Emma quiere saber qué altura tiene el asta de la bandera de su escuela, pero no piensa subirse a medirla. Tiene una cinta métrica, una tarde soleada y a su amigo Jayden, que mide 5 ft de estatura. ¿Es suficiente? Sí, porque el asta y Jayden forman dos figuras con la misma forma y distinto tamaño. Esa relación se llama semejanza, y en esta lección la usarás para medir cosas que no puedes alcanzar.
Figuras semejantes y factor de escala
Dos figuras son semejantes cuando una es una ampliación o una reducción de la otra. Tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Una foto y su copia tamaño cartera son semejantes.
En los triángulos no hace falta comprobarlo todo. Basta con cualquiera de estas tres pruebas.
Practica★☆☆Sin empezar
Compruebe si dos triángulos son semejantes sabiendo que los lados del primero miden $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$, y los del segundo miden…
Compruebe si dos triángulos son semejantes sabiendo que los lados del primero miden $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$, y los del segundo miden $9 \text{ cm}$, $12 \text{ cm}$ y $18 \text{ cm}$. Justifique su respuesta indicando el criterio de semejanza utilizado.
Una recta paralela a un lado de un triángulo corta un triángulo más pequeño con los mismos ángulos. Ese triángulo pequeño es semejante al grande, y de ahí sale un teorema muy útil.
La misma idea funciona con cualquier cantidad de rectas paralelas.
Practica★☆☆Sin empezar
Tres rectas paralelas cortan a dos rectas secantes $r$ y $s$. Los segmentos determinados en $r$ miden $5 \text{ cm}$ y $x \text{ cm}$. Los segmentos correspondientes…
Tres rectas paralelas cortan a dos rectas secantes $r$ y $s$. Los segmentos determinados en $r$ miden $5 \text{ cm}$ y $x \text{ cm}$. Los segmentos correspondientes determinados en $s$ miden $7 \text{ cm}$ y $21 \text{ cm}$. Calcule el valor de $x$.
Duplica todos los lados de un cuadrado. Su perímetro se duplica, pero ahora necesitas cuatro cuadrados pequeños para cubrirlo. El factor de escala trata de forma distinta las longitudes, las áreas y los volúmenes.
Mueve el control deslizante y observa cómo la forma se mantiene mientras cambian las medidas.
Practica★☆☆Sin empezar
Dos pentágonos regulares son semejantes con una razón de semejanza de $k = 4$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del…
Dos pentágonos regulares son semejantes con una razón de semejanza de $k = 4$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del pentágono mayor?
Los lados de un cuadrilátero miden $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$, $9 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Construimos un cuadrilátero semejante a él cuyo perímetro es de…
Los lados de un cuadrilátero miden $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$, $9 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Construimos un cuadrilátero semejante a él cuyo perímetro es de $99 \text{ cm}$. Calcule la longitud de cada uno de los lados del nuevo cuadrilátero.
Dos esferas son semejantes y la razón entre sus áreas (superficies) es $9$. Si el volumen de la esfera más pequeña es de $20 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen de la…
Dos esferas son semejantes y la razón entre sus áreas (superficies) es $9$. Si el volumen de la esfera más pequeña es de $20 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen de la esfera más grande?
Un mapa, un plano y la realidad son figuras semejantes. Una escala de $1 : n$ significa que cada $1$ unidad del dibujo representa $n$ de las mismas unidades en la realidad. Así, el factor de escala del dibujo a la realidad es $k = n$.
Las longitudes reales salen en la misma unidad en que mediste, así que normalmente conviertes al final.
Practica★☆☆Sin empezar
En un mapa a escala $1:250\,000$, la distancia entre dos ciudades es de $8 \text{ cm}$. Calcule la distancia real entre ambas ciudades expresada en millas.
En un mapa a escala $1:250\,000$, la distancia entre dos ciudades es de $8 \text{ cm}$. Calcule la distancia real entre ambas ciudades expresada en millas.
El plano de una vivienda está dibujado a escala $1:120$. Si la superficie de la sala en el plano es de $60 \text{ cm}^2$, ¿cuál es la superficie real de la sala…
El plano de una vivienda está dibujado a escala $1:120$. Si la superficie de la sala en el plano es de $60 \text{ cm}^2$, ¿cuál es la superficie real de la sala expresada en pies cuadrados ($m^2$)?
El plano de una parcela está dibujado a escala $1:400$. Se realiza una fotocopia del plano aplicando una ampliación al $150\%$ (cada longitud de la copia mide el $150\%$…
El plano de una parcela está dibujado a escala $1:400$. Se realiza una fotocopia del plano aplicando una ampliación al $150\%$ (cada longitud de la copia mide el $150\%$ de la original). ¿Cuál es la nueva escala del plano resultante? Si en la fotocopia la parcela ocupa una superficie de $12 \text{ cm}^2$, ¿cuál es su área real en pies cuadrados?
Una maqueta de un tanque de agua, una réplica de una estatua: son sólidos semejantes. El volumen se multiplica por $k^3$. Si dos sólidos son del mismo material, sus pesos también se multiplican por $k^3$, porque el peso es proporcional al volumen. Cubrir la superficie (pintar, envolver, sellar) se multiplica por $k^2$.
Practica★★☆Sin empezar
Una maqueta de un depósito industrial está construida a escala $1:40$. Si el volumen de la maqueta es de $0.5 \text{ litros}$, ¿cuál es el volumen real del depósito…
Una maqueta de un depósito industrial está construida a escala $1:40$. Si el volumen de la maqueta es de $0.5 \text{ litros}$, ¿cuál es el volumen real del depósito expresado en pies cúbicos ($m^3$)?
Una estatua de bronce de $1.2 \text{ m}$ de altura pesa $150 \text{ kg}$ y el costo de pintarla con una capa protectora es de $\$40 \text{ \$}$. Se encarga una réplica…
Una estatua de bronce de $1.2 \text{ m}$ de altura pesa $150 \text{ kg}$ y el costo de pintarla con una capa protectora es de $\$40 \text{ \$}$. Se encarga una réplica exacta de la estatua, hecha del mismo material, pero con una altura de $3.6 \text{ m}$. Calcule cuánto pesará la nueva estatua y cuánto costará pintarla.
Dos objetos verticales, medidos a la misma hora del día, proyectan sombras. Los rayos del sol son prácticamente paralelos, así que cada objeto y su sombra forman un triángulo rectángulo con el mismo ángulo en el suelo. Por AA esos triángulos son semejantes.
Un espejo en el suelo funciona igual. El rayo de luz cumple la ley de la reflexión: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Así, el triángulo de la persona y el del edificio tienen ángulos iguales en el espejo, además de ángulos rectos en el suelo.
Un poste de luz es un poco distinto. Sus rayos se abren desde la lámpara, pero la persona y el poste son verticales (paralelos). El triángulo pequeño (persona y sombra) y el grande (lámpara, suelo y punta de la sombra) comparten el ángulo en la punta de la sombra, así que siguen siendo semejantes.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcule la altura $h$ del árbol sabiendo que, a la misma hora del día, un poste de $2 \text{ m}$ proyecta una sombra de $1.5 \text{ m}$ y el árbol proyecta una sombra de…
Calcule la altura $h$ del árbol sabiendo que, a la misma hora del día, un poste de $2 \text{ m}$ proyecta una sombra de $1.5 \text{ m}$ y el árbol proyecta una sombra de $4.5 \text{ m}$.
Halle la altura $h$ del edificio utilizando la reflexión en un espejo situado en el piso, sabiendo que el rayo de luz cumple la ley de reflexión (los ángulos de…
Halle la altura $h$ del edificio utilizando la reflexión en un espejo situado en el piso, sabiendo que el rayo de luz cumple la ley de reflexión (los ángulos de incidencia y reflexión son iguales).
Un poste de luz tiene una altura de $4.5 \text{ m}$. Una persona de $1.8 \text{ m}$ de estatura arranca desde la base del poste de luz y se aleja caminando en línea…
Un poste de luz tiene una altura de $4.5 \text{ m}$. Una persona de $1.8 \text{ m}$ de estatura arranca desde la base del poste de luz y se aleja caminando en línea recta a una velocidad constante de $1.5 \text{ m/s}$. Calcula la longitud de la sombra que proyecta la persona exactamente a los $4 \text{ segundos}$ de haber empezado a caminar.
Cuando dos rectas se cruzan entre dos rectas paralelas, forman una "corbata de moño" de dos triángulos que se miran de punta a punta. Esto aparece al medir un río, cuando un proyector envía una diapositiva a una pantalla o cuando te asomas por el borde de un pozo.
La lente de un proyector funciona igual. Los rayos de luz se cruzan en el centro óptico de la lente, así que la diapositiva y la pantalla son los dos segmentos paralelos.
Cuando miras por encima de un borde, la línea de visión forma un triángulo grande con el suelo y la pared.
Practica★★☆Sin empezar
Calcule la distancia $y$ indicada en la figura y la anchura del río sabiendo que las dos líneas visuales punteadas son rectas que se cruzan en un punto.
Calcule la distancia $y$ indicada en la figura y la anchura del río sabiendo que las dos líneas visuales punteadas son rectas que se cruzan en un punto.
Un proyector de cine muestra una diapositiva que mide $3.5 \text{ cm}$ de alto. La diapositiva está situada a $15 \text{ cm}$ del centro óptico de la lente del…
Un proyector de cine muestra una diapositiva que mide $3.5 \text{ cm}$ de alto. La diapositiva está situada a $15 \text{ cm}$ del centro óptico de la lente del proyector. Si la pantalla de proyección se encuentra a $4.5 \text{ m}$ de la lente, calcule la altura de la imagen proyectada en la pantalla.
Un pozo cilíndrico seco tiene un diámetro de $1.5 \text{ m}$. Una persona, cuyos ojos se encuentran a $1.6 \text{ m}$ del suelo, se sitúa a $0.5 \text{ m}$ del borde del…
Un pozo cilíndrico seco tiene un diámetro de $1.5 \text{ m}$. Una persona, cuyos ojos se encuentran a $1.6 \text{ m}$ del suelo, se sitúa a $0.5 \text{ m}$ del borde del pozo. Desde esa posición, su línea visual roza el borde del pozo y alcanza exactamente la esquina inferior opuesta del fondo. Calcula la profundidad del pozo.
A veces los triángulos semejantes no están dibujados y tienes que encontrarlos. Dos lugares clásicos: las diagonales de un trapecio y un cono cortado por un plano paralelo a su base.
Trapecio. Las dos bases son paralelas, así que las diagonales forman una corbata de moño. Los triángulos que tienen las bases como lados son semejantes, y el factor de escala es la razón de las bases. Las alturas desde el punto de cruce dividen la altura del trapecio en la misma razón.
Cono. Mira un cono de lado. La superficie del agua es paralela al borde, así que el cono de agua es semejante al cono completo. Su factor de escala es la razón de las alturas.
Practica★★★Sin empezar
En el trapecio de la figura, las bases miden $10 \text{ cm}$ y $25 \text{ cm}$, y la altura total es de $21 \text{ cm}$. Las diagonales se cortan en un punto, dividiendo…
En el trapecio de la figura, las bases miden $10 \text{ cm}$ y $25 \text{ cm}$, y la altura total es de $21 \text{ cm}$. Las diagonales se cortan en un punto, dividiendo la altura total en dos partes. Calcule el área de los dos triángulos sombreados formados por las bases y las diagonales.
Una copa tiene forma de cono invertido con una altura interior de $15 \text{ cm}$. Se vierte agua hasta alcanzar una altura de $10 \text{ cm}$ desde el vértice inferior.…
Una copa tiene forma de cono invertido con una altura interior de $15 \text{ cm}$. Se vierte agua hasta alcanzar una altura de $10 \text{ cm}$ desde el vértice inferior. ¿Qué fracción del volumen total de la copa está llena de agua? Exprese el resultado como una fracción irreducible.
En un triángulo rectángulo, traza la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa. Divide el triángulo grande en dos triángulos rectángulos más pequeños, y los tres triángulos son semejantes entre sí. De ahí sale una fórmula muy práctica.
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos (proyecciones) que miden $3 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Calcule la medida…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos (proyecciones) que miden $3 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Calcule la medida de dicha altura.
La altura también crea una semejanza entre cada triángulo pequeño y el grande. Eso da una regla para cada cateto del triángulo rectángulo. Algunos problemas lo llaman simplemente teorema del cateto.
El álgebra también ayuda cuando un segmento es desconocido.
Practica★☆☆Sin empezar
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25 \text{ cm}$ y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide $9 \text{ cm}$. Aplique el teorema del…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25 \text{ cm}$ y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide $9 \text{ cm}$. Aplique el teorema del cateto (el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella) para hallar la longitud de dicho cateto.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden $10 \text{ cm}$ y $24 \text{ cm}$. Calcule la longitud de la hipotenusa, la medida de la altura trazada sobre la hipotenusa…
Los catetos de un triángulo rectángulo miden $10 \text{ cm}$ y $24 \text{ cm}$. Calcule la longitud de la hipotenusa, la medida de la altura trazada sobre la hipotenusa y las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la misma.
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa mide $6 \text{ cm}$. Dicha altura divide a la hipotenusa en dos proyecciones cuyas longitudes son $x$ y…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa mide $6 \text{ cm}$. Dicha altura divide a la hipotenusa en dos proyecciones cuyas longitudes son $x$ y $x+5$ pulgadas. Plantee una ecuación, halle el valor de $x$ y calcule la medida de los tres lados del triángulo rectángulo.