Razón de cambio y la derivada en un punto
En un viaje en carro de Houston a Dallas, la familia de Marcus recorre unas 240 millas en 4 horas, un promedio de 60 mph. Pero el radar de un policía estatal no mide promedios. Lee tu velocidad en un solo instante, y un instante dura cero segundos. ¿Cómo puede tener sentido la "velocidad en un instante"? Esa pregunta es el punto de partida del cálculo, y al final de esta página tendrás la respuesta.
Razón de cambio promedio
La velocidad promedio es la distancia dividida entre el tiempo. La misma idea sirve para cualquier función: ¿cuánto cambió la salida por cada unidad de cambio en la entrada?
Cuando $f$ es una función de posición, la RCP es la velocidad promedio. Sus unidades son siempre (unidades de $f$) por (unidad de $x$): pies por segundo, seguidores por día, etcétera.
Un atleta de 12.º grado entrena para los 100 metros planos. La distancia recorrida (en pies) en función del tiempo (en segundos) viene dada por la expresión…
Un atleta de 12.º grado entrena para los 100 metros planos. La distancia recorrida (en pies) en función del tiempo (en segundos) viene dada por la expresión $s(t) = 0.5t^2 + 2t$.
Calcula la velocidad media del atleta entre los instantes $t = 2$ s y $t = 6$ s. ¿Con qué concepto matemático coincide este valor?
Calcula la tasa de variación media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el intervalo $[1, 4]$. Explica gráficamente qué representa el valor obtenido en relación…
Calcula la tasa de variación media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el intervalo $[1, 4]$. Explica gráficamente qué representa el valor obtenido en relación con la recta secante que pasa por los puntos de la curva correspondientes a los extremos de dicho intervalo.
El crecimiento de seguidores de una nueva cuenta de una conocida red social sigue la función $S(t) = t^2 + 4t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días desde su creación y…
El crecimiento de seguidores de una nueva cuenta de una conocida red social sigue la función $S(t) = t^2 + 4t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días desde su creación y $S(t)$ es el número de seguidores.
- a) Calcula la tasa de variación media (TVM) del número de seguidores en los intervalos $[0, 5]$ y $[5, 10]$.
- b) Explica el significado de los resultados obtenidos en el contexto del crecimiento de la cuenta. ¿En qué intervalo ha sido más rápido el crecimiento?
La derivada en un punto
La RCP describe un intervalo completo. Para describir un instante, reduce el intervalo. Fija el punto $A$ y desliza $B$ hacia él. Las rectas secantes se acercan a una sola recta, la recta tangente, y sus pendientes se acercan a un número. Mueve $h$ hacia $0$ abajo: la secante que pasa por $x = 1$ y $x = 1 + h$ en $y = x^2$ tiene pendiente $2 + h$.
Las dos formas son la misma definición con $x = a + h$. Elige una y quédate con ella hasta el final del problema.
El cociente de diferencias $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ da $\dfrac{0}{0}$ si sustituyes $h = 0$ de inmediato. Debes simplificar primero y después tomar el límite. Tres movimientos algebraicos cubren casi todos los casos:
Dada la función $f(x) = 3x^2 - 1$, utiliza la definición de derivada en un punto mediante el límite: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ para hallar el…
Dada la función $f(x) = 3x^2 - 1$, utiliza la definición de derivada en un punto mediante el límite:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$para hallar el valor de la derivada en el punto de abscisa $x = 2$.
Determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{x+1}$ en el punto donde $x = 3$, aplicando el límite de la tasa de variación…
Determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{x+1}$ en el punto donde $x = 3$, aplicando el límite de la tasa de variación instantánea:
$$f'(3) = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3}$$Calcula la derivada de la función $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ en el punto de abscisa $x = 2$ utilizando estrictamente la definición de derivada mediante el límite: $$f'(a)…
Calcula la derivada de la función $f(x) = \dfrac{3}{x + 1}$ en el punto de abscisa $x = 2$ utilizando estrictamente la definición de derivada mediante el límite:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$Límites disfrazados y la función derivada
Muchos límites son una derivada con disfraz. Si ves $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ con una función concreta escondida, puedes identificar $f$ y $a$ y usar una derivada.
Si reemplazas el número fijo $a$ por una variable $x$, el mismo límite define la función derivada $f'(x)$, que da la pendiente en cada punto.
Cuando un problema no dice "usa la definición", puedes usar las reglas estándar. Se desarrollan en las próximas secciones, pero esto es lo que necesitas:
Considera la función racional $f(x) = \frac{2}{x}$. Demuestra, aplicando la definición de derivada como un límite, que el valor de la tasa de variación instantánea en…
Considera la función racional $f(x) = \frac{2}{x}$.
Demuestra, aplicando la definición de derivada como un límite, que el valor de la tasa de variación instantánea en $x = 1$ es $f'(1) = -2$. Interpreta el signo del resultado obtenido.
Calcula, haciendo uso exclusivo de la definición de derivada como límite del cociente incremental, el valor del siguiente límite: $$\lim_{h \to 0}…
Calcula, haciendo uso exclusivo de la definición de derivada como límite del cociente incremental, el valor del siguiente límite:
$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + h\right) - \frac{1}{2}}{h}$$Indicación: Identifica este límite con la derivada de una función conocida en un punto determinado y resuelve mediante las reglas de derivación habituales para comprobar tu resultado.
Sea la función $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Demuestra, aplicando la definición de derivada, que su función derivada es $f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$ para cualquier valor de…
Sea la función $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Demuestra, aplicando la definición de derivada, que su función derivada es $f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$ para cualquier valor de $x$ perteneciente a su dominio.
A partir de este resultado, determina las coordenadas de los puntos de la gráfica donde la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante ($y = -x$).
Rectas tangentes y normales
Como $f'(a)$ es la pendiente de la tangente, ya tienes todo lo necesario para su ecuación: un punto y una pendiente.
Mueve $a$ y observa cómo gira la tangente a $y = x^2$:
Se considera la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente tiene una pendiente de $m = 2$. Una vez hallado el punto,…
Se considera la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente tiene una pendiente de $m = 2$. Una vez hallado el punto, escribe la ecuación completa de dicha recta tangente en forma punto-pendiente.
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ en el punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas ($OY$).
Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ en el punto donde la gráfica corta al eje de ordenadas ($OY$).
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $y = x^2 - 4x + 5$ que pasan por el punto exterior $A(0, 0)$ (la figura muestra solo una de ellas). Nota: Ten en…
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva $y = x^2 - 4x + 5$ que pasan por el punto exterior $A(0, 0)$ (la figura muestra solo una de ellas).
Nota: Ten en cuenta que el punto A no pertenece a la curva. Deberás plantear la pendiente de la tangente en un punto genérico $(a, f(a))$ igualándola a la pendiente de la recta que une dicho punto con el origen.
Interpretar derivadas: gráficas, unidades y signo
Una derivada solo es útil si puedes decir qué significa. Hay tres cosas que revisar: el signo, el tamaño (inclinación) y las unidades.
Para comparar pendientes en una gráfica, compara la inclinación de las rectas. En esta gráfica, que sube curvándose hacia abajo, la tangente en $x = 1$ es más inclinada que la secante en $[1, 3]$, y la secante es más inclinada que la tangente en $x = 3$.
Así que en esta gráfica, $f'(3) < \text{RCP}[1,3] < f'(1)$. La curva se aplana hacia la derecha, de modo que la inclinación promedio en $[1,3]$ queda entre las dos inclinaciones instantáneas.
En las respuestas al estilo AP, escribe una oración completa: la cantidad, el instante, "aumentando/disminuyendo", el número y las unidades.
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$. Sin realizar cálculos, ordena de menor a mayor los siguientes valores justificando tu respuesta basándote en la…
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$. Sin realizar cálculos, ordena de menor a mayor los siguientes valores justificando tu respuesta basándote en la inclinación de las rectas:
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La tasa de variación media en el intervalo $[1, 3]$.
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La derivada de la función en el punto $x = 1$.
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La derivada de la función en el punto $x = 3$.
La temperatura de una placa metálica (en grados Fahrenheit) varía con el tiempo $t$ (en minutos) siguiendo el modelo $T(t) = 20 + 4t - 0.1t^2$. Calcula la tasa de…
La temperatura de una placa metálica (en grados Fahrenheit) varía con el tiempo $t$ (en minutos) siguiendo el modelo $T(t) = 20 + 4t - 0.1t^2$.
Calcula la tasa de variación instantánea de la temperatura en el instante $t = 10$ minutos. Indica las unidades de medida del resultado y explica si en ese momento la placa se está calentando o enfriando.
La temperatura de un componente electrónico durante las primeras horas de funcionamiento sigue la función $T(t) = 20 + t \cdot e^{-t}$, donde $T$ es la temperatura en…
La temperatura de un componente electrónico durante las primeras horas de funcionamiento sigue la función $T(t) = 20 + t \cdot e^{-t}$, donde $T$ es la temperatura en grados Fahrenheit y $t$ es el tiempo en horas.
Calcula la tasa de variación instantánea de la temperatura cuando ha transcurrido exactamente 1 hora ($t = 1$). ¿La temperatura está aumentando, disminuyendo o ninguna de las dos cosas en ese instante? Justifica tu respuesta basándote en el signo de la derivada.
RCP y RCI juntas
A menudo un problema pone ambas ideas juntas: halla la RCP en un intervalo y luego encuentra un instante donde la RCI sea igual a ella. De vuelta en la carretera, el promedio de 60 mph de Marcus en todo el viaje esconde momentos más rápidos y más lentos que 60. Una pregunta natural es si al menos un instante coincidió con el promedio.
Para una función derivable en un intervalo, la respuesta es sí. Verás esta garantía más adelante, como el teorema del valor medio. Por ahora el método es directo: plantea $f'(c) = \text{RCP}$, resuelve y verifica que $c$ esté dentro del intervalo.
El número de seguidores de un nuevo canal de YouTube evoluciona según la función $S(t) = t^2 + 10t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días desde su creación. a) Calcula…
El número de seguidores de un nuevo canal de YouTube evoluciona según la función $S(t) = t^2 + 10t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días desde su creación.
- a) Calcula la tasa de variación media de seguidores entre el día $t = 0$ y el día $t = 10$.
- b) ¿Cuál es el crecimiento instantáneo de seguidores exactamente en el día $t = 5$? (Calcula $S'(5)$ usando la definición).
Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$, se pide: a) Calcular la tasa de variación media en el intervalo $[2, 4]$. b) Determinar si existe algún punto $c$ dentro del…
Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$, se pide:
- a) Calcular la tasa de variación media en el intervalo $[2, 4]$.
- b) Determinar si existe algún punto $c$ dentro del intervalo $(2, 4)$ tal que la derivada instantánea $f'(c)$ coincida con la TVM calculada en el apartado anterior.
Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria de aproximación cuya altura $h$ (en pies) respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la función: $$h(t) =…
Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria de aproximación cuya altura $h$ (en pies) respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la función:
$$h(t) = \sqrt{t^2 + 144} - 10$$Se pide:
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Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la altura en el intervalo $[0, 5]$. Explica su significado físico.
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Utilizando la definición de derivada en un punto, obtén la velocidad instantánea de ascenso en el instante $t = 5$ segundos.
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Comprueba si existe algún instante $t > 0$ en el que la velocidad instantánea coincida exactamente con la TVM calculada en el primer apartado.
Continuidad, picos y tangentes verticales
El límite que define $f'(a)$ se acerca desde ambos lados de $a$. El límite existe solo si los límites por la izquierda y por la derecha coinciden. Eso lleva a las derivadas laterales:
$$f'(a^-) = \lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \qquad f'(a^+) = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$Una función continua puede dejar de ser derivable de tres maneras principales: un pico (corner), una tangente vertical o una cúspide. (Una discontinuidad de salto falla antes, porque ni siquiera es continua.)
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Pico: las pendientes laterales son números finitos distintos.
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Tangente vertical: el cociente tiende a $+\infty$ (o $-\infty$) desde ambos lados, así que el límite no es finito. La recta tangente existe, pero es la recta vertical $x = a$.
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Cúspide: las pendientes laterales van a $+\infty$ de un lado y a $-\infty$ del otro, así que la gráfica forma una punta afilada.
Dada la función $f(x) = x \cdot |x - 3|$, estudia su derivabilidad en el punto $x = 3$. Para ello: 1. Expresa la función como una función definida a trozos. 2. Calcula…
Dada la función $f(x) = x \cdot |x - 3|$, estudia su derivabilidad en el punto $x = 3$.
Para ello:
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Expresa la función como una función definida a trozos.
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Calcula las derivadas laterales $f'(3^-)$ y $f'(3^+)$ mediante el límite del cociente incremental.
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Interpreta geométricamente el resultado obtenido: ¿presenta la gráfica un punto anguloso o una tangente suave en $x=3$? Justifica tu respuesta.
Considera la función $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$. 1. Estudia la continuidad de la función en el origen ($x=0$). 2. Analiza la derivabilidad en $x=0$ calculando el límite del…
Considera la función $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$.
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Estudia la continuidad de la función en el origen ($x=0$).
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Analiza la derivabilidad en $x=0$ calculando el límite del cociente incremental.
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Si el límite tiende a infinito, ¿qué tipo de recta tangente presenta la función en ese punto? Describe el comportamiento visual de la gráfica en las proximidades del origen.
Funciones por partes y parámetros
Cuando una función cambia de fórmula en $x = a$, normalmente necesitas uno o dos parámetros para que sea derivable allí. Deben cumplirse dos condiciones por separado:
Dada la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$ Calcula los valores de $a$ y $b$…
Dada la función definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 1$. Recuerda que para que una función sea derivable, primero debe ser continua.
Se considera la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x-2} + b \cdot x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{x^2 - 4}{x-2} + \ln(x-1) & \text{si } x > 2…
Se considera la función definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x-2} + b \cdot x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{x^2 - 4}{x-2} + \ln(x-1) & \text{si } x > 2 \end{cases}$$Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 2$. Para ello, deberás asegurar primero la continuidad y, posteriormente, la existencia de las derivadas laterales finitas e iguales en dicho punto utilizando la definición de derivada.
De vuelta con el policía: la posición de tu carro en el tiempo es una función $s(t)$. El promedio de 60 mph de Marcus es $\text{RCP}[0,4]$. El radar lee $s'(t)$ en un instante, el límite de las velocidades promedio en intervalos cada vez más cortos. Ese límite es lo que da sentido a la "velocidad en un instante".