Longitudes, áreas y volúmenes de figuras semejantes

Dos pentágonos son semejantes con una razón de semejanza $k = 3$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$ y su área es de $20 \text{ cm}^2$, calcule el perímetro y el área del pentágono mayor.

El área de un triángulo es de $12 \text{ cm}^2$. Se dibuja un segundo triángulo semejante al primero, pero con los lados que miden exactamente la mitad. Calcule el área de este nuevo triángulo.

La pantalla de un teléfono inteligente tiene un área de $A \text{ cm}^2$. El fabricante lanza un nuevo modelo "Pro" con exactamente la misma proporción (es decir, una pantalla semejante), pero cuya diagonal es un $20\%$ mayor que la del modelo estándar. ¿En qué porcentaje exacto se incrementa el área de la pantalla? Adicionalmente, si todas las dimensiones tridimensionales del teléfono aumentan un $20\%$, ¿en qué porcentaje aumentará su volumen total?

La razón entre las áreas de dos hexágonos semejantes es $\frac{16}{25}$. Determine cuál es la razón de semejanza entre sus lados correspondientes.

Se tienen dos cubos semejantes. El volumen del cubo más pequeño es de $8 \text{ cm}^3$ y el volumen del cubo más grande es de $64 \text{ cm}^3$. Encuentre la razón de semejanza $k$ entre las aristas de ambos cubos.

Un pintor quiere realizar un mural en una pared ampliando un boceto previo. El boceto está dibujado sobre un lienzo rectangular de $20 \text{ cm}$ de ancho por $30 \text{ cm}$ de alto. La pared destinada al mural tiene un área total de $24 \text{ m}^2$ y el mural final será exactamente semejante al boceto, ocupando toda la pared. ¿Cuáles serán las dimensiones del mural en pies?

Una plaza de forma cuadrada tiene un perímetro de $160 \text{ m}$. La alcaldía decide remodelarla para construir una nueva plaza cuadrada semejante, de tal forma que el área pavimentada de la nueva plaza sea exactamente el triple del área de la antigua. Calcule el perímetro de la nueva plaza, dando el valor exacto utilizando radicales.

La Gran Pirámide de Guiza originalmente tenía una altura aproximada de $146 \text{ m}$. Imagine que se construyera una réplica semejante en las proximidades, pero diseñada para tener exactamente la mitad del volumen de la pirámide original. Calcule cuál sería la altura exacta de esta réplica, expresando el resultado mediante radicales.

Se tienen dos polígonos semejantes. El área del primer polígono es $S_1 = 45 \text{ cm}^2$ y el área del segundo es $S_2 = 80 \text{ cm}^2$. Si la suma de los perímetros de ambos polígonos es de $70 \text{ cm}$, determine el perímetro de cada uno de ellos.

Un mapa de carreteras está diseñado a una escala de $1:50\,000$. Si un tramo recto de carretera mide $4 \text{ cm}$ en el mapa, calcule cuántas millas mide ese tramo en la realidad.

Una parcela de terreno rectangular tiene un área real de $400 \text{ m}^2$. En un plano urbanístico, esa misma parcela ocupa un área de $4 \text{ cm}^2$. Calcule la escala numérica a la que está dibujado el plano.

En un mapa topográfico con una escala de $1:250\,000$, un parque natural ocupa una extensión de $12 \text{ cm}^2$. Sabiendo que $1 \text{ hectárea (ha)}$ equivale a $10\,000 \text{ m}^2$, calcule la extensión real del parque natural expresada en acres.

Una maqueta de un carro deportivo está fabricada a una escala de $1:24$. Si el carro real tiene una longitud de $4,8 \text{ m}$, averigüe cuál es la longitud de la maqueta expresada en pulgadas.

Una diseñadora imprime en 3D una pequeña figura de plástico que pesa $30 \text{ g}$. Al ver el resultado, decide imprimir una versión semejante pero ampliada al $150\%$ de su tamaño original. Suponiendo que la densidad del relleno plástico es idéntica en ambas impresiones, calcule el peso de la nueva figura.

Una estatua de bronce expuesta en una plaza tiene una masa de $432 \text{ kg}$. En la tienda del museo se vende una réplica a escala fabricada exactamente con la misma aleación de bronce, cuya masa es de $2 \text{ kg}$. Si el área superficial de la réplica es de $450 \text{ cm}^2$, halle el área superficial de la estatua original expresada en $\text{m}^2$.

Dos botellas de agua tienen formas semejantes. La botella más grande es $1,5$ veces más alta que la botella pequeña. Si la botella pequeña tiene una capacidad de $500 \text{ ml}$, determine la capacidad de la botella grande.

Una marca de sopas comercializa su producto en dos latas cilíndricas semejantes. La cantidad de hojalata necesaria para fabricar la lata grande (su área superficial) es $4$ veces mayor que la necesaria para la lata pequeña. Si la lata pequeña contiene $250 \text{ ml}$ de sopa, averigüe cuántos galones contiene la lata grande.

Un balón de baloncesto reglamentario tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$, mientras que una pelota de tenis tiene un diámetro de $6 \text{ cm}$. Asumiendo que ambos son esferas perfectas, determine cuántas veces mayor es la superficie del balón de baloncesto respecto a la pelota de tenis, y cuántas veces mayor es su volumen.

En biología, la relación entre la superficie y el volumen de una célula determina su capacidad para intercambiar nutrientes. Considere una célula esférica de radio $r$. Si la célula crece de forma que su nuevo radio es $k \cdot r$ (con $k > 1$), demuestre matemáticamente que la relación superficie/volumen se reduce por un factor de $\frac{1}{k}$. A continuación, calcule el valor exacto de la nueva relación superficie/volumen si el radio original era de $2 \,\mu\text{m}$ y el factor de crecimiento es $k = 3$.