Números reales, desigualdades y entornos

Clasifica los siguientes números reales indicando a cuáles de los conjuntos numéricos pertenecen: naturales ($\mathbb{N}$), enteros ($\mathbb{Z}$), racionales ($\mathbb{Q}$) o irracionales ($\mathbb{I}$). Razona brevemente tu respuesta para los números decimales y las raíces:

• $a) \ - \sqrt{16}$

• $b) \ \frac{15}{3}$

• $c) \ 2,131313...$

• $d) \ \sqrt{7}$

• $e) \ \frac{\pi}{2}$

• $f) \ -4,25$

Representa en la recta real los siguientes intervalos y semirrectas, y exprésalos utilizando la notación de conjuntos (usando desigualdades):

• $I_1 = (-3, 2]$

• $I_2 = [0, +\infty)$

• $I_3 = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 4\}$

Para determinar el dominio de una función futura, necesitamos resolver la siguiente inecuación de segundo grado:

a) Halla las raíces del polinomio asociado.

b) Determina el conjunto solución en forma de intervalo.

c) Justifica el resultado analizando el signo del polinomio en cada tramo de la recta real.

Dados los siguientes subconjuntos de la recta real:

$A = \{ x \in \mathbb{R} : |x - 2| < 3 \}$

$B = [ -1, 4 ]$

a) Expresa el conjunto $A$ mediante un intervalo.

b) Calcula y expresa mediante intervalos el conjunto resultante de la intersección $A \cap B$.

c) Calcula y expresa mediante intervalos el conjunto resultante de la unión $A \cup B$.

Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias y raíces, dejando el resultado en forma de potencia de exponente fraccionario:

• $a) \ \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}$

• $b) \ \frac{x^3}{\sqrt[4]{x}}$

• $c) \ (\sqrt[5]{x^2})^3$

Simplifica la siguiente expresión con radicales y potencias, expresando el resultado final como una única potencia de base $a$ y exponente racional:

Dato: Supón que $a > 0$.

El diseño de una pieza metálica triangular requiere que sus lados midan $\sqrt{18}$ pulgadas, $\sqrt{50}$ pulgadas y $\sqrt{98}$ pulgadas.

a) Simplifica cada uno de los radicales extrayendo factores.

b) Calcula el perímetro exacto de la pieza expresándolo como un único radical.

c) Si el material utilizado tiene un costo de $\$2,5$ por cada pulgada de perímetro, calcula el costo total aproximando a dos cifras decimales.

Utilizando las propiedades de los logaritmos, desarrolla la siguiente expresión en términos de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:

A continuación, si sabemos que $\log x = 0,5$, $\log y = 1,2$ y $\log z = 0,8$, calcula el valor numérico de $L$.

Calcula la distancia entre los siguientes pares de puntos de la recta real utilizando el concepto de valor absoluto:

• $a)$ $x = 5$ e $y = -2$

• $b)$ $x = -8$ e $y = -3$

• $c)$ $x = \frac{1}{2}$ e $y = \frac{3}{4}$

Halla los valores de $x$ que cumplen las siguientes igualdades y desigualdades con valor absoluto. Expresa el resultado como un intervalo:

• $a) \ |x| = 7$

• $b) \ |x - 2| = 5$

• $c) \ |x| < 3$

• $d) \ |x + 1| \leq 2$

En el proceso de fabricación de microchips para satélites, la longitud de una pista de cobre debe ser de $12,5$ micras. Por razones térmicas, se admite un margen de error (tolerancia) de modo que la diferencia entre la longitud real $x$ y la teórica sea, como máximo, de $0,05$ micras.

a) Expresa esta condición mediante una desigualdad con valor absoluto.

b) Determina el intervalo de valores aceptables para la longitud de la pista utilizando la notación de intervalos.

c) Representa gráficamente dicho intervalo en la recta real.

Un laboratorio de biotecnología mantiene una muestra de enzimas en una cámara climática. Para que las enzimas no se desnaturalicen, la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) debe satisfacer la siguiente condición:

Resuelve la inecuación y determina el rango de temperaturas (intervalo) en el que pueden trabajar los investigadores sin dañar la muestra.

En una tienda de componentes electrónicos, el precio de un modelo de dron de carreras fluctúa según la oferta del mercado. Se sabe que el precio $p$ en dólares cumple la condición $|p - 150| \leq 20$.

• $a)$ Determina el intervalo de precios posibles para este dron.

• $b)$ ¿Cuál es el precio mínimo y el precio máximo que podría pagar un usuario?

Halla el conjunto de valores reales que satisfacen la siguiente inecuación con doble valor absoluto:

Representa la solución en la recta real y exprésala mediante un único intervalo abierto.

Determina razonadamente el conjunto de valores de $x \in \mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente desigualdad simultánea, expresando el resultado final en forma de unión de intervalos:

Ten en cuenta las restricciones del dominio y analiza los diferentes casos según el signo del contenido del valor absoluto.

Expresa los siguientes entornos en forma de intervalo abierto y represéntalos gráficamente:

• $a) \ E(2, 3)$ (Entorno de centro 2 y radio 3)

• $b) \ E(-1, 0.5)$

• $c) \ E^*(0, 4)$ (Entorno reducido de centro 0 y radio 4)

En el diseño de una pieza de alta precisión para un motor aeroespacial, el radio de un cilindro, denotado por $x$, debe cumplir que su diferencia con el radio nominal de $5\text{ cm}$ sea tan pequeña que el error en el área de su sección transversal, $A(x) = \pi x^2$, no supere los $0,01\text{ cm}^2$.

Utilizando la definición formal de entorno reducido $E^*(a, \delta)$, encuentra el valor máximo de la tolerancia $\delta$ que puede tener el radio $x$ para asegurar que el área se mantenga en el entorno $E(25\pi, 0,01)$. Expresa el resultado de $\delta$ en función de $\pi$ de forma exacta.

Demuestra, utilizando exclusivamente la definición métrica de límite ($\varepsilon - \delta$), que:

Para ello, dado un $\varepsilon > 0$, encuentra una expresión para $\delta$ en función de $\varepsilon$ (puedes suponer una acotación inicial para $\delta$, por ejemplo $\delta \leq 1$).

Un sensor de temperatura en un servidor de datos indica que la CPU está a $42,6^{\circ}C$. Si el valor real medido con un termómetro de precisión es de $42,45^{\circ}C$, calcula:

• $a)$ El error absoluto de la medición del sensor.

• $b)$ El error relativo cometido, expresado en porcentaje.

En astrofísica, la distancia entre dos cuerpos celestes se mide a menudo en unidades astronómicas (UA). Supongamos que se han realizado dos mediciones de la distancia a un exoplaneta: $d_1 = 4,56 \cdot 10^8$ millas y $d_2 = 4,562 \cdot 10^8$ millas.

a) Calcula el error absoluto y el error relativo cometido si tomamos la primera medida como aproximación de la segunda.

b) Expresa el resultado del error relativo en porcentaje y comenta si la aproximación es aceptable para un entorno científico.

Dada la función $f(x) = \ln(|x^2 - 4| - 5)$, determina de forma exacta su dominio de definición. Expresa el resultado como unión de intervalos, prestando especial atención a los valores donde el argumento del logaritmo se anula o es negativo. Analiza la simetría de dicho dominio.

Considera la sucesión definida por el término general $a_n = \frac{3n^2 - 1}{n^2 + 2n}$.

1. a) Calcula el límite $L$ de la sucesión cuando $n \to \infty$.
2. b) Determina, a partir de qué valor del índice $n_0 \in \mathbb{N}$, todos los términos de la sucesión se encuentran a una distancia de $L$ menor que una milésima ($\varepsilon = 10^{-3}$).

Se define la función $f(x) = \sqrt{x^2 - kx + 9}$. Determina el conjunto de valores del parámetro real $k$ para los cuales el dominio de la función es toda la recta real $\mathbb{R}$.

Para el valor más grande de dicho conjunto, estudia si existe alguna asíntota horizontal u oblicua cuando $x \to +\infty$.

Un inversor analiza el crecimiento de un activo financiero cuyo valor en miles de dólares viene dado por la función $V(t) = \frac{4t^2 + k}{t^2 + 1}$, donde $t \geq 0$ es el tiempo en años.

1. a) Si se sabe que el valor inicial del activo fue de $1000$ dólares, determina el valor de la constante $k$.
2. b) ¿Cuál será el valor del activo a "muy largo plazo"? Justifica tu respuesta utilizando el concepto de límite en el infinito.
3. c) ¿En algún momento el valor del activo superará los $4000$ dólares? Demuéstralo analíticamente mediante una inecuación.