Formas indeterminadas
Escribes $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ en tu calculadora gráfica y le pides el valor en $x=3$. Te responde ERROR, porque intenta calcular $\frac00$. Entonces, ¿existe el límite cuando $x \to 3$? ¿Es $0$? ¿No está definido? En esta página aprenderás a distinguirlo y a hallar la respuesta cuando sustituir no te da nada útil.
Sustitución directa: qué puede pasar
En el examen AP, el primer paso para cualquier límite es siempre el mismo: sustituir el valor ($x=a$, o pensar en $x\to\pm\infty$) y ver qué resulta. Solo hay tres tipos de resultado.
| La sustitución da | Qué significa |
|---|---|
| Un número | Ese número es el límite (la función es continua ahí). |
| $\dfrac{k}{0}$ con $k\neq 0$ | No es indeterminado. La función no está acotada; revisa los límites laterales para el signo. |
| $\dfrac00,\ \dfrac{\infty}{\infty},\ \infty-\infty,\ 1^\infty$ | Indeterminado. No puedes concluir nada hasta reescribir la expresión. |
El caso $\dfrac{k}{0}$ y los límites laterales
Cuando el numerador tiende a un número distinto de cero y el denominador tiende a $0$, la función se dispara. El signo depende del lado desde el que te acerques.
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina, de manera intuitiva, el valor de los límites indicados. Si algún límite no existe o es infinito,…
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina, de manera intuitiva, el valor de los límites indicados. Si algún límite no existe o es infinito, especifícalo claramente.
- a) $\lim_{x \to -2} f(x)$
- b) $\lim_{x \to 0} f(x)$
- c) $\lim_{x \to 3} f(x)$
- d) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x-4}$, estudia su comportamiento en las proximidades de su asíntota vertical calculando los límites laterales: a)…
Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x-4}$, estudia su comportamiento en las proximidades de su asíntota vertical calculando los límites laterales:
- a) $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$
- b) $\lim_{x \to 4^+} \frac{2}{x-4}$
Indica razonadamente si existe el límite global en $x = 4$.
$\frac00$ por factorización y denominadores comunes
Si la sustitución directa da $\frac00$ en una expresión racional, el numerador y el denominador comparten un factor $(x-a)$. Factoriza, cancela y vuelve a sustituir.
¿Por qué es legal cancelar? Un límite solo mira $x$ cerca de $a$, nunca en $x=a$. Para $x\neq a$ el factor $\frac{x-a}{x-a}$ vale exactamente $1$.
La misma idea funciona cuando la forma indeterminada es $\infty-\infty$ en un punto finito: combina las fracciones en una sola y luego factoriza.
Calcula el límite de la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ cuando $x$ tiende a $3$. Ayuda: Observa que al sustituir directamente obtenemos una indeterminación del…
Calcula el límite de la función $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ cuando $x$ tiende a $3$.
Ayuda: Observa que al sustituir directamente obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{0}{0}\right]$. Prueba a factorizar el numerador para simplificar la expresión.
Resuelve la siguiente indeterminación de tipo $\infty - \infty$. Para ello, realiza la operación algebraica previa y simplifica la expresión resultante: $$\lim_{x \to 1}…
Resuelve la siguiente indeterminación de tipo $\infty - \infty$. Para ello, realiza la operación algebraica previa y simplifica la expresión resultante:
$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{6}{x^2 - 1} - \frac{3}{x - 1} \right)$$$\frac00$ con raíces cuadradas: conjugados
Cuando aparece una raíz cuadrada en un límite $\frac00$, factorizar no funciona. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado (cambia el signo entre los dos términos). Se usa $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$, que elimina la raíz y normalmente crea el factor $(x-a)$ que necesitas cancelar.
Cuando hay raíces tanto en el numerador como en el denominador, multiplica por el conjugado de cada una (algunos libros lo llaman doble conjugado). Deja los productos factorizados para ver qué se cancela.
Aquí tienes una versión con un contexto real. La presión en un ducto de ventilación es $P(v)=\dfrac{v^2-9}{\sqrt{v^2+7}-4}$ pascales, donde $v$ es la velocidad del aire en ft/s. ¿Qué pasa cuando $v\to3$?
Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ mediante el uso de la técnica del conjugado: $$\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{\sqrt{x+5}…
Calcula el siguiente límite resolviendo la indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ mediante el uso de la técnica del conjugado:
$$\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{\sqrt{x+5} - 3}$$Resuelve el siguiente límite utilizando la técnica del doble conjugado para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} -…
Resuelve el siguiente límite utilizando la técnica del doble conjugado para resolver la indeterminación $\frac{0}{0}$:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt{4+x} - 2}$$Un equipo de ingenieros aeroespaciales estudia la presión $P$ (en pascales) en el interior de un conducto de ventilación. La presión depende de la velocidad del flujo de…
Un equipo de ingenieros aeroespaciales estudia la presión $P$ (en pascales) en el interior de un conducto de ventilación. La presión depende de la velocidad del flujo de aire $v$ según la fórmula:
$$P(v) = \frac{v^2 - 9}{\sqrt{v^2 + 7} - 4}$$Estudia el comportamiento de la presión cuando la velocidad $v$ se aproxima a $3$ pies/s. En caso de que el límite sea indeterminado, resuélvelo e indica si la presión tiende a un valor estable.
Funciones definidas por partes y límites laterales
Muchos problemas $\frac00$ vienen con una función definida por partes, o con valores absolutos, una exponencial como $e^{1/(x-a)}$, o un seno. En todos estos casos, calcula por separado los límites por la izquierda y por la derecha.
Esta es la gráfica de $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}&\text{si } x<2\\[2mm] ax-1&\text{si } x\ge2\end{cases}$ dibujada con $a=1$.
A la izquierda, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ (con un hueco en $x=2$), que se acerca a $4$. A la derecha, con $a=1$, la recta $x-1$ empieza en la altura $1$. Los lados no coinciden (un salto), así que no hay límite en $x=2$. Para que las partes se unan, cambia $a$ de modo que la parte derecha también llegue a $4$.
El siguiente ejemplo añade una raíz cuadrada y un seno, y te pide clasificar la discontinuidad.
El siguiente combina un valor absoluto con una exponencial.
Dada la siguiente gráfica de la función $f(x)$, analiza visualmente y calcula de forma analítica los límites laterales en los puntos de discontinuidad para determinar si…
Dada la siguiente gráfica de la función $f(x)$, analiza visualmente y calcula de forma analítica los límites laterales en los puntos de discontinuidad para determinar si existe el límite global en $x = 2$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x < 2 \\ ax - 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Calcula el valor de $a$ para que el límite en $x = 2$ sea único y la función no presente un salto.
Sea la función definida por partes: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x - \sqrt{x}} & \text{si } x > 1 \\ \frac{a \cdot \sin(x-1)}{x^2 - 1} & \text{si } x < 1…
Sea la función definida por partes:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x - \sqrt{x}} & \text{si } x > 1 \\ \frac{a \cdot \sin(x-1)}{x^2 - 1} & \text{si } x < 1 \end{cases}$$Halla los valores de $a$ y $k$ para que existan los límites laterales en $x=1$ y estos sean iguales a $2$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en $x=1$ si no definimos $f(1)$?
Dada la función $g(x) = \frac{|x-1|}{x^2-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$, analiza la existencia de los límites laterales cuando $x \to 1$. Identifica las indeterminaciones…
Dada la función $g(x) = \frac{|x-1|}{x^2-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$, analiza la existencia de los límites laterales cuando $x \to 1$. Identifica las indeterminaciones que aparecen en cada lado y clasifica el tipo de discontinuidad en dicho punto.
$\frac{\infty}{\infty}$: polinomios y funciones racionales
Cuando $x\to\pm\infty$, un polinomio se comporta como su término principal. En un cociente, divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia de $x$ del denominador: así todos los términos de menor grado tienden a $0$.
Los límites al infinito aplicados funcionan igual. Una población de bacterias $P(t)=\dfrac{20t+50}{t+2}$ (en millones, $t$ en horas) tiene grados iguales, así que $\lim_{t\to+\infty}P(t)=\dfrac{20}{1}=20$ millones: el valor a largo plazo de la población.
Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas cuando la variable $x$ tiende a infinito. Recuerda identificar el término dominante en cada caso: a)…
Calcula los siguientes límites de funciones polinómicas cuando la variable $x$ tiende a infinito. Recuerda identificar el término dominante en cada caso:
- a) $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 - 1)$
- b) $\lim_{x \to -\infty} (x^4 - 100x^2)$
- c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5}{10}$
Resuelve la indeterminación de tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ en los siguientes límites de funciones racionales, comparando los grados del numerador y del…
Resuelve la indeterminación de tipo $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ en los siguientes límites de funciones racionales, comparando los grados del numerador y del denominador:
- a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 1}$
- b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 5}{x^2 - 3}$
- c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 10x}$
Un equipo de científicos está monitoreando el crecimiento de una población de bacterias en un laboratorio. La población (en millones) sigue el modelo dado por la…
Un equipo de científicos está monitoreando el crecimiento de una población de bacterias en un laboratorio. La población (en millones) sigue el modelo dado por la función:
$$P(t) = \frac{20t + 50}{t + 2}$$donde $t$ es el tiempo en horas desde el inicio del experimento.
¿Cuál será la población de bacterias si el experimento se prolongase indefinidamente? Calcula para ello $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.
$\frac{\infty}{\infty}$ con radicales
La raíz de un polinomio también tiene un "comportamiento principal", pero ten cuidado con los signos:
-
Raíz cuadrada: $\sqrt{ax^2+\dots}\approx\sqrt a\,|x|$, porque $\sqrt{x^2}=|x|$. Para $x\to+\infty$, $|x|=x$. Para $x\to-\infty$, $|x|=-x$.
-
Raíces impares (raíces cúbicas): $\sqrt[3]{x^3+\dots}\approx x$ sin valor absoluto, ya que $\sqrt[3]{x^3}=x$ para todo $x$.
Para manejarlo, factoriza la mayor potencia dentro de la raíz, o divide todo entre $x$ (cuidando $|x|$).
Cuando el numerador tiene una raíz más un término común y el denominador tiene una raíz cúbica, divide todo entre $x$ y trata cada parte por separado.
Determina el valor del límite al infinito analizando el grado de los términos dominantes en el numerador y el denominador. Ten especial cuidado con las potencias dentro…
Determina el valor del límite al infinito analizando el grado de los términos dominantes en el numerador y el denominador. Ten especial cuidado con las potencias dentro de las raíces:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 2x - 1} + 2x}{\sqrt[3]{x^3 + 5x^2}}$$Comparar crecimientos: la jerarquía de los infinitos
Cuando un límite mezcla logaritmos, potencias y exponenciales, no hace falta dividir entre nada: basta ver qué término de cada parte crece más rápido.
En el estudio de algoritmos informáticos, es crucial saber qué función crece más rápido. Basándote en la jerarquía de infinitos, asigna el valor de los siguientes…
En el estudio de algoritmos informáticos, es crucial saber qué función crece más rápido. Basándote en la jerarquía de infinitos, asigna el valor de los siguientes límites ($0$, $+\infty$ o $-\infty$):
- a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$
- b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$
- c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{\ln(x)}$
Utiliza la comparación de órdenes de infinitos para resolver los siguientes límites sin necesidad de realizar operaciones extensas. Justifica tu respuesta indicando qué…
Utiliza la comparación de órdenes de infinitos para resolver los siguientes límites sin necesidad de realizar operaciones extensas. Justifica tu respuesta indicando qué función "domina" a la otra:
- a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{100x^6 - \ln(x)}$
- b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^7 + 1}}{x^3 \cdot \ln(x)}$
Calcula el valor del siguiente límite analizando la jerarquía de los infinitos involucrados. Debes justificar razonadamente qué término domina en el numerador y en el…
Calcula el valor del siguiente límite analizando la jerarquía de los infinitos involucrados. Debes justificar razonadamente qué término domina en el numerador y en el denominador antes de dar el resultado final:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{3 \cdot e^{2x} - \ln(x^5 + 1) + x^{10}}{2 \cdot 5^x + \sqrt{x^{20} - 3x^2} - e^x}$$$\infty-\infty$ en el infinito
Se restan dos cantidades enormes del mismo signo. Elimina la resta:
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Con raíces cuadradas: multiplica por el conjugado y luego divide entre la mayor potencia de $x$.
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Con raíces cúbicas: usa $A-B=\dfrac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2}$, que elimina la raíz cúbica en el numerador.
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Con raíces de distinto índice: suma y resta un término intermedio (normalmente $x$) para poder separar el límite en dos partes, cada una con un solo tipo de raíz.
Calcula el valor de la siguiente expresión que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ con raíces de distinto orden: $$\lim_{x \to +\infty} \left[…
Calcula el valor de la siguiente expresión que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ con raíces de distinto orden:
$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \sqrt{x^2 + 4x} - \sqrt[3]{x^3 - 6x^2} \right]$$Pista: Suma y resta un término intermedio adecuado para separar el límite en dos partes manejables.
El número $e$ y $1^\infty$
Aquí la base $\to1$ y el exponente $\to\pm\infty$. ¿Por qué no es simplemente $1$? Prueba $\left(1+\tfrac1{1000}\right)^{1000}\approx2.7169$: la base es casi $1$, pero se multiplica por sí misma $1000$ veces. La competencia entre las dos tendencias da el número $e$.
Cuando interviene un seno, como en $\displaystyle\lim_{x\to0}(1+\sin x)^{2/x}$, calcula $L=\lim\dfrac2x\cdot\sin x=2\cdot1=2$ usando $\frac{\sin x}{x}\to1$. El límite es $e^2$.
Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a la indeterminación del tipo $[1^\infty]$ utilizando la fórmula abreviada del número $e$: $$\lim_{x \to +\infty}…
Calcula el valor del siguiente límite que da lugar a la indeterminación del tipo $[1^\infty]$ utilizando la fórmula abreviada del número $e$:
$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{3x}$$Calcula el valor del siguiente límite exponencial que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Expresa el resultado en función del número $e$: $$\lim_{x \to…
Calcula el valor del siguiente límite exponencial que da lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Expresa el resultado en función del número $e$:
$$\lim_{x \to 0} (1 + \sin(x))^{\frac{2}{x}}$$$1^\infty$ con bases racionales
Problemas como el crecimiento de usuarios o la intensidad de una señal suelen esconder un $1^\infty$ en una fracción elevada a una potencia de $t$. Primero comprueba que la base tiende a $1$ (mismo grado, mismo coeficiente principal). Luego calcula $L$.
La base también puede tener grado $2$. Entonces $g-1$ es un cociente de polinomios y $L$ es el límite de una función racional.
La gráfica de arriba es $U(t)=\left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, un modelo para los usuarios de una nueva aplicación en millones. Aquí $g-1=\dfrac{4}{2t-1}$ y $L=\lim\dfrac{4(t+1)}{2t-1}=2$. La curva sube y se estabiliza cerca de $e^2\approx7.39$ millones de usuarios, justo lo que predice $L$.
En el desarrollo de una nueva red social, el número de usuarios activos (en millones) sigue la función $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, donde $t$ es el…
En el desarrollo de una nueva red social, el número de usuarios activos (en millones) sigue la función $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Calcula a qué valor tiende el número de usuarios cuando el tiempo crece indefinidamente ($t \to +\infty$).
En el diseño de una nueva antena de telecomunicaciones, la intensidad de la señal $I$ en función de la distancia $d$ al repetidor viene dada por la expresión: $$I(d) =…
En el diseño de una nueva antena de telecomunicaciones, la intensidad de la señal $I$ en función de la distancia $d$ al repetidor viene dada por la expresión:
$$I(d) = \left( \frac{d^2 + 5d}{d^2 - 2d + 1} \right)^{2d + 3}$$Calcula la intensidad límite de la señal cuando la distancia $d$ tiende a infinito (indeterminación del tipo $1^\infty$).
Hallar parámetros para que un límite funcione
A veces las incógnitas están dentro del límite: "Halla $a$ y $b$ para que el límite sea finito, o para que valga $4$". La idea es descubrir qué debe cumplirse para que el límite sea finito y luego usar el resultado.
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En un punto finito con un denominador que tiende a $0$: el numerador también debe tender a $0$. Si no, obtendrías $\frac{k}{0}$ y el límite sería infinito.
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En el infinito con $\infty-\infty$: usa el conjugado y observa cómo se comportan los términos principales.
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"Finito y distinto de cero": después de hallar la familia de soluciones, comprueba que ninguna haga que el límite valga $0$.
La gráfica muestra $\sqrt{x^2+ax+1}-\sqrt{x^2+bx}$. Multiplica por el conjugado: el numerador es $(a-b)x+1$ y el denominador se comporta como $2x$, así que la curva se estabiliza en $\dfrac{a-b}{2}$. Mueve los controles deslizantes: para que el límite sea $4$ necesitas $a-b=8$, como en la posición inicial $a=8$, $b=0$.
Halla el valor de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea finito y valga $4$: $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + ax + 1} - \sqrt{x^2 + bx}$$
Halla el valor de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea finito y valga $4$:
$$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + ax + 1} - \sqrt{x^2 + bx}$$Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea un número real finito y distinto de cero. Una vez hallados, calcula el valor de…
Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que el siguiente límite sea un número real finito y distinto de cero. Una vez hallados, calcula el valor de dicho límite:
$$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + ax + b} - 2}{x^2 - 5x + 6}$$