millas equivale una milla náutica (Radio de la Tierra = $6\,371$ millas).
2. b) Si un velero ha navegado por un meridiano desde una latitud de $30^\circ$ N hasta $35^\circ$ N, ¿cuántas millas náuticas ha recorrido?

Para un proyecto escolar, necesita calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ millas, calcule:

1. a) El radio del círculo que forma dicho paralelo (utilice la expresión $r = R \cdot \cos(\text{latitud})$).
2. b) La longitud total (perímetro) de dicho paralelo.

Dos ciudades, P y Q, están situadas en el mismo meridiano. La ciudad P está a $42^\circ$ N y la ciudad Q a $15^\circ$ N. Otra ciudad, R, está situada en el mismo paralelo que Q, pero a una distancia de $20^\circ$ de longitud hacia el Este.

Calcule, usando $R = 6\,371$ millas:

1. a) La distancia entre P y Q sobre el meridiano.
2. b) La distancia entre Q y R sobre el paralelo.

¿Cuál de las dos distancias es mayor?

Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una longitud de $70^\circ \text{ E}$.

Sabiendo que el radio de la Tierra es de aproximadamente $6371 \text{ km}$:

1. Calcule el radio del paralelo $45^\circ \text{ N}$ (Recuerde que el radio de un paralelo a una latitud $\alpha$ se calcula como $r = R \cdot \cos \alpha$. Para $45^\circ$, puede usar $0,707$ como aproximación del coseno).

2. Determine la distancia en millas que separa ambas ciudades siguiendo el arco del paralelo.

Dos barcos de investigación oceanográfica se encuentran sobre la línea del Ecuador. El barco A está en una longitud de $12^\circ$ E y el barco B se encuentra a una distancia de $2\,500$ millas hacia el Oeste del barco A. Determine la longitud exacta del barco B, sabiendo que el radio de la Tierra es de $6\,371$ millas.

Calcule la distancia más corta entre dos puntos, P y Q, situados sobre la superficie terrestre si sus coordenadas son:

• P: $(40^\circ \text{ N}, 10^\circ \text{ O})$

• Q: $(40^\circ \text{ S}, 10^\circ \text{ O})$

Considere que la Tierra es una esfera perfecta de radio $6371 \text{ km}$. Exprese el resultado en millas. ¿Se desplaza el viajero por un meridiano o por un paralelo? Justifique su respuesta.

Un submarino se desplaza por el fondo marino desde un punto X $(0^\circ, 175^\circ \text{ E})$ hasta un punto Y $(0^\circ, 170^\circ \text{ O})$.

1. ¿Cuántos grados de longitud ha recorrido si ha seguido la ruta más corta por el Ecuador?

2. Si el submarino viaja a una velocidad constante de $20 \text{ nudos}$ ($1 \text{ nudo} \approx 1,85 \text{ km/h}$), ¿cuánto tiempo tardará en completar el viaje? (Radio de la Tierra: $6371 \text{ km}$).

3. ¿Hubo algún cambio de fecha durante el trayecto? Explique por qué.

Sabemos que la Tierra tarda 24 horas en completar una vuelta de $360^\circ$ sobre su eje.

1. a) ¿Cuántos grados de longitud corresponden a una hora de diferencia?
2. b) Si en una ciudad situada a $0^\circ$ de longitud (Greenwich) son las 12:00 del mediodía, ¿qué hora será en una ciudad situada a $30^\circ$ E?

Un grupo de amigos en Houston (longitud $95^\circ$ $22'$ O) quiere ver en directo el lanzamiento de un cohete espacial desde Cabo Cañaveral (longitud $80^\circ$ $36'$ O). Si el lanzamiento está programado para las 14:30 hora local de Florida, y sabiendo que cada huso horario de $15^\circ$ equivale a una hora de diferencia teórica, ¿a qué hora deberán sintonizar el directo en Texas? Utilice el esquema de husos horarios teóricos para realizar el cálculo.

Un avión de reconocimiento despega de una base situada en las coordenadas $(30^\circ \text{ N}, 15^\circ \text{ O})$ a las 08:00 hora local. Vuela directamente hacia el Este siguiendo el mismo paralelo hasta alcanzar una ciudad situada a $60^\circ$ de longitud Este. El vuelo tiene una duración total de 9 horas.

¿A qué hora local de la ciudad de destino aterrizará el avión? Tenga en cuenta el cambio de husos horarios durante el trayecto (considere husos teóricos de $15^\circ$ cada uno).

Un avión despega de Tokio ($35^\circ$ N, $139^\circ$ E) a las 08:00 del lunes con destino a San Francisco ($37^\circ$ N, $122^\circ$ O). Si el vuelo dura 10 horas, ¿qué hora y qué día será en San Francisco cuando el avión aterrice? Tenga en cuenta el cambio de fecha al atravesar el antimeridiano de Greenwich ($180^\circ$).

Se construye un octaedro truncado a partir de un octaedro regular de arista $12 \text{ cm}$. Para ello, se corta cada uno de los seis vértices de forma que se eliminan pequeñas pirámides cuadrangulares de base regular, convirtiendo cada cara triangular original en un hexágono regular.

1. Determine el número de caras, vértices y aristas del poliedro resultante y compruebe si cumple el Teorema de Euler.

2. Si la arista del nuevo poliedro (la del hexágono resultante) es de $4 \text{ cm}$, calcule el área total de la superficie del octaedro truncado.

Un tanque de agua tiene forma de prisma hexagonal regular recto. Se sabe que el radio de la circunferencia en la que se inscribe la base hexagonal mide $4 \text{ m}$ y que la altura del prisma es el triple de la apotema de la base.

Calcule el costo de impermeabilizar las paredes laterales y el fondo (base inferior) si el precio del material es de $12,50 \text{ \$/m}^2$. Redondee el resultado a las centésimas.

Una empresa de perfumes diseña un frasco con la forma de un tronco de cono invertido coronado por una semiesfera que encaja perfectamente en la base superior. Los datos del diseño son los siguientes:

• Altura del tronco de cono: $8 \text{ cm}$.

• Radio de la base inferior (donde se apoya): $3 \text{ cm}$.

• Radio de la base superior (donde encaja la semiesfera): $6 \text{ cm}$.

Calcule el volumen total del frasco y determine si es capaz de contener un frasco estándar de $330 \text{ ml}$ de esencia. (Tome $\pi \approx 3,14$).

Se tiene un cilindro de radio $R$ y altura $2R$. En su interior se introduce una esfera de radio $R$ que encaja tangencialmente con las paredes y las bases del cilindro.

1. Demuestre analíticamente la relación que existe entre el volumen de la esfera y el volumen del cilindro.

2. Si el volumen del cilindro es de $54 \text{ cm}^3$, ¿qué volumen de aire queda libre dentro del cilindro una vez introducida la esfera?