Área de superficie de poliedros
¿Cuánto papel de regalo hace falta para cubrir una caja? ¿Cuánto vidrio se necesita para cubrir un tragaluz en forma de pirámide, como la gigantesca pirámide de cristal del hotel Luxor en Las Vegas? Ambas preguntas piden el área de superficie de un poliedro: el área total de todas sus caras. El truco es desplegar el sólido y verlo plano.
Desarrollos planos y área de superficie
Corta una caja por algunas aristas y aplánala sobre una mesa. La figura plana que obtienes es el desarrollo plano (net) del sólido: todas sus caras unidas por algunas aristas. El área de superficie del sólido es simplemente el área de su desarrollo.
El área se mide en unidades cuadradas: in.², ft², cm², m². Todas las fórmulas de esta página sirven con cualquier unidad, siempre que todas las longitudes usen la misma. Muchos problemas usan centímetros o metros, y las fórmulas son las mismas.
Un joven diseñador está creando un prototipo de bocina inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcule la superficie total de material…
Un joven diseñador está creando un prototipo de bocina inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcule la superficie total de material plástico que se necesita para recubrir todas sus caras.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifique de qué poliedro se trata y calcule su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifique de qué poliedro se trata y calcule su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
Prismas
Cuando desenrollas las caras laterales de un prisma recto, forman un solo rectángulo grande. Su ancho es el perímetro de la base y su altura es la altura del prisma.
¿Por qué $2B$? Un prisma cerrado tiene dos bases idénticas: una de arriba y una de abajo. Estas son las áreas de base que necesitarás:
| Base | Área $B$ |
|---|---|
| Rectángulo | $\ell w$ |
| Triángulo | $\tfrac{1}{2}bh$ |
| Triángulo equilátero, lado $s$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$ |
| Rombo con diagonales $d_1, d_2$ | $\tfrac{1}{2}d_1 d_2$ |
| Trapecio | $\tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)h$ |
| Polígono regular, apotema $a$, perímetro $P$ | $\tfrac{1}{2}aP$ |
La apotema de un polígono regular es la distancia desde su centro hasta el punto medio de un lado.
Para un prisma rectangular también puedes usar el atajo $SA = 2(\ell w + \ell h + wh)$. Comprueba: $2(96 + 60 + 40) = 392$ ✓.
Una caja de zapatos tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de…
Una caja de zapatos tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Calcule el área total de cartón utilizado para fabricar la caja (sin contar solapas).
Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de…
Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de $40\text{ cm}$. Si el área de la base triangular es aproximadamente $27,7\text{ cm}^2$, calcule el área total del estuche.
Se quiere fabricar un bote de basura metálico sin tapa con forma de prisma octogonal regular. La base tiene un perímetro de $64\text{ cm}$ y una apotema de…
Se quiere fabricar un bote de basura metálico sin tapa con forma de prisma octogonal regular. La base tiene un perímetro de $64\text{ cm}$ y una apotema de $9,66\text{ cm}$. La altura del bote de basura es de $40\text{ cm}$. Calcule la superficie total de metal necesaria para su fabricación.
Cómo hallar una longitud faltante en la base
Muchas veces el problema no te da el lado de la base ni la apotema. Casi siempre puedes hallarlos con el teorema de Pitágoras, usando un triángulo rectángulo escondido dentro de la base.
Tres triángulos rectángulos aparecen una y otra vez:
-
Rombo: las diagonales se cruzan en ángulo recto y se cortan por la mitad. Un rombo con diagonales 10 y 24 tiene lado $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$.
-
Trapecio isósceles: baja una perpendicular desde cada vértice de arriba. Cada lado no paralelo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con un cateto igual a la altura del trapecio y el otro igual a $\frac{b_1 - b_2}{2}$. Con bases 12 y 6 y altura 4, el lado es $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
-
Hexágono regular: se divide en 6 triángulos equiláteros. Su apotema es $a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}s$ y su área es $B = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.
Calcule el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. (Pista: Primero debe…
Calcule el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$.
(Pista: Primero debe hallar el lado del rombo usando el Teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos interiores de la base).
Para un proyecto de tecnología, tienes que construir una caja de herramientas con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura…
Para un proyecto de tecnología, tienes que construir una caja de herramientas con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura del prisma es de $25\text{ cm}$. Si quieres forrar todas las caras exteriores (incluidas las dos bases) con una lámina protectora, ¿cuántas pulgadas cuadradas de material necesitarás?
(Nota: Recuerda que para calcular el área de la base necesitarás hallar primero la apotema del hexágono usando el teorema de Pitágoras).
Un prisma recto de $20\text{ cm}$ de altura tiene como base un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $14\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, y su altura es de…
Un prisma recto de $20\text{ cm}$ de altura tiene como base un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $14\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, y su altura es de $3\text{ cm}$. Calcula el área total del prisma. Pista: Necesitarás calcular primero la longitud de los lados oblicuos del trapecio de la base usando el teorema de Pitágoras.
Cómo trabajar con otros datos
A veces el problema esconde lo que necesitas. Tres herramientas te ayudan.
1. El volumen te da la altura. El volumen de un prisma es $V = B \cdot h$. Si $V = 240$ in.³ y $B = 40$ in.², entonces $h = 240 \div 40 = 6$ in.
2. La diagonal espacial. En un prisma rectangular, el segmento que une dos esquinas opuestas pasa por el interior de la caja. Aplica el teorema de Pitágoras dos veces (una a lo largo de la base y otra hacia arriba por la altura) y obtienes
$$d = \sqrt{\ell^2 + w^2 + h^2}$$Cuando te dan la diagonal y falta un lado, escribe $d^2 = \ell^2 + w^2 + h^2$, sustituye lo que sabes y despeja la incógnita. Relaciones como "el largo es el doble del ancho" se convierten en $\ell = 2w$.
3. Convierte las unidades primero. Si las longitudes vienen en unidades distintas, conviértelas antes de calcular. Recuerda que $1\text{ ft} = 12\text{ in.}$ y $1\text{ m} \approx 39.37\text{ in.}$
Calcule el área lateral de un prisma pentagonal regular sabiendo que su volumen es de $450\text{ cm}^3$, el área de su base es de $30\text{ cm}^2$ y el lado de la base…
Calcule el área lateral de un prisma pentagonal regular sabiendo que su volumen es de $450\text{ cm}^3$, el área de su base es de $30\text{ cm}^2$ y el lado de la base mide $4\text{ cm}$.
(Pista: Utilice primero la fórmula del volumen para encontrar la altura del prisma).
Un estudio de arquitectura está diseñando un loft con forma de ortoedro. Se sabe que la longitud de la habitación es el doble que su anchura, y que la altura es de…
Un estudio de arquitectura está diseñando un loft con forma de ortoedro. Se sabe que la longitud de la habitación es el doble que su anchura, y que la altura es de exactamente $3\text{ m}$. Si la diagonal espacial (la distancia máxima entre dos esquinas opuestas) mide exactamente $7\text{ m}$, calcula el área total de las paredes y el techo (sin contar el piso) que debe cubrirse con pintura aislante.
Se ha fabricado un contenedor de residuos industriales con forma de prisma recto cuya base es un rombo. Las diagonales del rombo de la base miden $160\text{ cm}$ y…
Se ha fabricado un contenedor de residuos industriales con forma de prisma recto cuya base es un rombo. Las diagonales del rombo de la base miden $160\text{ cm}$ y $120\text{ cm}$. Si la altura del contenedor es de $2\text{ metros}$, calcula el área total de la superficie exterior del contenedor en pies cuadrados ($m^2$).
Pirámides
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos idénticos. Cada triángulo tiene una base igual a un lado $s$ del polígono de la base y una altura igual a la altura inclinada (slant height) $\ell$ de la pirámide. (Algunos problemas llaman a la altura inclinada la apotema de la pirámide.)
¿Por qué $\tfrac{1}{2}P\ell$? Cada cara tiene área $\tfrac{1}{2}s\ell$. Al sumar $n$ caras se obtiene $\tfrac{1}{2}(ns)\ell$, y $ns$ es el perímetro.
La altura inclinada no es la altura de la pirámide. Si te dan la altura $h$, construye un triángulo rectángulo dentro de la pirámide: un cateto es $h$, el otro es la distancia desde el centro de la base hasta el punto medio de un lado, y la hipotenusa es $\ell$.
Calcule el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras…
Calcule el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras laterales) mide $15\text{ cm}$.
Una empresa de arquitectura ha diseñado un tragaluz de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la…
Una empresa de arquitectura ha diseñado un tragaluz de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la pirámide es de $3\text{ m}$. Calcule la superficie total de cristal necesaria para cubrir las cuatro caras laterales (la base queda abierta para dejar pasar la luz al interior del edificio).
Troncos de pirámide
Un tronco de pirámide (frustum) es lo que queda cuando cortas la punta de una pirámide con un plano paralelo a la base. Tiene dos bases paralelas (una mayor $B$ y una menor $b$) y sus caras laterales son trapecios.
Cada cara lateral de un tronco cuadrado regular es un trapecio con lados paralelos $s_1$ y $s_2$ y altura igual a la altura inclinada $\ell$. Sumando todas las caras:
$$L = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)\,\ell \qquad\qquad SA = L + B_1 + B_2$$donde $P_1, P_2$ son los perímetros de las dos bases y $B_1, B_2$ sus áreas.
Si te dan la altura $h$ del tronco en lugar de $\ell$, corta el tronco por los puntos medios de dos aristas opuestas de la base y mira el corte de lado. Verás un trapecio isósceles cuyos lados no paralelos son la altura inclinada.
Calcule el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de…
Calcule el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de la cara lateral (apotema del tronco) es de $8\text{ cm}$. ¿Cuánto papel de regalo se necesita como mínimo para envolver un objeto con esta forma?
Una marca de perfumes de lujo ha diseñado un frasco con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mayor mide $8\text{ cm}$ y la arista de la…
Una marca de perfumes de lujo ha diseñado un frasco con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mayor mide $8\text{ cm}$ y la arista de la base menor mide $4\text{ cm}$. Si la altura del frasco es de $10\text{ cm}$, calcula la superficie total de vidrio necesaria para fabricar el frasco (incluyendo ambas bases). Para ello, deberás calcular primero la apotema del tronco de pirámide utilizando el teorema de Pitágoras en el espacio.
Poliedros regulares
En un poliedro regular todas las caras son polígonos regulares idénticos. Solo existen cinco.
| Sólido | Cara | Caras | Vértices | Aristas |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | triángulo | 4 | 4 | 6 |
| Cubo | cuadrado | 6 | 8 | 12 |
| Octaedro | triángulo | 8 | 6 | 12 |
| Dodecaedro | pentágono | 12 | 20 | 30 |
| Icosaedro | triángulo | 20 | 12 | 30 |
Como todas las caras son iguales, $SA = (\text{número de caras}) \times (\text{área de una cara})$. Tres de ellos tienen caras que son triángulos equiláteros. Para lado $s$, la altura del triángulo es $\frac{\sqrt{3}}{2}s$, así que
$$A_{\text{triángulo}} = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$$Si un problema añade un costo, como un baño de metal a cierto precio por pulgada cuadrada, halla primero el área y luego multiplica por el precio.
Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área…
Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área de $15,6\text{ cm}^2$, ¿cuánta superficie de cristal tendrá la lámpara completa?
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $0,05\text{ \$}…
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $0,05\text{ \$}$ por cada pulgada cuadrada. ¿Cuál será el costo total de platear las $8$ caras del trofeo?
(Dato: El área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).
Una hormiga recorre la superficie de un octaedro regular de arista $12\text{ cm}$. Si el octaedro se puede considerar como la unión de dos pirámides cuadrangulares…
Una hormiga recorre la superficie de un octaedro regular de arista $12\text{ cm}$. Si el octaedro se puede considerar como la unión de dos pirámides cuadrangulares regulares por su base, calcula el área total que la hormiga puede recorrer. Para ello, recuerda que todas las caras de un octaedro regular son triángulos equiláteros. Expresa el resultado en función de $\sqrt{3}$.
Fórmula de Euler
Cuenta las caras ($F$), los vértices ($V$) y las aristas ($E$) de un cubo: $F = 6$, $V = 8$, $E = 12$. Ahora mira la tabla de la sección anterior. Observa que $F + V$ siempre es exactamente 2 más que $E$.
Algunos problemas la llaman teorema de Euler. Funciona para todos los poliedros convexos, no solo para los regulares.
Para contar las partes de un prisma con base de $n$ lados: $F = n + 2$, $V = 2n$, $E = 3n$. Para una pirámide con base de $n$ lados: $F = n + 1$, $V = n + 1$, $E = 2n$. Observa que una pirámide siempre tiene tantas caras como vértices.
Verifique si se cumple el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para un prisma de base pentagonal. Indique claramente el número de caras ($C$), vértices ($V$) y aristas…
Verifique si se cumple el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para un prisma de base pentagonal. Indique claramente el número de caras ($C$), vértices ($V$) y aristas ($A$) que ha contado.
Un nuevo poliedro para un juego de mesa ha sido diseñado cumpliendo el teorema de Euler. Sabemos que el dado tiene $14$ vértices y que todas sus caras son triángulos…
Un nuevo poliedro para un juego de mesa ha sido diseñado cumpliendo el teorema de Euler. Sabemos que el dado tiene $14$ vértices y que todas sus caras son triángulos equiláteros. ¿Podría deducir cuántas caras tiene este poliedro y cuál es el número total de aristas? Demuestre su respuesta utilizando la relación matemática de Euler.
El "Teorema de Euler" establece que en poliedros convexos $C + V = A + 2$. Imagina un poliedro que tiene el mismo número de caras que de vértices. Si el número de…
El "Teorema de Euler" establece que en poliedros convexos $C + V = A + 2$. Imagina un poliedro que tiene el mismo número de caras que de vértices. Si el número de aristas es de $12$, deduce cuántas caras tiene y propón el nombre de un poliedro regular que cumpla esta condición. Una vez identificado, calcula su área total si su arista mide $\sqrt{10}\text{ cm}$.
Sólidos compuestos
Un sólido compuesto se construye pegando sólidos o quitándole piezas a uno. La regla de oro: el área de superficie es el área de las caras que puedes tocar desde afuera (o desde dentro de un hueco).
-
Pegar: las caras unidas desaparecen. No las cuentes.
-
Excavar un hueco: pierdes la cara en la que excavaste, pero ganas las nuevas caras interiores.
-
Cortar una esquina: pierdes las partes de las caras originales que se quitaron, pero ganas la nueva cara del corte.
Diseñamos una pieza decorativa de madera que consiste en un prisma cuadrangular recto de base $8\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$ al que se le ha extraído una pirámide…
Diseñamos una pieza decorativa de madera que consiste en un prisma cuadrangular recto de base $8\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$ al que se le ha extraído una pirámide con la misma base y la misma altura. Calcule el área total de la superficie de esta pieza (incluyendo el "hueco" interior dejado por la pirámide).
Se desea construir una pieza metálica uniendo un prisma hexagonal regular y una pirámide hexagonal regular que encaja perfectamente sobre su base superior. El lado del…
Se desea construir una pieza metálica uniendo un prisma hexagonal regular y una pirámide hexagonal regular que encaja perfectamente sobre su base superior. El lado del hexágono de la base mide $6\text{ cm}$, la altura del prisma es de $15\text{ cm}$ y la altura de la pirámide es de $8\text{ cm}$. Calcula el área de la superficie exterior de la pieza completa (ten en cuenta que la base donde se unen ambos cuerpos no cuenta como superficie exterior).
Considera un cubo de arista $10\text{ cm}$. Si realizamos un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que concurren en un mismo vértice, obtenemos una…
Considera un cubo de arista $10\text{ cm}$. Si realizamos un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que concurren en un mismo vértice, obtenemos una pequeña pirámide triangular (llamada tetraedro trunco). Calcula el área total del sólido que queda después de retirar esa pequeña pirámide en esa esquina.
Volvamos al principio: para envolver una caja de regalo cerrada necesitas su área de superficie completa (área lateral más las dos bases). Para la pirámide de cristal, la base está abierta hacia el interior del edificio, así que necesitas solo el área lateral.