Volumen de sólidos geométricos
¿Cuántos galones caben en una pecera? ¿Cuánto helado cabe en un cono? ¿Cuántas velas pequeñas puedes hacer derritiendo una vela grande? Todas estas preguntas tratan del volumen: la cantidad de espacio que ocupa un sólido.
Unidades de volumen y capacidad
El volumen se mide en unidades cúbicas. Un cubo de $1$ pulgada en cada arista tiene un volumen de $1\text{ in.}^3$.
Como $1\text{ ft} = 12\text{ in.}$, un pie cúbico es un bloque de $12 \times 12 \times 12$ de esos cubitos:
| Conversión | Por qué |
|---|---|
| $1\text{ ft}^3 = 1{,}728\text{ in.}^3$ | $12^3 = 1{,}728$ |
| $1\text{ yd}^3 = 27\text{ ft}^3$ | $3^3 = 27$ |
| $1\text{ gal} = 231\text{ in.}^3$ | definición del galón de EE. UU. |
| $1\text{ ft}^3 \approx 7.48\text{ gal}$ | $1{,}728 \div 231$ |
En ciencias (y en las botellas de refresco) también verás unidades métricas. Cada unidad cúbica es 1,000 veces la siguiente más pequeña, porque $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1{,}000$.
Un acuario tiene forma de ortoedro con las siguientes medidas: $60\text{ cm}$ de largo, $30\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de alto. Calcule cuántos galones de agua…
Un acuario tiene forma de ortoedro con las siguientes medidas: $60\text{ cm}$ de largo, $30\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de alto. Calcule cuántos galones de agua caben en el acuario si se llena por completo. (Recuerde que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro}$).
Prismas
Un prisma es una pila de capas idénticas, una sobre otra. Su volumen es el área de la base por la altura:
$$V = B \cdot h \qquad \text{Prisma rectangular: } V = \ell \cdot w \cdot h$$Aquí $B$ es el área de la base y $h$ es la distancia perpendicular entre las dos bases.
Lo más difícil suele ser el área de la base. Dos bases requieren un poco de trabajo.
-
Triángulo: $B = \tfrac{1}{2}bh$. No olvides el $\tfrac12$.
-
Hexágono regular: divídelo en $6$ triángulos equiláteros. Si el lado es $s$, la apotema $a$ (del centro al punto medio de un lado) sale del teorema de Pitágoras, y $B = \tfrac{1}{2}aP$, donde $P$ es el perímetro.
Un paquete que contiene un teclado "gamer" tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son $45\text{ cm}$ de largo, $15\text{ cm}$ de ancho y $5\text{ cm}$ de altura.…
Un paquete que contiene un teclado "gamer" tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son $45\text{ cm}$ de largo, $15\text{ cm}$ de ancho y $5\text{ cm}$ de altura. Calcule el volumen de aire que ocupa la caja en pulgadas cúbicas.
Calcule el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, sabiendo que la altura del prisma es de $15\text{ cm}$.
Calcule el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, sabiendo que la altura del prisma es de $15\text{ cm}$.
La alcaldía de una ciudad ha instalado jardineras de cemento con forma de prisma hexagonal regular. Si cada lado del hexágono de la base mide $30 \text{ cm}$ y la altura…
La alcaldía de una ciudad ha instalado jardineras de cemento con forma de prisma hexagonal regular. Si cada lado del hexágono de la base mide $30 \text{ cm}$ y la altura de la jardinera es de $60 \text{ cm}$, calcule el volumen de tierra (en galones) necesario para llenarla por completo.
(Dato: recuerde que primero debe hallar la apotema de la base utilizando el teorema de Pitágoras).
Cilindros
Un cilindro es un prisma cuya base es un círculo, así que sirve la misma regla: apila las capas.
$$V = B \cdot h = \pi r^2 h$$El radio $r$ es la mitad del diámetro. Puedes dejar la respuesta en términos de $\pi$ o usar $\pi \approx 3.14$ (o la tecla $\pi$ de tu calculadora) cuando el problema pida un decimal.
Si cortas un sólido exactamente por la mitad, cada pieza tiene la mitad del volumen. Un cilindro cortado por un plano que pasa por su eje es el ejemplo típico.
Una lata de refresco cilíndrica tiene un diámetro de $6\text{ cm}$ y una altura de $12\text{ cm}$. Calcule su volumen utilizando el valor de $\pi \approx 3,14$.
Una lata de refresco cilíndrica tiene un diámetro de $6\text{ cm}$ y una altura de $12\text{ cm}$. Calcule su volumen utilizando el valor de $\pi \approx 3,14$.
Una pieza de queso tiene forma de cilindro con un radio de $10\text{ cm}$ y una altura de $8\text{ cm}$. Si cortamos el queso exactamente por la mitad verticalmente,…
Una pieza de queso tiene forma de cilindro con un radio de $10\text{ cm}$ y una altura de $8\text{ cm}$. Si cortamos el queso exactamente por la mitad verticalmente, ¿cuál será el volumen de cada una de las dos partes resultantes? (Use $\pi \approx 3,14$).
Un termo para café tiene forma cilíndrica. El radio de la base mide $4 \text{ cm}$ y la altura total es de $25 \text{ cm}$. Si el termo está lleno hasta el $80 \%$ de su…
Un termo para café tiene forma cilíndrica. El radio de la base mide $4 \text{ cm}$ y la altura total es de $25 \text{ cm}$. Si el termo está lleno hasta el $80 \%$ de su capacidad, ¿cuántos vasos de $150 \text{ ml}$ se pueden llenar completamente?
(Tome $\pi \approx 3,14$ y recuerde que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litro}$).
Pirámides y conos: un tercio
Llena una pirámide con agua y vacíala en un prisma con la misma base y la misma altura. Necesitas exactamente tres pirámides para llenar el prisma. Lo mismo ocurre con un cono y un cilindro.
$$V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3}Bh \qquad\qquad V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$Esto funciona para cualquier pirámide, sea cual sea la forma de su base (triángulo, cuadrado, hexágono…). En una pirámide, $B$ es el área de esa base. Verás por qué aparece el $\tfrac13$ en la sección sobre el principio de Cavalieri.
Una pirámide de cristal decorativa tiene una base cuadrada de $8\text{ cm}$ de lado y una altura de $10\text{ cm}$. Calcule el volumen de cristal necesario para…
Una pirámide de cristal decorativa tiene una base cuadrada de $8\text{ cm}$ de lado y una altura de $10\text{ cm}$. Calcule el volumen de cristal necesario para fabricarla.
Un cono de helado tiene forma de cono. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$. Calcule cuántas pulgadas cúbicas de helado caben en su…
Un cono de helado tiene forma de cono. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$. Calcule cuántas pulgadas cúbicas de helado caben en su interior (sin que sobresalga nada por arriba).
La esfera
$$V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \qquad\qquad V_{\text{semiesfera}} = \frac{2}{3}\pi r^3$$El radio está al cubo, así que si duplicas el radio, el volumen crece $2^3 = 8$ veces.
El profesor de educación física guarda las pelotas de balonmano en una caja. Si cada pelota tiene un radio de $9\text{ cm}$, calcule el volumen de una de ellas…
El profesor de educación física guarda las pelotas de balonmano en una caja. Si cada pelota tiene un radio de $9\text{ cm}$, calcule el volumen de una de ellas redondeando a dos decimales. (Use $\pi \approx 3,14$).
Tres bolas metálicas de radio $3 \text{ cm}$ se funden para crear una única esfera de mayor tamaño. Suponiendo que no se pierde material en el proceso, ¿cuál será el…
Tres bolas metálicas de radio $3 \text{ cm}$ se funden para crear una única esfera de mayor tamaño. Suponiendo que no se pierde material en el proceso, ¿cuál será el radio de la nueva esfera resultante? Redondee el resultado a las centésimas.
Se desea fabricar un helado con forma de cono cuya generatriz mide $15 \text{ cm}$ y el radio de su base es de $6 \text{ cm}$. Calcule el volumen de helado que cabe en…
Se desea fabricar un helado con forma de cono cuya generatriz mide $15 \text{ cm}$ y el radio de su base es de $6 \text{ cm}$. Calcule el volumen de helado que cabe en el interior del cono. Si al servirlo se agrega una semiesfera perfecta de helado sobre la base (del mismo radio), ¿cuál será el volumen total del helado?
El principio de Cavalieri: por qué funcionan estas fórmulas
Toma dos pilas de $100$ monedas. Una está ordenada y recta. La otra se empuja hasta formar una torre inclinada. Ambas usan las mismas monedas, así que tienen el mismo volumen. Esa es la idea del principio de Cavalieri.
Por eso un prisma oblicuo también tiene volumen $Bh$, y así justificamos la fórmula de la esfera. Compara una esfera de radio $R$ con un cilindro de radio $R$ y altura $2R$ al que se le quitó un cono doble. En la figura, $y$ es la altura del plano de corte sobre el centro.
El Principio de Cavalieri establece que si dos cuerpos tienen la misma altura y el área de sus secciones a cualquier altura es igual, entonces tienen el mismo volumen.…
El Principio de Cavalieri establece que si dos cuerpos tienen la misma altura y el área de sus secciones a cualquier altura es igual, entonces tienen el mismo volumen. Utilice esta idea para comparar el volumen de una esfera de radio $R$ con el volumen comprendido entre un cilindro de radio $R$ y altura $2R$, y un doble cono inscrito en él. Demuestre matemáticamente que el volumen de la esfera es efectivamente $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ calculando primero el volumen del cilindro y restándole el de los dos conos.
Sólidos semejantes, troncos y huecos
Dos sólidos son semejantes cuando uno es una copia a escala del otro. Si el factor de escala es $k$, las longitudes se multiplican por $k$, las áreas por $k^2$ y los volúmenes por $k^3$.
Un tronco es una pirámide o un cono al que se le corta la punta con un plano paralelo a la base. Para hallar su volumen, prolóngalo hasta el cono (o pirámide) completo y resta el cono pequeño que cortaste. El pequeño es semejante al grande.
Hay fórmulas directas para los troncos, si las prefieres. Para un cono con radios $R$ y $r$: $V = \tfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$. Para una pirámide con áreas de las bases $B_1$ y $B_2$: $V = \tfrac{h}{3}\left(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2}\right)$. Comprueba la fórmula del cono con el ejemplo: $\tfrac{\pi \cdot 6}{3}(16 + 8 + 4) = 56\pi$ ✓.
Paredes de grosor constante
Un sólido hueco con paredes de grosor $t$ tiene una cavidad interior semejante al exterior. Las paredes reducen en $t$ la distancia del centro a cada cara. Las dimensiones interiores son menores que las exteriores en una cantidad que depende de la forma:
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Un cubo de arista $a$ con paredes en todas las caras: arista interior $a - 2t$ (pared en ambos lados).
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Un octaedro regular de arista $a$ tiene una esfera inscrita de radio $\tfrac{\sqrt6}{6}a$ (del centro a una cara). Paredes de grosor $t$ reducen esa distancia a $\tfrac{\sqrt6}{6}a - t$. Como el octaedro interior es semejante al exterior, su arista es $\left(\tfrac{\sqrt6}{6}a - t\right) \cdot \tfrac{6}{\sqrt6} = a - t\sqrt6$.
El volumen del octaedro es $V = \tfrac{\sqrt2}{3}a^3$. Usa las mismas unidades en todo: $2\text{ mm} = 0.2\text{ cm}$.
Un tanque de agua tiene forma de tronco de cono. El radio de la base mayor es de $3 \text{ m}$, el radio de la base menor es de $1,5 \text{ m}$ y la altura del tanque es…
Un tanque de agua tiene forma de tronco de cono. El radio de la base mayor es de $3 \text{ m}$, el radio de la base menor es de $1,5 \text{ m}$ y la altura del tanque es de $4 \text{ m}$. Calcule la capacidad del tanque en pies cúbicos.
(Sugerencia: puede usar la fórmula del volumen del tronco de cono o verlo como la diferencia entre dos conos).
Se tiene un reloj de arena formado por dos conos idénticos unidos por sus vértices, dentro de un cilindro protector de cristal. Los conos tienen un radio de base de…
Se tiene un reloj de arena formado por dos conos idénticos unidos por sus vértices, dentro de un cilindro protector de cristal. Los conos tienen un radio de base de $6\text{ cm}$ y una altura de $10\text{ cm}$. Si el compartimento superior está lleno de arena hasta la mitad de su altura, calcule el volumen de arena en $cm^3$. Si la arena cae al compartimento inferior a un ritmo constante de $5\text{ cm}^3$ por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse la parte superior? (Recuerde aplicar la semejanza de conos para hallar el radio de la superficie de la arena).
Un envase de perfume tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. Sin embargo, el cristal tiene un grosor de $2\text{ mm}$ en todas sus caras. El…
Un envase de perfume tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. Sin embargo, el cristal tiene un grosor de $2\text{ mm}$ en todas sus caras. El fabricante afirma que el envase puede contener $80\text{ ml}$ de fragancia ($1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Realice los cálculos necesarios para comprobar si la afirmación es verdadera. (Dato: El volumen de un octaedro de arista $a$ es $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$. Deberá considerar cómo afecta el grosor a la arista del hueco interior).
Sólidos compuestos: sumar piezas
Muchos objetos reales se forman con varios sólidos sencillos: un silo (cilindro, cono y cúpula), una pastilla (cilindro y dos semiesferas), una tienda de campaña (prisma y pirámide). Divide el objeto en piezas, halla el volumen de cada una y suma. Cuando las piezas se tocan, la cara compartida no tiene volumen, así que nada se cuenta dos veces.
Calcule el volumen de un cuerpo geométrico formado por un cilindro de $10 \text{ cm}$ de altura y $4 \text{ cm}$ de radio, que tiene en su parte superior una pirámide…
Calcule el volumen de un cuerpo geométrico formado por un cilindro de $10 \text{ cm}$ de altura y $4 \text{ cm}$ de radio, que tiene en su parte superior una pirámide cuadrangular cuya base está inscrita en la circunferencia del cilindro y cuya altura es de $6 \text{ cm}$.
(Pista: el lado del cuadrado de la base de la pirámide coincide con el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio $4 \text{ cm}$).
Un silo de cereales tiene una forma compuesta: una parte central cilíndrica de $12\text{ m}$ de altura y $4\text{ m}$ de diámetro, rematada en la parte superior por una…
Un silo de cereales tiene una forma compuesta: una parte central cilíndrica de $12\text{ m}$ de altura y $4\text{ m}$ de diámetro, rematada en la parte superior por una semiesfera y en la parte inferior por un cono de descarga de $3\text{ m}$ de altura. Calcule la capacidad total del silo en pies cúbicos. Si el silo se llena al $85\%$ de su capacidad, ¿cuántas toneladas de trigo contendrá si la densidad del trigo es de $750\text{ kg/m}^3$?
Sólidos compuestos: quitar piezas
Si un sólido tiene un agujero, un hueco o una esquina cortada, halla el volumen del sólido completo y resta la parte que falta.
Una empresa de diseño de mobiliario urbano ha proyectado un bote de basura de concreto con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las dimensiones externas de…
Una empresa de diseño de mobiliario urbano ha proyectado un bote de basura de concreto con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las dimensiones externas de la base superior son de $40\text{ cm}$ de lado, las de la base inferior son de $30\text{ cm}$ de lado y la altura total es de $80\text{ cm}$. Para que sea funcional, el interior está hueco con la misma forma, pero dejando unas paredes de un grosor constante de $5\text{ cm}$ en los laterales y en la base inferior (la parte superior está abierta). Calcule el volumen de concreto necesario para fabricar cada bote de basura en decímetros cúbicos ($dm^3$).
Un escultor desea crear una pieza de acero inoxidable que consiste en un cubo de $20\text{ cm}$ de arista al que se le han extraído ocho tetraedros en sus esquinas. Cada…
Un escultor desea crear una pieza de acero inoxidable que consiste en un cubo de $20\text{ cm}$ de arista al que se le han extraído ocho tetraedros en sus esquinas. Cada tetraedro se forma uniendo el vértice del cubo con los puntos medios de las tres aristas que concurren en dicho vértice (un truncamiento medio). Determine el volumen final de la escultura. ¿Qué porcentaje del volumen del cubo original se ha eliminado?
El mismo volumen, otra forma
Cuando derrites, viertes o sumerges algo, el volumen se conserva. Iguala el volumen de antes con el volumen de después.
Un vaso cilíndrico de $6 \text{ cm}$ de diámetro interior contiene agua hasta una altura de $10 \text{ cm}$. Se introduce en su interior una piedra de forma irregular y…
Un vaso cilíndrico de $6 \text{ cm}$ de diámetro interior contiene agua hasta una altura de $10 \text{ cm}$. Se introduce en su interior una piedra de forma irregular y el nivel del agua sube hasta los $12,5 \text{ cm}$ sin llegar a desbordarse. ¿Cuál es el volumen de la piedra expresado en pulgadas cúbicas?
Una esfera de plomo de $10\text{ cm}$ de radio se funde para fabricar pequeños cilindros de $2\text{ cm}$ de diámetro y $3\text{ cm}$ de altura. Suponiendo que en el…
Una esfera de plomo de $10\text{ cm}$ de radio se funde para fabricar pequeños cilindros de $2\text{ cm}$ de diámetro y $3\text{ cm}$ de altura. Suponiendo que en el proceso de fundición se pierde un $5\%$ del material, ¿cuántos cilindros completos se podrán fabricar? Si cada cilindro tiene una masa de $107\text{ g}$, ¿cuál es la densidad del plomo utilizado en $g/cm^3$?
Volvamos al principio: una pecera mide $24 \times 12 \times 16$ pulgadas, así que $V = 24 \cdot 12 \cdot 16 = 4{,}608\text{ in.}^3$. Divide entre $231$ in.³ por galón: $4{,}608 \div 231 \approx 19.95$. Se vende como una pecera de 20 galones.