Transformaciones y movimientos rígidos

Está editando una fotografía en su celular. Si aplica una transformación que mantiene los ángulos de la imagen y la proporción entre sus lados, pero cambia su tamaño total para que quepa en un marco más pequeño, ¿qué tipo de transformación geométrica está realizando? Razone si se trata de una isometría o de una semejanza.

Una aplicación de edición fotográfica permite aplicar filtros que modifican las imágenes. Considere un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ y $C(2, 5)$. Indique qué tipo de transformación geométrica se ha aplicado en cada caso y si se trata de una isometría:

1. a) El filtro "Espejo" transforma el vértice $A(1, 2)$ en $A'(-1, 2)$, $B(4, 2)$ en $B'(-4, 2)$ y $C(2, 5)$ en $C'(-2, 5)$.
2. b) El filtro "Zoom" transforma los vértices multiplicando ambas coordenadas por $2$.
3. c) El filtro "Desplazar" mueve la figura $3$ unidades a la derecha y $1$ hacia abajo.

Identifique cuál de los siguientes movimientos es una isometría inversa y explique brevemente por qué:

• Una traslación de $5\text{ cm}$ hacia la izquierda.

• Un giro de $90^\circ$ en sentido horario.

• Una simetría axial respecto al eje de ordenadas.

Explique la diferencia entre una isometría directa e inversa utilizando como ejemplo la letra L y la letra F.

1. a) ¿Qué movimiento transforma la letra "L" en otra "L" situada en otra posición pero con la misma orientación?
2. b) ¿Es posible superponer una figura con su imagen tras una simetría axial sin levantarla del plano? Razone si esto la convierte en una isometría directa o inversa.

Un personaje de un videojuego se encuentra en el punto $A(2, 3)$. Para esquivar un obstáculo, el jugador lo desplaza siguiendo un vector de traslación $\vec{v} = (4, -2)$. Calcule las coordenadas del punto final $A'$ donde se detendrá el personaje.

Dado el triángulo de vértices $P(1, 1)$, $Q(3, 1)$ y $R(2, 4)$, aplique una traslación de vector $\vec{u} = (-3, 2)$. Indique las coordenadas de los nuevos vértices $P'$, $Q'$ y $R'$. ¿Ha cambiado el área del triángulo tras el movimiento?

Dada la traslación de vector $\vec{v} = (5, -2)$, calcule las coordenadas de los vértices del triángulo transformado $A'B'C'$ si los vértices originales son $A(0, 4)$, $B(-2, 1)$ y $C(3, 0)$. Represente gráficamente el vector que une cada punto con su homólogo.

Dibuje en un sistema de ejes cartesianos el punto $C(4, -3)$.

1. Halle su simétrico respecto al eje $X$ (eje de abscisas) y llámelo $C'$.

2. Halle el simétrico de $C$ respecto al origen de coordenadas $(0, 0)$ y llámelo $C''$.

Indique las coordenadas de ambos puntos.

Observe las siguientes letras mayúsculas del abecedario: A, M, T, U.

1. ¿Qué tipo de simetría presentan respecto a un eje vertical que pase por su centro?

2. Dibuje en su cuaderno la letra B y su simétrica respecto a una recta vertical situada a su derecha. ¿Sigue siendo la letra B o ha cambiado su orientación?

Dibuje un sistema de ejes coordenados y el segmento de extremos $P(2, 5)$ y $Q(6, 5)$.

1. a) Halle el segmento simétrico $P'Q'$ respecto al eje de ordenadas (Eje $Y$).
2. b) Halle el segmento simétrico $P''Q''$ respecto al origen de coordenadas $(0, 0)$.
3. c) ¿Qué relación hay entre las coordenadas de $P$ y $P''$? ¿A qué giro equivale esta simetría central?

Un diseñador de logotipos está trabajando con un cuadrado de centro $C(2, 2)$ y vértices en los puntos $(1, 1)$, $(3, 1)$, $(3, 3)$ y $(1, 3)$.

1. a) Aplique un giro de centro el origen $O(0, 0)$ y ángulo $90^\circ$ en sentido antihorario. Indique las nuevas coordenadas.
2. b) ¿Qué punto de la figura permanece invariante si el giro se realiza con centro en el punto $(2, 2)$?

Un estudio de arquitectura crea una maqueta de un centro comercial a escala $1:200$. El suelo de la maqueta es un cuadrilátero con un área de $150 \text{ cm}^2$.

1. a) Calcule la razón de semejanza $k$ entre la realidad y la maqueta.
2. b) ¿Cuál será el área real del suelo del centro comercial en pies cuadrados? (Recuerde la relación entre la razón de semejanza y la razón de las áreas).

Un arquitecto utiliza una homotecia para escalar el plano de una plaza circular. El centro de la plaza en el plano original está en $O(0, 0)$ y un banco está situado en $B(3, 4)$. Se aplica una homotecia de centro $C(1, 1)$ y razón $k = -2$.

1. a) Calcule las nuevas coordenadas del banco $B'$ tras la homotecia.
2. b) Si el área de la plaza original era de $25 \pi$ $cm^2$ en el plano, ¿cuál será el área de la plaza tras la transformación?
3. c) ¿Qué ha ocurrido con la orientación de la figura al ser la razón negativa? ¿Sigue siendo una transformación directa o inversa?

Se aplican dos traslaciones consecutivas a un punto del plano. La primera traslación tiene el vector $\vec{u} = (-3, 4)$ y la segunda el vector $\vec{v} = (7, 1)$.

1. a) Calcule el vector de la traslación resultante $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$.
2. b) Si el punto final tras las dos transformaciones es $P''(5, 8)$, ¿cuáles eran las coordenadas del punto inicial $P$?

Se aplica a un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 2)$ y $C(2, 4)$ una traslación de vector $\vec{u}(4, -1)$ seguida de un giro de centro $O(0, 0)$ y ángulo $90^\circ$ en sentido antihorario.

1. a) Obtenga las coordenadas de los vértices del triángulo final $A''B''C''$.
2. b) ¿Es la composición de movimientos conmutativa en este caso? Compruébelo calculando la posición del vértice $A$ si se aplicara primero el giro y después la traslación.
3. c) Describa una recta que sea invariante (que se transforme en sí misma) bajo la traslación de vector $\vec{u}$.

En un estudio de diseño gráfico, se está creando un logotipo basado en la composición de simetrías. Considere dos rectas paralelas $r$ y $s$. La recta $r$ tiene por ecuación $x = 2$ y la recta $s$ tiene por ecuación $x = 5$. Si aplicamos primero una simetría axial respecto a $r$ y, al resultado, una simetría axial respecto a $s$ sobre un punto $P(1, 4)$:

1. a) Determine las coordenadas del punto final $P''$ tras ambas transformaciones.
2. b) Identifique razonadamente qué movimiento único equivale a esta composición de simetrías, indicando sus elementos característicos (vector, ángulo o centro, según corresponda).
3. c) ¿Sería el mismo resultado si aplicáramos primero la simetría respecto a $s$ y luego respecto a $r$? Justifique su respuesta calculando las coordenadas en este nuevo orden.

Un caleidoscopio artesanal utiliza dos espejos que se cortan en un punto $O(0, 0)$. El primer espejo coincide con el eje de abscisas ($X$) y el segundo espejo forma un ángulo de $30^\circ$ con el primero. Un pequeño cristal de color está situado en el punto $A(4, 2)$.

1. a) Si un rayo de luz se refleja primero en el eje $X$ y luego en el segundo espejo, ¿qué transformación única describe el paso del cristal original $A$ a su segunda imagen $A''$?
2. b) Calcule el ángulo de giro y el centro de dicha transformación.
3. c) Si queremos que la composición de las dos simetrías resulte en un giro de $180^\circ$ (simetría central), ¿qué ángulo deberían formar los dos espejos entre sí?

Un mosaico de la Alhambra está formado por piezas que se obtienen mediante la composición de giros. Una pieza básica tiene un centro de giro en el punto $C(2, 2)$. Se le aplica un giro de $120^\circ$ y, seguidamente, otro giro de $240^\circ$ con el mismo centro $C$.

1. a) ¿Cuál es la posición final de un punto $P(4, 2)$ tras ambos giros?
2. b) Generalice el resultado: ¿A qué transformación equivale la composición de dos giros con el mismo centro y ángulos $\alpha$ y $\beta$?
3. c) Si aplicamos dos giros de $90^\circ$ pero con centros distintos, $C_1(0, 0)$ y $C_2(4, 0)$, ¿el resultado es otro giro o una traslación? Justifique su respuesta analizando el ángulo total.

Considere un cuadrado de vértices $V_1(0, 2)$, $V_2(2, 2)$, $V_3(2, 0)$ y $V_4(0, 0)$. Se le aplica una transformación que consiste en una simetría central respecto al punto $(1, 1)$ seguida de una rotación de $180^\circ$ con centro en el mismo punto $(1, 1)$.

1. a) Determine la posición de los vértices tras la primera transformación.
2. b) Determine la posición de los vértices tras la segunda transformación.
3. c) ¿Cuál es el movimiento resultante de componer dos simetrías centrales de distinto centro $C_1$ y $C_2$? Investigue este caso probando con $C_1(1, 1)$ y $C_2(3, 1)$ sobre el vértice $V_4$. ¿Qué vector de traslación obtiene?

En un videojuego, un personaje se encuentra en el punto $M(-2, 3)$. El programador necesita que el personaje realice una "simetría con deslizamiento". Para ello, debe aplicar una simetría axial respecto a la recta $y = 1$ y, a continuación, una traslación de vector $\vec{v}(5, 0)$.

1. a) Halle las coordenadas finales del personaje tras el movimiento.
2. b) Explique por qué este movimiento no deja ningún punto invariante en el plano.
3. c) Si la traslación fuera de vector $\vec{w}(0, 5)$ en lugar de $\vec{v}(5, 0)$, ¿seguiría siendo una simetría con deslizamiento? Razone su respuesta basándose en la relación entre el vector y el eje de simetría.

Dos pueblos, $A$ y $B$, están situados al mismo lado de una carretera rectilínea $r$. Un técnico de telecomunicaciones debe instalar una antena en un punto $P$ de la carretera de modo que la suma de las distancias desde los pueblos a la antena ($AP + PB$) sea mínima.

1. a) Describa cómo utilizar la simetría axial para encontrar la ubicación exacta del punto $P$.
2. b) Si en un sistema de coordenadas los pueblos están en $A(2, 5)$ y $B(10, 3)$, y la carretera es el eje $X$, calcule las coordenadas del punto $P$.
3. c) Demuestre, basándose en las propiedades de la simetría, que para cualquier otro punto $Q$ de la carretera, $AQ + QB > AP + PB$.

En un estudio de diseño gráfico, se ha creado un logotipo con forma de hexágono regular.

1. ¿Cuál es el ángulo mínimo que debemos girar el hexágono alrededor de su centro para que la figura coincida exactamente con su posición inicial?

2. Si giramos la figura $180^\circ$, ¿obtendríamos el mismo resultado que aplicando una simetría central respecto al centro del hexágono?

Un friso se construye repitiendo un motivo mínimo a lo largo de una línea recta. Si el motivo se desplaza siempre la misma distancia en la misma dirección, ¿qué transformación geométrica se está aplicando repetidamente? Si además de desplazarse, el motivo se refleja como en un espejo respecto a la línea del suelo, ¿qué nombre recibe esa combinación?

Observe el siguiente mosaico regular formado por hexágonos.

1. a) Identifique un centro de giro y el ángulo mínimo necesario para que el mosaico coincida consigo mismo.
2. b) Indique cuántos ejes de simetría axial tiene uno de los hexágonos individuales y si el centro del hexágono es también un centro de simetría central.