Emma está diseñando una rampa curva de pared para un parque de patinaje. El perfil lateral es la curva $y = x^2$ (con $x$ y $y$ en pies) desde $x = 0$ hasta $x = 2$, y necesita el área de ese perfil para pedir la pintura. No existe una fórmula de geometría para una figura con la parte superior curva. La integral definida se inventó justo para resolver este problema.
Rectángulos y la integral definida
Si no puedes hallar el área exacta de una figura curva, aproxímala con figuras que sí puedes medir. Divide $[a, b]$ en $n$ franjas angostas de igual ancho $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$. En cada franja, construye un rectángulo cuya altura sea el valor de $f$ en un punto de esa franja.
Mientras más rectángulos uses, más angostos se vuelven y menos espacio queda entre los escalones y la curva. El área total de los rectángulos se acerca cada vez más al área verdadera.
Ahora deja que el número de rectángulos crezca sin límite. Las sumas se estabilizan en un solo número, y ese número es la integral definida.
La integral también mide acumulación. Una razón de cambio por un lapso de tiempo es el área de un rectángulo en la gráfica de la razón. Si Marcus va en bicicleta a una velocidad constante de $15$ mph durante $2$ horas, su gráfica de velocidad es un rectángulo de $2$ horas de ancho y $15$ mph de alto, así que la distancia es $\int_0^2 15\,dt = 15 \cdot 2 = 30$ millas. Las unidades de la respuesta son (unidades de $f$) $\times$ (unidades de $x$): mph $\times$ horas = millas.
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En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se…
En física, el espacio recorrido por un objeto se puede calcular como el área bajo la curva en una gráfica de velocidad frente a tiempo. Si un patinador eléctrico se mueve con una velocidad constante de $v(t) = 12$ mph durante la primera media hora ($t = 0,5$ h), plantea y calcula la integral definida que representa la distancia recorrida en ese tiempo.
Este es el atajo que hace prácticas las integrales. Supón que $F'(x) = f(x)$. Entonces $F(b) - F(a)$ es el cambio neto de $F$ de $a$ a $b$, y $f$ es la razón a la que cambia $F$. Sumar (razón) $\times$ (ancho diminuto) da el cambio total, que es justo lo que hace la integral.
Estas son las antiderivadas que necesitas en esta página.
$f(x)$
Una antiderivada $F(x)$
$x^n$ con $n \ne -1$ (incluso $\sqrt{x} = x^{1/2}$ y $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$)
$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{x}$
$\ln\lvert x\rvert$
$e^x$
$e^x$
$\sin x$
$-\cos x$
$\cos x$
$\sin x$
$\ln x$
$x\ln x - x$
Siempre puedes comprobar una antiderivada derivándola. Por ejemplo, $\dfrac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$.
Las constantes salen multiplicando al frente, y las sumas se integran término por término.
Compruébalo con geometría. La región bajo $f(x) = 2x$ de $0$ a $3$ es un triángulo con base $3$ y altura $6$, así que su área es $\tfrac{1}{2}(3)(6) = 9$. La integral da $\big[x^2\big]_0^3 = 9$. Ambos métodos coinciden.
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Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en la gráfica, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas…
Considera la función lineal $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Se pide calcular el área de la región sombreada en la gráfica, limitada por la función, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 4$. Para ello:
Calcula el valor del área utilizando fórmulas geométricas elementales (área de un trapecio).
Calcula la integral definida $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ aplicando la regla de Barrow y comprueba que ambos resultados coinciden.
Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de: $$\int_{1}^{2} (3x^2…
Calcula el valor de la integral definida de la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ en el intervalo $[1, 2]$. Es decir, obtén el resultado de:
La integral se construye con sumas, así que hereda las reglas de las sumas. Estas reglas te permiten partir una integral difícil en piezas más fáciles.
Imagina el área bajo esta curva de $a$ a $b$. Si eliges cualquier punto $c$ entre ellos, la región se divide en dos piezas y las dos áreas suman el total. Esa es la regla de "sumar intervalos".
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Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema: Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$,…
Utiliza las propiedades de la integral definida para resolver el siguiente problema:
Sabiendo que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ y que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calcula razonadamente el valor de:
Una suma de Riemann no distingue "arriba" de "abajo". Si $f(x) < 0$, cada rectángulo tiene altura negativa, así que le agrega un número negativo a la suma.
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Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye una forma curva definida por $f(x) = \sqrt{x}$. Calcula el área de la parte del logotipo encerrada…
Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye una forma curva definida por $f(x) = \sqrt{x}$. Calcula el área de la parte del logotipo encerrada entre esta curva, el eje $OX$ y la recta vertical $x = 9$.
Un túnel de lavado para carros tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana…
Un túnel de lavado para carros tiene una estructura metálica cuya parte superior sigue la forma de la parábola $f(x) = -x^2 + 4$. Calcula el área de la superficie plana (frontal) limitada por la estructura de la parábola y el suelo (eje $OX$), sabiendo que los puntos de apoyo en el suelo son $x = -2$ y $x = 2$.
Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye la forma de una "ola". Esta forma viene definida por la función $f(x) = \sin(x) + 1$ en el intervalo…
Una empresa de diseño gráfico quiere crear un logotipo que incluye la forma de una "ola". Esta forma viene definida por la función $f(x) = \sin(x) + 1$ en el intervalo $[0, \pi]$. Calcula la superficie total de la figura limitada por la curva, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$.
Muchas veces un problema dice solo "la región limitada por la gráfica de $f$ y el eje $x$", sin rectas verticales. Entonces la curva y el eje encierran la región por sí solos, y los límites de integración son las intersecciones con el eje $x$.
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Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$). Pista: Primero debes encontrar los puntos de corte de…
Halla el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 9$ y el eje de abscisas ($OX$).
Pista: Primero debes encontrar los puntos de corte de la función con el eje $OX$ para determinar los límites de integración. Recuerda que, si la función es negativa en el intervalo, el área es el valor absoluto de la integral.
Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ y el eje de abscisas $OX$. Represente gráficamente la región antes de…
Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ y el eje de abscisas $OX$. Represente gráficamente la región antes de realizar los cálculos para identificar los puntos de intersección.
Un arquitecto está diseñando la entrada de un túnel cuya sección frontal se puede modelar mediante la función $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, donde $x$ e $y$ están…
Un arquitecto está diseñando la entrada de un túnel cuya sección frontal se puede modelar mediante la función $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, donde $x$ e $y$ están expresados en pies. El suelo del túnel coincide con el eje $OX$. Calcula el área de la sección transversal de la entrada del túnel.
Supón que $f$ es positiva en una parte de $[a, b]$ y negativa en otra. Entonces $\int_a^b f(x)\,dx$ mezcla contribuciones positivas y negativas, y pueden cancelarse. Ese número es el área neta (con signo). No es el área total de la región sombreada. Para obtener el área total, halla dónde $f$ cruza el eje y divide la integral ahí.
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Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$. Nota: Observa que la función corta…
Calcula el área total de la región comprendida entre la recta $f(x) = x - 2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = 3$.
Nota: Observa que la función corta al eje $OX$ en un punto dentro del intervalo dado, por lo que tendrás que descomponer el recinto en dos subáreas.
Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo…
Determina el área de la región comprendida entre la curva $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 2]$. Ten en cuenta que la función puede cambiar de signo dentro del intervalo, por lo que deberás descomponer la integral si es necesario.
El eje $x$ es solo la función $y = 0$. Cámbialo por cualquier otra curva y la misma idea funciona. Cada franja vertical delgada tiene altura (curva superior) $-$ (curva inferior) y ancho $\Delta x$.
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Calcula el área del recinto limitado por la curva $f(x) = \sqrt{x}$, el eje $OX$ y la recta $y = -x + 6$ en el primer cuadrante. Ayuda: identifica primero el punto de…
Calcula el área del recinto limitado por la curva $f(x) = \sqrt{x}$, el eje $OX$ y la recta $y = -x + 6$ en el primer cuadrante. Ayuda: identifica primero el punto de intersección entre la curva y la recta para determinar los límites de integración.
Halle el área de la región limitada por la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ y la recta horizontal que pasa por el máximo relativo de dicha función. Ayuda: Deberá primero…
Halle el área de la región limitada por la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ y la recta horizontal que pasa por el máximo relativo de dicha función.
Ayuda: Deberá primero localizar el máximo relativo mediante la derivada, hallar el valor de la ordenada en dicho punto y luego determinar los puntos de intersección entre la curva y la recta resultante.
Considere las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$. Sea $R$ la región limitada por las gráficas de ambas funciones y la recta vertical $x = k$ (donde $k > 0$).…
Considere las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$. Sea $R$ la región limitada por las gráficas de ambas funciones y la recta vertical $x = k$ (donde $k > 0$).
Determine el valor del parámetro positivo $k$ para que el área de dicha región sea exactamente de $4$ unidades cuadradas.
Valores absolutos y funciones definidas por partes
Para integrar $|g(x)|$, reescríbela sin las barras. Es igual a $g(x)$ donde $g \ge 0$ y a $-g(x)$ donde $g < 0$. Halla los ceros de $g$, divide el intervalo ahí e integra cada fórmula en su propio intervalo. Una función definida por partes funciona igual: usa cada fórmula solo en el intervalo donde se aplica.
Para una función definida por partes, como $f(x) = x$ en $[0, 2)$ y $f(x) = 4 - x$ en $[2, 4]$, integra cada fórmula en su propia pieza: $\int_0^2 x\,dx + \int_2^4 (4 - x)\,dx = 2 + 2 = 4$. Esto coincide con el triángulo de base $4$ y altura $2$.
Los valores absolutos también aparecen cuando una región está limitada por una recta y una curva de valor absoluto. Para hallar dónde se cortan, resuelve $|g(x)| = k$ como dos ecuaciones, $g(x) = k$ y $g(x) = -k$, y quédate solo con las soluciones que realmente tengan sentido.
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Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 1|$ y el eje de abscisas entre $x = 0$ y $x = 2$. Recuerda que la definición de valor absoluto implica…
Halla el área del recinto limitado por la función $f(x) = |x^2 - 1|$ y el eje de abscisas entre $x = 0$ y $x = 2$. Recuerda que la definición de valor absoluto implica que la función siempre es no negativa, pero su expresión analítica cambia en los puntos donde el argumento se anula.
Se define la función $f(x) = |x^2 - 4|$. Queremos estudiar la región del plano que queda "atrapada" entre esta curva y la recta horizontal $y = 5$. Calcule el área de la…
Se define la función $f(x) = |x^2 - 4|$. Queremos estudiar la región del plano que queda "atrapada" entre esta curva y la recta horizontal $y = 5$.
Calcule el área de la región limitada superiormente por la recta $y = 5$ e inferiormente por la gráfica de la función $f(x)$. Nota: Tenga en cuenta los puntos de intersección y la definición de la función en valor absoluto para dividir la integral si fuera necesario.
Regiones limitadas por rectas tangentes y normales
Muchos problemas usan una recta tangente o normal como una de las fronteras. Recuerda cómo obtener estas rectas en $x = a$.
Una vez que tengas la recta, trátala como una curva más. Haz un bosquejo de la región, decide qué función está arriba en cada pieza e integra superior menos inferior. La recta y la curva se tocan en el punto de tangencia, lo que a menudo te da uno de los límites. La figura de un ejercicio te dice qué fronteras encierran la región. Úsala si el enunciado no nombra una frontera izquierda o derecha.
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Se considera la función $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y la recta tangente a la curva en el punto de…
Se considera la función $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 3$.
Un arquitecto está diseñando el perfil lateral de un nuevo pabellón deportivo. La estructura principal sigue la curva de la función $f(x) = -x^2 + 6x$. Para asegurar la…
Un arquitecto está diseñando el perfil lateral de un nuevo pabellón deportivo. La estructura principal sigue la curva de la función $f(x) = -x^2 + 6x$. Para asegurar la estabilidad, se debe colocar un refuerzo metálico que sigue la línea tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 4$.
Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función $f(x)$, la recta tangente mencionada y el eje de ordenadas ($Eje\ OY$).
Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se pide: 1. Hallar la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f(x)$ en el punto $P(1, 0)$. 2. Calcular el área de la región plana…
Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se pide:
Hallar la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f(x)$ en el punto $P(1, 0)$.
Calcular el área de la región plana limitada por la curva $y = \ln(x)$, la recta normal hallada en la parte anterior y el eje de abscisas ($Eje\ OX$).
A veces te dan el área y debes hallar una incógnita: una constante $k$ en la función, un extremo $a$ o $k$, o una recta vertical $x = c$ que corta una región en piezas. El método es siempre el mismo. Escribe el área como una expresión en la incógnita, iguálala al valor dado y resuelve. Luego revisa la respuesta con las restricciones del problema, como $k > 0$ o $a > 1$.
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Halla el valor de un parámetro positivo $k$ sabiendo que el área de la región limitada por la parábola $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 3$ es exactamente…
Halla el valor de un parámetro positivo $k$ sabiendo que el área de la región limitada por la parábola $f(x) = kx^2$ y el eje $OX$ entre $x = 0$ y $x = 3$ es exactamente de $18$ unidades cuadradas.
Sea la región $A$ del primer cuadrante limitada por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = 9$. Existe una recta vertical de ecuación $x = c$ (con $0 < c < 3$) que divide…
Sea la región $A$ del primer cuadrante limitada por la parábola $y = x^2$ y la recta $y = 9$. Existe una recta vertical de ecuación $x = c$ (con $0 < c < 3$) que divide a la región $A$ en dos subregiones de áreas idénticas.
De vuelta al inicio: el perfil de la rampa de Emma es la región bajo $y = x^2$ de $x = 0$ a $x = 2$. Su área exacta es $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} \approx 2.67$ ft². Este valor queda entre nuestra suma por la izquierda ($1.75$) y por la derecha ($3.75$) de la primera sección.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado