Marcus está diseñando una rampa para un parque de patinaje. La pendiente de la rampa a una distancia horizontal $x$ (en pies) es $\sin^2 x$, y la rampa empieza a una altura de $0$. ¿Qué altura tiene la rampa en cualquier punto $x$? Necesitas una antiderivada de $\sin^2 x$, y no está en tu tabla de antiderivadas básicas. La buena noticia: en esta página no hay ninguna idea completamente nueva. Es tu tabla básica, el patrón de la regla de la cadena y las identidades trigonométricas, más la integración por partes para los casos más difíciles.
Antiderivadas trigonométricas básicas y argumentos lineales
Cada derivada que conoces, al revés, te da una antiderivada. Estas son las trigonométricas que debes tener memorizadas.
Algunos problemas llaman primitiva a una antiderivada. Es lo mismo: una función $F$ con $F'=f$.
¿Y si el argumento no es solo $x$? Si $F'=f$, por la regla de la cadena $\dfrac{d}{dx}F(ax+b)=a\,f(ax+b)$. Entonces, para deshacerlo, divide entre $a$.
Practica★☆☆Sin empezar
Para empezar a practicar con el cálculo de antiderivadas, halle la primitiva general de la siguiente función que incluye un ajuste lineal en el argumento del coseno:…
Para empezar a practicar con el cálculo de antiderivadas, halle la primitiva general de la siguiente función que incluye un ajuste lineal en el argumento del coseno:
Halle la primitiva de la función $f(x) = \sec^2(3x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(0, 2)$. Recuerde que debe calcular la constante de integración $C$.
Halle la primitiva de la función $f(x) = \sec^2(3x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(0, 2)$. Recuerde que debe calcular la constante de integración $C$.
Un oscilador armónico simple se mueve de tal forma que su velocidad en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por $v(t) = 3 \cdot \cos(t)$. Si en el instante…
Un oscilador armónico simple se mueve de tal forma que su velocidad en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por $v(t) = 3 \cdot \cos(t)$. Si en el instante inicial $t=0$ el objeto se encuentra en la posición $s=0$, obtenga la expresión de su posición $s(t)$ calculando la primitiva correspondiente.
Calcule la siguiente integral indefinida utilizando el logaritmo natural como resultado, reconociendo que el numerador es (casi) la derivada del denominador:…
Calcule la siguiente integral indefinida utilizando el logaritmo natural como resultado, reconociendo que el numerador es (casi) la derivada del denominador:
Una función trigonométrica elevada a una potencia por su derivada
Practica★☆☆Sin empezar
Determine la familia de funciones primitivas de la expresión dada. Tenga en cuenta que la derivada del seno es el coseno: $f(x) = \sin^4(x) \cdot \cos(x)$
Determine la familia de funciones primitivas de la expresión dada. Tenga en cuenta que la derivada del seno es el coseno:
Halle la integral indefinida de la función $f(x) = \tan^3(x) \cdot \sec^2(x)$. Recuerde observar si la expresión se ajusta a una integral de tipo potencial donde una…
Halle la integral indefinida de la función $f(x) = \tan^3(x) \cdot \sec^2(x)$. Recuerde observar si la expresión se ajusta a una integral de tipo potencial donde una función está elevada a un exponente y multiplicada por su derivada.
Calcule la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$ que cumple la condición de pasar por el origen de coordenadas, es decir, $F(0) = 0$. Pista:…
Calcule la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$ que cumple la condición de pasar por el origen de coordenadas, es decir, $F(0) = 0$.
Pista: Identifique si es una integral de tipo logarítmico o potencial antes de aplicar las condiciones iniciales.
Úsalas para convertir una expresión "misteriosa" en una suma de términos de la tabla básica.
Las dos curvas son la misma: $\sec^2x-1=\tan^2x$.
Potencias de $\csc x$ y $\cot x$
Una potencia de la cosecante funciona como una potencia de la secante. Separa $\csc^2x$, que es $-1$ por la derivada de $\cot x$, y convierte el resto en cotangentes con $\csc^2x=1+\cot^2x$.
Practica★☆☆Sin empezar
En muchas ocasiones, las identidades trigonométricas nos permiten transformar una expresión difícil en una inmediata. Utilice la relación $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$…
En muchas ocasiones, las identidades trigonométricas nos permiten transformar una expresión difícil en una inmediata. Utilice la relación $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$ para calcular la siguiente primitiva:
Determine la integral indefinida de la función $f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)}$. Ayuda: Puede intentar sustituir el número $1$ del numerador por la identidad…
Determine la integral indefinida de la función $f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)}$.
Ayuda: Puede intentar sustituir el número $1$ del numerador por la identidad fundamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ para separar la integral en dos sumandos más sencillos.
Calcule la primitiva de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para simplificar la expresión antes de integrar: $$f(x) =…
Calcule la primitiva de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para simplificar la expresión antes de integrar:
Determine la primitiva de la función $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(\pi, 1)$ y su derivada es: $$f'(x) = \frac{1}{\sin^4(x) \cdot \cos^2(x)}$$…
Determine la primitiva de la función $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(\pi, 1)$ y su derivada es:
$$f'(x) = \frac{1}{\sin^4(x) \cdot \cos^2(x)}$$
Sugerencia: Intente expresar el numerador utilizando la identidad fundamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ de forma iterativa o busque un cambio de variable basado en la tangente.
Cuando $\sin x$ o $\cos x$ aparece con una potencia impar, separa un factor. Ese factor será $du$ en una sustitución, y el resto se convierte con $\sin^2x+\cos^2x=1$.
Practica★★☆Sin empezar
Calcule la primitiva de la función $f(x) = \frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}$. Sugerencia: Al ser una función impar en $\sin(x)$, realice el cambio de variable $t = \cos(x)$.
Calcule la primitiva de la función $f(x) = \frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}$.
Sugerencia: Al ser una función impar en $\sin(x)$, realice el cambio de variable $t = \cos(x)$.
Calcule la integral indefinida de la siguiente función racional trigonométrica. Este tipo de integrales aparecen frecuentemente en el cálculo de campos gravitatorios en…
Calcule la integral indefinida de la siguiente función racional trigonométrica. Este tipo de integrales aparecen frecuentemente en el cálculo de campos gravitatorios en astrofísica:
Un despacho de arquitectura está diseñando el perfil de una rampa para un parque de deportes extremos. La pendiente de la rampa en cada punto $x$ viene dada por la…
Un despacho de arquitectura está diseñando el perfil de una rampa para un parque de deportes extremos. La pendiente de la rampa en cada punto $x$ viene dada por la función $g(x) = \sin^2(x)$. Si la rampa comienza en el punto $(0, 0)$, determine la función $G(x)$ que describe la altura de la rampa en cualquier punto.
Pista: Utilice la fórmula del ángulo doble para reducir el grado de la función.
Productos de senos y cosenos con ángulos distintos
Practica★★★Sin empezar
Halle la primitiva de la función $f(x)$ que se describe a continuación, empleando transformaciones de productos en sumas: $$f(x) = \cos(5x) \cdot \cos(3x)$$ Una vez…
Halle la primitiva de la función $f(x)$ que se describe a continuación, empleando transformaciones de productos en sumas:
$$f(x) = \cos(5x) \cdot \cos(3x)$$
Una vez obtenida la familia de primitivas, determine aquella cuya gráfica tiene un máximo relativo en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ con un valor de ordenada $y = 2$.
Integración por partes con funciones trigonométricas
Algunas integrales combinan una función trigonométrica con un polinomio o una exponencial. Las identidades no ayudarán. Usa la regla del producto al revés.
El segundo paso de partes anterior es lo que el método de la tabla automatiza para un polinomio por $\sin$, $\cos$ o $e^x$: deriva hacia abajo en una columna, integra hacia abajo en la otra y multiplica por las diagonales con signos alternados.
Otra trampa: algunas integrales regresan a sí mismas. Se llaman cíclicas.
Para una mezcla como $e^{2x}\cos^2x$, primero usa la fórmula del ángulo doble para eliminar el cuadrado y luego trabaja la parte cíclica $e^{2x}\cos 2x$.
Practica★★☆Sin empezar
Halle la primitiva de la función $h(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ utilizando el método de integración por partes. Deberá aplicar el método dos veces para reducir el grado del…
Halle la primitiva de la función $h(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ utilizando el método de integración por partes. Deberá aplicar el método dos veces para reducir el grado del polinomio hasta obtener una integral inmediata.
En un experimento de física, se analiza la oscilación amortiguada de un resorte cuya velocidad de vibración en función del tiempo $t$ se comporta según la función…
En un experimento de física, se analiza la oscilación amortiguada de un resorte cuya velocidad de vibración en función del tiempo $t$ se comporta según la función $v(t) = e^{-t} \cdot \sin(2t)$. Determine la función de posición $s(t)$ sabiendo que esta integral es de tipo cíclica.
En el diseño de circuitos de corriente alterna, la potencia instantánea suele venir dada por el producto de funciones exponenciales y trigonométricas. Calcule la familia…
En el diseño de circuitos de corriente alterna, la potencia instantánea suele venir dada por el producto de funciones exponenciales y trigonométricas. Calcule la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión, que representa la tasa de variación de energía en un componente específico:
$$f(x) = e^{2x} \cdot \cos^2(x)$$
Consejo: Utilice primero una identidad trigonométrica para reducir el exponente del coseno antes de aplicar el método de integración por partes.
Formas trigonométricas inversas y la sustitución con la tangente
Dos formas estándar más ayudan cuando aparece una raíz cuadrada o una suma de cuadrados.
Integrar una función trigonométrica inversa por partes
No puedes integrar $\arcsin$ con la tabla, pero tiene una derivada sencilla. Eso la hace una buena elección para $u$ en la integración por partes, con $dv=dx$.
Potencias pares en una fracción
Las funciones racionales de $\sin^2x$ y $\cos^2x$ (solo potencias pares) se resuelven dividiendo el numerador y el denominador entre $\cos^2x$. Así aparece $\sec^2x$, la derivada de $\tan x$.
Practica★★★Sin empezar
Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$, que combina potencias de funciones trigonométricas inversas y funciones directas: $$I = \int \frac{\arcsen(x) +…
Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$, que combina potencias de funciones trigonométricas inversas y funciones directas:
Pista: Descomponga la integral en suma de dos integrales más sencillas y analice si alguna de ellas puede resolverse como una integral de tipo "función por su derivada".
Halle la familia de primitivas de la siguiente función utilizando un cambio de variable adecuado para funciones trigonométricas pares en seno y coseno: $$f(x) =…
Halle la familia de primitivas de la siguiente función utilizando un cambio de variable adecuado para funciones trigonométricas pares en seno y coseno:
$$f(x) = \frac{1}{3\sin^2(x) + \cos^2(x)}$$
Sugerencia: Divida el numerador y el denominador por $\cos^2(x)$ para expresar la función en términos de $\tan(x)$ y su derivada $\sec^2(x)$.
En el estudio de las oscilaciones de un puente colgante, la aceleración de un punto de la estructura viene dada por la función $a(t)$. Encuentre la función posición…
En el estudio de las oscilaciones de un puente colgante, la aceleración de un punto de la estructura viene dada por la función $a(t)$. Encuentre la función posición $s(t)$ sabiendo que la velocidad inicial es $v(0) = 0$, la posición inicial es $s(0) = 1$ y la aceleración es:
$$a(t) = \frac{\sec^2(t)}{\sqrt{4 - \tan^2(t)}}$$
Ayuda: Deberá integrar dos veces. La primera integral le dará la velocidad y la segunda la posición. Tenga cuidado con los dominios de las funciones resultantes.
Cuando nada más funciona con una expresión racional en $\sin x$ y $\cos x$, un último recurso es la llamada sustitución universal $t=\tan\frac x2$. Convierte la integral en una función racional de $t$.
Practica★★★Sin empezar
El "cambio de variable universal" es una herramienta potente para resolver integrales de funciones racionales de seno y coseno. Utilice el cambio…
El "cambio de variable universal" es una herramienta potente para resolver integrales de funciones racionales de seno y coseno. Utilice el cambio $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ para hallar la siguiente primitiva:
Recorre esta lista en orden. Detente en la primera que encaje.
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$f(ax+b)$
$\frac1a F(ax+b)$
$g(u)\cdot u'$ (incluyendo $u^n u'$)
sustituye $u$
Potencia impar de $\sin$ o $\cos$
guarda un factor, usa $\sin^2+\cos^2=1$
$\sin^2$ o $\cos^2$ solos
fórmula del ángulo doble
$\tan^2$, $\cot^2$, un $1$ que separar
identidad pitagórica
$\csc^4$, $\sec^4$
guarda $\csc^2$ (o $\sec^2$), sea $u=\cot x$ (o $\tan x$)
$\sin A\cos B$ con ángulos distintos
producto a suma
Polinomio o $e^x$ por $\sin$/$\cos$
integración por partes
Función trigonométrica inversa sola
partes con $dv=dx$
Potencias pares en una fracción
divide entre $\cos^2x$ y sea $u=\tan x$
Racional en $\sin x$, $\cos x$
$t=\tan\frac x2$ (último recurso)
Volvamos al principio: la rampa de Marcus tiene pendiente $\sin^2x$, y hallamos su altura con la fórmula del ángulo doble: $G(x)=\dfrac x2-\dfrac{\sin 2x}{4}$ pies.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel fácil en este apartado