Sofia quiere saber qué tan alto es el roble que está detrás de su escuela, y no piensa subirse a medirlo. Se para al sol y nota que su sombra es más corta que ella, mientras que la sombra del roble se extiende por todo el césped. ¿Alcanza con eso para hallar la altura del roble? Sí. La idea está escondida dentro de todo triángulo rectángulo. En algunos problemas, los dos resultados principales de esta página se llaman teorema de la altura y teorema del cateto. Aquí usamos sus nombres de libro de texto.
Triángulos rectángulos semejantes
Dibuja un triángulo rectángulo $ABC$ con el ángulo recto en $C$. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa $\overline{AB}$, de longitud $c$. Los dos catetos son $b = AC$ y $a = BC$.
Ahora traza la altura desde $C$ hasta la hipotenusa. Corta a $\overline{AB}$ en un punto $D$ y forma un ángulo de $90^\circ$ ahí. Llama $h$ a su longitud. Divide la hipotenusa en dos partes, $p = AD$ y $q = DB$, de modo que $c = p + q$. El segmento $p$ es la proyección del cateto $b$ sobre la hipotenusa, y $q$ es la proyección del cateto $a$.
¿Por qué? Cada uno de los tres triángulos tiene un ángulo recto, y cada par comparte un ángulo agudo. Dos ángulos iguales bastan para la semejanza AA. Veamos los ángulos en acción.
Factor de escala
Cuando dos triángulos son semejantes, cada lado de uno es el mismo número de veces más largo que el lado correspondiente del otro. Ese número es el factor de escala $k$. En los triángulos rectángulos, un ángulo agudo igual basta para demostrar la semejanza, porque los ángulos rectos ya son iguales.
¿Por qué $k^2$? El área tiene dos dimensiones. Si estiras la base por $k$ y la altura por $k$, el área crece $k \cdot k$.
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Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ pulgadas y $4$ pulgadas. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$…
Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ pulgadas y $4$ pulgadas. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$ pulgadas, ¿cuánto mide la hipotenusa de este segundo triángulo?
Dos cartabones de dibujo (que tienen forma de triángulo rectángulo escaleno) son semejantes. Si la hipotenusa del cartabón más grande es el triple que la del cartabón…
Dos cartabones de dibujo (que tienen forma de triángulo rectángulo escaleno) son semejantes. Si la hipotenusa del cartabón más grande es el triple que la del cartabón más pequeño, ¿cuántas veces mayor es el área del cartabón grande respecto al pequeño?
Usa la semejanza $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ de la sección anterior. En $\triangle ACD$ los catetos son $p$ (corto) y $h$ (largo). En $\triangle CBD$ son $h$ (corto) y $q$ (largo). Los lados correspondientes son proporcionales:
$$\frac{p}{h} = \frac{h}{q}$$
Al multiplicar en cruz obtenemos $h^2 = pq$. Cuando $\dfrac{p}{h} = \dfrac{h}{q}$, decimos que $h$ es la media geométrica de $p$ y $q$.
El teorema también funciona al revés. Si conoces $h$ y un segmento, puedes hallar el otro.
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En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ pulgadas y $9$ pulgadas. Calcula la longitud de dicha…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ pulgadas y $9$ pulgadas. Calcula la longitud de dicha altura utilizando el teorema correspondiente.
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ pulgadas. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ pulgadas, ¿cuánto…
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ pulgadas. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ pulgadas, ¿cuánto mide el otro segmento de la hipotenusa?
Ahora compara $\triangle ABC$ con $\triangle ACD$. Comparten $\angle A$. En $\triangle ABC$ la hipotenusa es $c$ y el cateto junto a $A$ es $b$. En $\triangle ACD$ la hipotenusa es $b$ y el cateto junto a $A$ es $p$. Los lados correspondientes son proporcionales, así que
$$\frac{c}{b} = \frac{b}{p} \quad\Longrightarrow\quad b^2 = p \cdot c.$$
Al comparar $\triangle ABC$ con $\triangle CBD$ de la misma manera se obtiene $a^2 = q \cdot c$.
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La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ pulgadas y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ pulgadas. Calcula la longitud de dicho cateto…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ pulgadas y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ pulgadas. Calcula la longitud de dicho cateto aplicando el teorema del cateto.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ pulgadas y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3,2$ pulgadas. Determina la longitud total de la hipotenusa.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ pulgadas y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3,2$ pulgadas. Determina la longitud total de la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ pulgadas y $12$ pulgadas respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del…
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ pulgadas y $12$ pulgadas respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
Los triángulos rectángulos con una altura sobre la hipotenusa aparecen en velas triangulares, armaduras de techo y arcos de piedra. Una costura, un poste o una viga hace de altura y divide un lado largo en dos partes.
También obtienes una segunda fórmula del área. Cualquier lado puede ser la base, así que con la hipotenusa como base y la altura como altura:
$$\text{Área} = \tfrac12 \cdot c \cdot h = \tfrac12 \cdot a \cdot b$$
Los arcos funcionan igual. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto, así que cualquier punto $C$ de una semicircunferencia de diámetro $\overline{AB}$ hace que $\triangle ACB$ sea un triángulo rectángulo. Un poste vertical desde $C$ hasta el diámetro es la altura sobre la hipotenusa.
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En el diseño de una cercha para un techo a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2,4$ pies y separa…
En el diseño de una cercha para un techo a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2,4$ pies y separa la viga inferior (hipotenusa) en dos tramos, uno de los cuales mide $1,8$ pies. Calcula el perímetro total de la estructura exterior de la cercha.
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$…
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$ pies. Si la proyección del lado menor de la vela sobre la hipotenusa es de $4,5$ pies, calcula la superficie total de la vela en pies cuadrados.
Un arco de puente de piedra tiene forma de semicircunferencia perfecta con un diámetro de $20$ pies. A $4$ pies de uno de los extremos del puente, se necesita colocar un…
Un arco de puente de piedra tiene forma de semicircunferencia perfecta con un diámetro de $20$ pies. A $4$ pies de uno de los extremos del puente, se necesita colocar un pilar vertical que llegue desde el suelo hasta el arco. Utilizando el teorema de la altura, determina qué longitud exacta debe tener este pilar.
A veces el problema da una relación entre $p$, $q$ y $h$ en lugar de números: "una parte es cuatro veces la otra" o "las partes son $x$ y $x + 3$". Escribe las partes con una variable, sustitúyelas en $h^2 = pq$ y resuelve.
El teorema del cateto también relaciona los catetos con las proyecciones. Divide $b^2 = pc$ entre $a^2 = qc$ y la $c$ se cancela:
Ojo con las letras. Algunos problemas llaman $b$ y $c$ a los dos catetos y dan la hipotenusa como un número. La regla es la misma: la razón de los cuadrados de los dos catetos es igual a la razón de sus proyecciones. Por ejemplo, si los catetos cumplen $\dfrac{b^2}{c^2} = \dfrac{9}{16}$ y la hipotenusa mide $50$ in., entonces las proyecciones están en la razón $9 : 16$. Escríbelas como $9k$ y $16k$, así que $25k = 50$, $k = 2$, y las proyecciones miden $18$ in. y $32$ in. Luego usa el teorema del cateto con la hipotenusa completa $50$ para hallar cada cateto: $\sqrt{18 \cdot 50} = 30$ in. y $\sqrt{32 \cdot 50} = 40$ in.
Hay una segunda manera de usar una razón. Divide $b^2 = pc$ entre $c^2$ (la hipotenusa al cuadrado) y obtienes
$$\frac{b^2}{c^2} = \frac{p}{c}.$$
Así que si te dan la razón del cateto al cuadrado a la hipotenusa al cuadrado, esa razón es la fracción de la hipotenusa que ocupa la proyección de ese cateto: $p = \dfrac{b^2}{c^2} \cdot c$. Luego $q = c - p$, y el teorema del cateto termina el trabajo.
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En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ pies. Si la razón entre los…
En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ pies. Si la razón entre los dos segmentos en los que esta zanja divide a la hipotenusa es $\frac{9}{16}$, calcula las dimensiones de los tres lados que delimitan el terreno.
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ pulgadas, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ pulgadas, y la altura…
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ pulgadas, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ pulgadas, y la altura relativa a la hipotenusa mide $(x+2)$ pulgadas. Plantea la ecuación correspondiente, halla el valor de $x$ y calcula el área total del triángulo.
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ pulgadas, utiliza la relación de…
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ pulgadas, utiliza la relación de proporcionalidad deducida a partir de los teoremas del cateto para hallar primero la medida de las proyecciones de ambos catetos sobre la hipotenusa, y posteriormente la longitud exacta de los catetos.
Algunos problemas dan el área en lugar de las partes. El área da la hipotenusa, porque $\text{Área} = \tfrac12 c h$ significa que $c = \dfrac{2 \cdot \text{Área}}{h}$. Entonces sabes dos cosas sobre $p$ y $q$:
$$p + q = c \qquad\text{y}\qquad p \cdot q = h^2.$$
Sustituye $q = c - p$ en la segunda ecuación y obtienes una ecuación cuadrática.
El teorema de Pitágoras también se combina con estas ideas, por ejemplo en problemas de rectas tangentes. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia, así que forma un ángulo recto.
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El área de un panel solar con forma de triángulo rectángulo es de $150$ pulgadas$^2$ y la altura relativa a su hipotenusa mide $12$ pulgadas. Planteando un sistema de…
El área de un panel solar con forma de triángulo rectángulo es de $150$ pulgadas$^2$ y la altura relativa a su hipotenusa mide $12$ pulgadas. Planteando un sistema de ecuaciones con las proyecciones de los catetos, determina la longitud exacta de los dos catetos del panel solar.
Si consideramos que la Tierra es una esfera de radio $R = 6371$ millas, y una persona se encuentra en un globo aerostático a una altura $h = 2$ millas sobre la…
Si consideramos que la Tierra es una esfera de radio $R = 6371$ millas, y una persona se encuentra en un globo aerostático a una altura $h = 2$ millas sobre la superficie, la línea visual tangente a la superficie forma un triángulo rectángulo en el punto del horizonte. Utiliza el teorema del cateto (o el de Pitágoras en triángulos semejantes) para hallar la distancia rectilínea $d$ desde el globo aerostático hasta el horizonte visible, aproximando a dos decimales.
Volvamos al roble de Sofia. En un mismo momento del día, los rayos del sol son paralelos. Así que el sol incide sobre todo objeto vertical con el mismo ángulo. Cada objeto, su sombra y el rayo desde la parte de arriba del objeto hasta la punta de la sombra forman un triángulo rectángulo. Estos triángulos comparten un ángulo agudo, así que son semejantes por AA.
Volvamos al principio: la sombra de Sofia mide $\tfrac35$ de su estatura, así que la sombra del roble mide $\tfrac35$ de la altura del roble. Una sombra de $24$ ft significa un árbol de $40$ ft.
Un farol funciona como el sol, pero sus rayos de luz se abren desde un solo punto. Ahora el farol, la persona y el suelo forman dos triángulos rectángulos. El pequeño está dentro del grande.
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Un poste vertical de $2$ pies de altura proyecta una sombra de $1,5$ pies en el suelo. A esa misma hora y en las mismas condiciones, ¿cuánto medirá la sombra que…
Un poste vertical de $2$ pies de altura proyecta una sombra de $1,5$ pies en el suelo. A esa misma hora y en las mismas condiciones, ¿cuánto medirá la sombra que proyecta una torre de telecomunicaciones de $40$ pies de altura?
Un poste de luz de $4,5$ pies de altura ilumina a una persona de $1,8$ pies de estatura que está situada a $3$ pies de la base del poste de luz. Utiliza la semejanza de…
Un poste de luz de $4,5$ pies de altura ilumina a una persona de $1,8$ pies de estatura que está situada a $3$ pies de la base del poste de luz. Utiliza la semejanza de triángulos rectángulos para averiguar qué longitud tiene la sombra que proyecta la persona en el suelo.
La luz y las bolas en movimiento siguen la ley de la reflexión: el ángulo de llegada es igual al ángulo de salida. Si pones un espejo en el suelo, eso significa dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual en el espejo. Son semejantes por AA.
Una bola de billar que rebota en una banda obedece la misma ley, así que obtienes el mismo dibujo.
Una cámara estenopeica (pinhole camera) es una caja cerrada con un agujero diminuto. La luz de la parte de arriba de un objeto pasa en línea recta por el agujero y llega a la parte de abajo de la pared del fondo, así que la imagen queda al revés. El objeto y la imagen forman dos triángulos rectángulos que se juntan en el agujero. Sus ángulos en el agujero son opuestos por el vértice, así que son iguales y los triángulos son semejantes.
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Para medir la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $15$ pies de la base del edificio. Al retroceder $1,2$ pies desde el espejo, ve…
Para medir la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $15$ pies de la base del edificio. Al retroceder $1,2$ pies desde el espejo, ve la parte más alta del edificio reflejada en él. Si los ojos del estudiante están a $1,6$ pies del suelo, ¿cuál es la altura del edificio?
En una mesa de billar rectangular, una bola es golpeada sin efecto contra la banda opuesta, formando dos triángulos rectángulos semejantes en su trayectoria. La bola…
En una mesa de billar rectangular, una bola es golpeada sin efecto contra la banda opuesta, formando dos triángulos rectángulos semejantes en su trayectoria. La bola parte a $40$ pulgadas de la banda lateral y rebota a $60$ pulgadas de la misma banda. Si la distancia longitudinal total que ha avanzado la bola a lo largo de la mesa es de $150$ pulgadas, determina las distancias longitudinales recorridas antes y después del rebote.
En una cámara oscura artesanal de $20$ pulgadas de profundidad, se forma la imagen invertida de un árbol que se encuentra a $15$ pies del orificio estenopeico. Si la…
En una cámara oscura artesanal de $20$ pulgadas de profundidad, se forma la imagen invertida de un árbol que se encuentra a $15$ pies del orificio estenopeico. Si la imagen formada en el fondo de la cámara tiene una altura de $8$ pulgadas, ¿cuál es la altura real del árbol en pies?
Una recta trazada paralela a un lado de un triángulo corta un triángulo más pequeño que comparte un ángulo con el original. Por AA es semejante al original. Esa es la idea detrás de las rampas, los conos y cualquier problema de "triángulo dentro de un triángulo".
Un cono es un triángulo rectángulo que gira. Si cortas un cono por su eje, un vaso cónico muestra un triángulo con el vértice abajo. La superficie del agua corta un triángulo más pequeño y semejante. Sus dos catetos son la profundidad del agua (medida a lo largo del eje desde el vértice) y el radio del agua.
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Una rampa de accesibilidad tiene una longitud total de $12$ pies apoyada sobre el suelo y salva un desnivel máximo de $1,5$ pies. Si una silla de ruedas ha avanzado $4$…
Una rampa de accesibilidad tiene una longitud total de $12$ pies apoyada sobre el suelo y salva un desnivel máximo de $1,5$ pies. Si una silla de ruedas ha avanzado $4$ pies sobre la rampa desde su inicio en la parte inferior, ¿a qué altura se encuentra respecto al nivel del suelo?
Un vaso cónico de cristal tiene $15$ pulgadas de profundidad total y $6$ pulgadas de radio en su abertura superior. Se llena de agua hasta que el líquido alcanza una…
Un vaso cónico de cristal tiene $15$ pulgadas de profundidad total y $6$ pulgadas de radio en su abertura superior. Se llena de agua hasta que el líquido alcanza una altura de $10$ pulgadas medida desde el fondo (vértice inferior). Calcula el radio de la superficie circular del agua utilizando la semejanza de triángulos rectángulos que se forman con el eje central del vaso.
Dos problemas clásicos muestran que los triángulos rectángulos semejantes pueden dar resultados sorprendentes.
Cables cruzados. Dos postes verticales tienen alturas $a$ y $b$. Un cable va de la base de cada poste a la parte de arriba del otro. Los cables se cruzan a una altura $h$. ¿Depende $h$ de qué tan separados estén los postes?
Un cuadrado en un triángulo rectángulo. Un cuadrado está en la esquina del ángulo recto de un triángulo rectángulo, con su vértice opuesto sobre la hipotenusa.
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Dos postes verticales de alturas $a = 3$ pies y $b = 6$ pies están separados por una distancia desconocida. Se tienden dos cables tensos desde la base de cada poste…
Dos postes verticales de alturas $a = 3$ pies y $b = 6$ pies están separados por una distancia desconocida. Se tienden dos cables tensos desde la base de cada poste hasta el extremo superior del otro poste. Utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman, demuestra que la altura $h$ a la que se cruzan los cables es independiente de la distancia que separa los postes y calcula su valor.
En un triángulo rectángulo de catetos $8$ pulgadas y $6$ pulgadas, se inscribe un cuadrado de forma que uno de sus vértices coincide con el ángulo recto del triángulo, y…
En un triángulo rectángulo de catetos $8$ pulgadas y $6$ pulgadas, se inscribe un cuadrado de forma que uno de sus vértices coincide con el ángulo recto del triángulo, y los dos lados del cuadrado que forman ese vértice descansan sobre los catetos. Calcula la medida del lado del cuadrado $x$ utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman.