Ejercicios: Integración de funciones trigonométricas

Para empezar a practicar con el cálculo de antiderivadas, halle la primitiva general de la siguiente función que incluye un ajuste lineal en el argumento del coseno:

$f(x) = \cos(4x - 1)$

Calcule la integral indefinida de la siguiente función, observando que se trata de una función compuesta donde aparece la derivada del argumento:

$\int x \cdot \sin(x^2 + 3) \, dx$

En muchas ocasiones, las identidades trigonométricas nos permiten transformar una expresión difícil en una inmediata. Utilice la relación $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$ para calcular la siguiente primitiva:

$\int \tan^2(x) \, dx$

Determine la familia de funciones primitivas de la expresión dada. Tenga en cuenta que la derivada del seno es el coseno:

$f(x) = \sin^4(x) \cdot \cos(x)$

Halle la primitiva de la función $f(x) = \sec^2(3x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(0, 2)$. Recuerde que debe calcular la constante de integración $C$.

Un oscilador armónico simple se mueve de tal forma que su velocidad en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por $v(t) = 3 \cdot \cos(t)$. Si en el instante inicial $t=0$ el objeto se encuentra en la posición $s=0$, obtenga la expresión de su posición $s(t)$ calculando la primitiva correspondiente.

Calcule la siguiente integral indefinida utilizando el logaritmo natural como resultado, reconociendo que el numerador es (casi) la derivada del denominador:

$\int \frac{\sin(x)}{5 + \cos(x)} \, dx$

Obtenga el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función compuesta, que combina una raíz cuadrada con una función trigonométrica:

$f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$

Calcule la primitiva de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para simplificar la expresión antes de integrar:

Halle la integral indefinida de la función $f(x) = \tan^3(x) \cdot \sec^2(x)$. Recuerde observar si la expresión se ajusta a una integral de tipo potencial donde una función está elevada a un exponente y multiplicada por su derivada.

Un despacho de arquitectura está diseñando el perfil de una rampa para un parque de deportes extremos. La pendiente de la rampa en cada punto $x$ viene dada por la función $g(x) = \sin^2(x)$. Si la rampa comienza en el punto $(0, 0)$, determine la función $G(x)$ que describe la altura de la rampa en cualquier punto.

Pista: Utilice la fórmula del ángulo doble para reducir el grado de la función.

Calcule la primitiva de la función $f(x) = \frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}$.

Sugerencia: Al ser una función impar en $\sin(x)$, realice el cambio de variable $t = \cos(x)$.

Determine la integral indefinida de la función $f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)}$.

Ayuda: Puede intentar sustituir el número $1$ del numerador por la identidad fundamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ para separar la integral en dos sumandos más sencillos.

Halle la primitiva de la función $h(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ utilizando el método de integración por partes. Deberá aplicar el método dos veces para reducir el grado del polinomio hasta obtener una integral inmediata.

En un experimento de física, se analiza la oscilación amortiguada de un resorte cuya velocidad de vibración en función del tiempo $t$ se comporta según la función $v(t) = e^{-t} \cdot \sin(2t)$. Determine la función de posición $s(t)$ sabiendo que esta integral es de tipo cíclica.

Calcule la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$ que cumple la condición de pasar por el origen de coordenadas, es decir, $F(0) = 0$.

Pista: Identifique si es una integral de tipo logarítmico o potencial antes de aplicar las condiciones iniciales.

En el diseño de circuitos de corriente alterna, la potencia instantánea suele venir dada por el producto de funciones exponenciales y trigonométricas. Calcule la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión, que representa la tasa de variación de energía en un componente específico:

Consejo: Utilice primero una identidad trigonométrica para reducir el exponente del coseno antes de aplicar el método de integración por partes.

Calcule la integral indefinida de la siguiente función racional trigonométrica. Este tipo de integrales aparecen frecuentemente en el cálculo de campos gravitatorios en astrofísica:

Nota: Considere un cambio de variable que relacione las funciones trigonométricas presentes y recuerde la identidad fundamental de la trigonometría.

Determine la primitiva de la función $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(\pi, 1)$ y su derivada es:

Sugerencia: Intente expresar el numerador utilizando la identidad fundamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ de forma iterativa o busque un cambio de variable basado en la tangente.

El "cambio de variable universal" es una herramienta potente para resolver integrales de funciones racionales de seno y coseno. Utilice el cambio $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ para hallar la siguiente primitiva:

Halle la primitiva de la función $f(x)$ que se describe a continuación, empleando transformaciones de productos en sumas:

Una vez obtenida la familia de primitivas, determine aquella cuya gráfica tiene un máximo relativo en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ con un valor de ordenada $y = 2$.

En el estudio de las oscilaciones de un puente colgante, la aceleración de un punto de la estructura viene dada por la función $a(t)$. Encuentre la función posición $s(t)$ sabiendo que la velocidad inicial es $v(0) = 0$, la posición inicial es $s(0) = 1$ y la aceleración es:

Ayuda: Deberá integrar dos veces. La primera integral le dará la velocidad y la segunda la posición. Tenga cuidado con los dominios de las funciones resultantes.

Calcule la integral indefinida de la función $f(x)$, que combina potencias de funciones trigonométricas inversas y funciones directas:

Pista: Descomponga la integral en suma de dos integrales más sencillas y analice si alguna de ellas puede resolverse como una integral de tipo "función por su derivada".

Halle la familia de primitivas de la siguiente función utilizando un cambio de variable adecuado para funciones trigonométricas pares en seno y coseno:

Sugerencia: Divida el numerador y el denominador por $\cos^2(x)$ para expresar la función en términos de $\tan(x)$ y su derivada $\sec^2(x)$.