Eventos independientes
¿Sacar cara al lanzar una moneda cambia tu probabilidad de sacar un $5$ al lanzar un dado? No, así que basta con multiplicar las dos probabilidades. Pero en un problema con una encuesta o una tabla de doble entrada, no siempre es obvio si dos eventos son independientes. Necesitas una prueba matemática precisa, no una corazonada. Al terminar esta página conocerás esa prueba y sabrás usarla.
La definición de independencia
¿Por qué funciona? Si que ocurra $A$ no cambia la probabilidad de $B$, entonces $B$ ocurre en la misma fracción de casos, haya ocurrido $A$ o no. Así, la fracción de veces que ocurren ambos es la fracción de $A$ por la fracción de $B$.
Independencia y probabilidad condicional
La notación $P(B \mid A)$ significa "la probabilidad de $B$ dado que ocurrió $A$". Se define así:
$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$Ahora divide la ecuación de independencia entre $P(A)$. Obtienes una forma equivalente de decir lo mismo:
Así, si un problema dice que $G$ y $H$ son independientes y da $P(H \mid G) = 0.4$, entonces $P(H) = 0.4$ también. La condición no cambia nada.
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Determina analíticamente si los sucesos $A$ y $B$…
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Determina analíticamente si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.
Se sabe que la probabilidad de que ocurra el suceso $G$ es $P(G) = 0,7$ y la probabilidad de que ocurra el suceso $H$ sabiendo que ha ocurrido $G$ es $P(H|G) = 0,4$. Si…
Se sabe que la probabilidad de que ocurra el suceso $G$ es $P(G) = 0,7$ y la probabilidad de que ocurra el suceso $H$ sabiendo que ha ocurrido $G$ es $P(H|G) = 0,4$. Si $G$ y $H$ son independientes, ¿cuál es el valor de $P(H)$?
Comprobar la independencia con datos
Cuando la información viene de una tabla, una encuesta o porcentajes, primero calcula las tres probabilidades $P(A)$, $P(B)$ y $P(A \cap B)$ a partir de los conteos. Luego compara $P(A)\cdot P(B)$ con $P(A \cap B)$.
En un estudio estadístico sobre hábitos de lectura, se ha encuestado a $200$ personas. Los resultados muestran que $120$ leen habitualmente y $80$ no lo hacen. Además,…
En un estudio estadístico sobre hábitos de lectura, se ha encuestado a $200$ personas. Los resultados muestran que $120$ leen habitualmente y $80$ no lo hacen. Además, $90$ de los encuestados tienen estudios universitarios, de los cuales $54$ leen habitualmente. Comprueba matemáticamente si los sucesos "leer habitualmente" y "tener estudios universitarios" son independientes en esta muestra.
Dos sucesos $M$ y $N$ son incompatibles (mutuamente excluyentes) y tienen probabilidades strictly mayores que cero. ¿Pueden ser independientes? Justifica tu respuesta…
Dos sucesos $M$ y $N$ son incompatibles (mutuamente excluyentes) y tienen probabilidades strictly mayores que cero. ¿Pueden ser independientes? Justifica tu respuesta utilizando la definición matemática de independencia.
Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,8$. Demuestra analíticamente que los sucesos $A$…
Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,8$. Demuestra analíticamente que los sucesos $A$ y $B$ no son independientes y, a continuación, calcula la probabilidad condicionada $P(A|B)$.
La regla de la multiplicación
Una vez que sabes que dos eventos son independientes, la definición funciona como una herramienta: te da la probabilidad de que ocurran ambos.
La misma ecuación también te deja trabajar al revés. Si conoces la intersección y una probabilidad, divide para hallar la otra.
Multiplicar a lo largo de un diagrama de árbol
En un diagrama de árbol de dos etapas independientes, multiplicas las probabilidades a lo largo de un camino. La segunda etapa tiene las mismas probabilidades en las ramas sin importar lo que pasó en la primera.
En un experimento aleatorio, los sucesos $C$ y $D$ son independientes. Si $P(C) = 0,6$ y $P(D) = 0,3$, calcula la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez, es…
En un experimento aleatorio, los sucesos $C$ y $D$ son independientes. Si $P(C) = 0,6$ y $P(D) = 0,3$, calcula la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez, es decir, halla $P(C \cap D)$.
Los sucesos $E$ y $F$ son independientes. Sabiendo que la probabilidad de su intersección es $P(E \cap F) = 0,15$ y que $P(E) = 0,3$, halla la probabilidad del suceso…
Los sucesos $E$ y $F$ son independientes. Sabiendo que la probabilidad de su intersección es $P(E \cap F) = 0,15$ y que $P(E) = 0,3$, halla la probabilidad del suceso $F$.
Observa el siguiente diagrama de árbol que modeliza dos experimentos independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra el suceso $\overline{A}$ en la primera etapa y…
Observa el siguiente diagrama de árbol que modeliza dos experimentos independientes. Calcula la probabilidad de que ocurra el suceso $\overline{A}$ en la primera etapa y el suceso $B$ en la segunda etapa.
Independencia en situaciones reales
La regla de la multiplicación sirve para cualquier situación independiente: dos monedas, una moneda y un dado, dos tiradores, dos genes distintos en un cruce de plantas. Si conoces la probabilidad de cada parte, solo multiplica.
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta, se anota su palo, se devuelve al mazo, se baraja y se extrae una segunda carta. Calcula la probabilidad de que…
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta, se anota su palo, se devuelve al mazo, se baraja y se extrae una segunda carta. Calcula la probabilidad de que ambas cartas extraídas sean del palo de "oros".
En una competición de tiro con arco, la arquera Alpha tiene una probabilidad de $0,8$ de dar en el centro de la diana, mientras que el arquero Beta tiene una…
En una competición de tiro con arco, la arquera Alpha tiene una probabilidad de $0,8$ de dar en el centro de la diana, mientras que el arquero Beta tiene una probabilidad de $0,7$. Si ambos disparan una flecha de forma completamente independiente, calcula la probabilidad de que ambos acierten en el centro de la diana.
En un cruce genético mendeliano, el color de la semilla (Amarillo dominante, verde recesivo) y la textura de la misma (Lisa dominante, rugosa recesiva) se heredan de…
En un cruce genético mendeliano, el color de la semilla (Amarillo dominante, verde recesivo) y la textura de la misma (Lisa dominante, rugosa recesiva) se heredan de forma absolutamente independiente. Si se cruzan dos plantas heterocigotas para ambos caracteres, la probabilidad de heredar el alelo recesivo de cada progenitor para un único gen es de $0,5$. Calcula la probabilidad de que una planta descendiente elegida al azar tenga semillas verdes y rugosas simultáneamente.
"Al menos uno" y la unión
¿Y si quieres la probabilidad de que ocurra $A$ o $B$ (o ambos)? La fórmula general es $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Restamos la parte común para no contarla dos veces. Para eventos independientes, esa parte común es $P(A)\cdot P(B)$.
Un segundo enfoque suele ser más rápido. "Al menos uno" es lo opuesto de "ninguno", así que
$$P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})$$y para eventos independientes $P(\text{ninguno})$ es un producto de complementos.
En una ciudad costera, la probabilidad de que llueva un sábado es del $40\%$, y la probabilidad de que llueva un domingo es del $30\%$. Suponiendo que el tiempo del…
En una ciudad costera, la probabilidad de que llueva un sábado es del $40\%$, y la probabilidad de que llueva un domingo es del $30\%$. Suponiendo que el tiempo del domingo es independiente del tiempo del sábado, halla la probabilidad de que llueva durante el fin de semana (es decir, que llueva el sábado, el domingo o ambos días).
Sean $A$ y $B$ dos sucesos independientes asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0,88$ y la probabilidad de $A$…
Sean $A$ y $B$ dos sucesos independientes asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0,88$ y la probabilidad de $A$ es $P(A) = 0,6$. Calcula la probabilidad del suceso $B$.
Un sistema de seguridad bancaria de alta tecnología consta de tres sensores de movimiento que operan de forma totalmente independiente. Las probabilidades de que cada…
Un sistema de seguridad bancaria de alta tecnología consta de tres sensores de movimiento que operan de forma totalmente independiente. Las probabilidades de que cada sensor detecte a un intruso que entra en la bóveda son $0,90$, $0,85$ y $0,95$, respectivamente. Calcula la probabilidad de que el sistema detecte a un intruso (es decir, que al menos un sensor se active).
Combinar casos: "exactamente uno" y "mismo resultado"
Muchos problemas necesitan más de un producto. El plan es siempre el mismo: haz una lista de las distintas formas en que puede ocurrir el evento, multiplica dentro de cada forma (independencia) y luego suma las formas (no pueden ocurrir al mismo tiempo).
Un estudiante tiene que tomar un examen de opción múltiple. La probabilidad de que sepa la respuesta correcta a una pregunta de Historia es $0,7$, y la probabilidad de…
Un estudiante tiene que tomar un examen de opción múltiple. La probabilidad de que sepa la respuesta correcta a una pregunta de Historia es $0,7$, y la probabilidad de que sepa la respuesta a una de Geografía es $0,8$. Si le hacen una pregunta de cada materia y sus conocimientos sobre ellas son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que sepa responder exactamente a una de las dos preguntas?
Se tienen dos urnas con la composición que se muestra en la figura. Se extrae al azar una bola de la urna $A$ y, de forma independiente, otra bola de la urna $B$.…
Se tienen dos urnas con la composición que se muestra en la figura. Se extrae al azar una bola de la urna $A$ y, de forma independiente, otra bola de la urna $B$. Calcula la probabilidad de que ambas bolas extraídas sean del mismo color.
Sistemas y turnos
Un sistema a menudo funciona solo si ciertas partes funcionan. Divídelo en piezas. "A y (B o C)" significa: multiplica $P(A \text{ funciona})$ por $P(\text{al menos uno de B, C funciona})$, y usa el complemento para esa segunda parte.
Jugar por turnos
Los juegos en los que los jugadores se alternan por turnos se manejan de la misma forma. Cada turno es independiente, y ganar en un turno posterior significa que todos los anteriores fallaron.
En un hospital, un paciente se somete a dos pruebas diagnósticas independientes para detectar una alergia respiratoria. La prueba $X$ da un falso negativo (no detecta la…
En un hospital, un paciente se somete a dos pruebas diagnósticas independientes para detectar una alergia respiratoria. La prueba $X$ da un falso negativo (no detecta la alergia cuando el paciente sí la padece) con una probabilidad de $0,15$. La prueba $Y$ da un falso negativo con una probabilidad de $0,10$. Si el paciente analizado es realmente alérgico, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las dos pruebas detecte su alergia?
Un circuito electrónico para un satélite de comunicaciones está formado por tres componentes $A$, $B$ y $C$ dispuestos como muestra el diagrama. El circuito funciona…
Un circuito electrónico para un satélite de comunicaciones está formado por tres componentes $A$, $B$ y $C$ dispuestos como muestra el diagrama. El circuito funciona correctamente si el componente $A$ funciona Y, además, funciona al menos uno de los componentes $B$ o $C$. Los tres componentes fallan de forma independiente con probabilidades $P(F_A) = 0,02$, $P(F_B) = 0,1$ y $P(F_C) = 0,1$. Calcula la probabilidad de que el circuito en su conjunto funcione correctamente.
Dos amigas, Carmen y Daniela, lanzan alternativamente un dado equilibrado de seis caras en un juego. Gana la partida la primera jugadora que obtenga un $6$. Si Carmen…
Dos amigas, Carmen y Daniela, lanzan alternativamente un dado equilibrado de seis caras en un juego. Gana la partida la primera jugadora que obtenga un $6$. Si Carmen tiene el primer turno y lanzan de forma independiente, calcule la probabilidad exacta de que Carmen gane el juego en su primer o en su segundo lanzamiento.
Complementos y reemplazo
Complementos de eventos independientes
Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $\bar A$ y $\bar B$ (y $A$ con $\bar B$, y $\bar A$ con $B$). Esto significa que "ninguno" es un producto sencillo:
$$P(\text{ni } A \text{ ni } B) = P(\bar A)\cdot P(\bar B) = (1 - P(A))(1 - P(B))$$Demostrar con la definición
Para demostrar que dos eventos son independientes, muestra que $P(\text{ambos}) = P(\text{primero}) \cdot P(\text{segundo})$, usando solo álgebra y las reglas de probabilidad que conoces.
El mismo tipo de argumento funciona para $A$ y $\bar B$: parte de $P(A \cap \bar B) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\big(1 - P(B)\big)$.
Con y sin reemplazo
Sacar con reemplazo (devolver el objeto) hace que las extracciones sean independientes. Sacar sin reemplazo cambia lo que queda, así que en general las extracciones son dependientes.
En una academia de idiomas se ofrecen clases de Francés y Alemán. El $60\%$ de los alumnos estudia Francés. Se sabe que los sucesos "estudiar Francés" y "estudiar…
En una academia de idiomas se ofrecen clases de Francés y Alemán. El $60\%$ de los alumnos estudia Francés. Se sabe que los sucesos "estudiar Francés" y "estudiar Alemán" son totalmente independientes. Si la probabilidad de que un alumno elegido al azar no estudie ninguno de los dos idiomas es del $12\%$, determina qué porcentaje de los alumnos de la academia estudia Alemán.
Una caja contiene $3$ fichas verdes (V) y $2$ fichas naranjas (N). Se van a realizar dos extracciones consecutivas. Analiza los diagramas de árbol correspondientes a…
Una caja contiene $3$ fichas verdes (V) y $2$ fichas naranjas (N). Se van a realizar dos extracciones consecutivas. Analiza los diagramas de árbol correspondientes a realizar el experimento con reemplazamiento (Panel A) y sin reemplazamiento (Panel B). Calcula la probabilidad de extraer una ficha verde en la segunda extracción en ambos casos y explica matemáticamente en cuál de los dos escenarios el resultado de la segunda extracción es independiente del resultado de la primera.
Demuestra analíticamente que si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, entonces sus sucesos contrarios $\overline{A}$ y $\overline{B}$ también son independientes.…
Demuestra analíticamente que si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, entonces sus sucesos contrarios $\overline{A}$ y $\overline{B}$ también son independientes. Utiliza para ello las propiedades algebraicas de la probabilidad y la definición fundamental de independencia.