"Trazado de curvas: análisis de una función"

Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$, realice un estudio previo de sus elementos básicos determinando:

1. El dominio de definición de la función.

2. Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

3. La existencia de simetrías (indique si es par, impar o no presenta simetría).

Determina el periodo de la función trigonométrica $f(x) = \sin(2x)$. A continuación, indique razonadamente si la función presenta algún tipo de simetría respecto al origen o al eje de ordenadas.

Dada la función $f(x) = \frac{2x}{x-1}$, determina:

1. Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.

2. La posición de la curva respecto a dichas asíntotas mediante el estudio de los límites laterales y en el infinito.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$, realice un estudio de sus ramas infinitas:

1. Compruebe si tiene asíntotas verticales.

2. Compruebe si tiene asíntotas horizontales.

3. En caso de no tener asíntota horizontal, averigüe si tiene una asíntota oblicua y halla su ecuación.

Determina todas las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) de la función $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$. En caso de que exista una asíntota oblicua, calcule su ecuación de la forma $y = mx + n$ y estudie la posición de la curva respecto a dicha asíntota cuando $x \to \infty$.

Un equipo de ingenieros está monitoreando la temperatura de un componente electrónico. La evolución de la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) respecto al tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la función:

$T(t) = \frac{40t + 100}{t + 2}$ con $t \geq 0$

Se pide:

1. Hallar la temperatura inicial del componente ($t=0$).

2. Determinar la asíntota horizontal de la función e interpretar su significado en el contexto del problema (temperatura a largo plazo).

Un equipo de ingenieros monitorea el nivel de carga de una nueva batería de litio mediante la función $B(t) = \frac{100t}{t^2 + 9} + 10$, donde $B$ es el porcentaje de carga y $t$ es el tiempo en horas ($t \ge 0$).

1. a) ¿En qué instante alcanza la batería su nivel máximo de carga?
2. b) ¿A qué valor tiende la carga de la batería si se deja conectada indefinidamente? Justifique la respuesta mediante el cálculo de límites.

Estudie la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y calcule los extremos relativos (máximos y mínimos) de la siguiente función polinómica:

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Realice un estudio completo de la monotonía y los extremos relativos de la función racional $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 1}$. Determina con precisión los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de sus máximos y mínimos si los tuviera.

Analice la curvatura de la función $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Para ello:

1. Halle la segunda derivada $f''(x)$.

2. Determina los intervalos de concavidad ($\cup$) y convexidad ($\cap$).

3. Encuentre las abscisas de los puntos de inflexión.

Considere la función polinómica $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Halle los intervalos de concavidad y convexidad, así como las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión. Utilice el símbolo $\cup$ para denotar los intervalos donde la función es convexa (curvatura hacia arriba) y $\cap$ para los intervalos donde es cóncava (curvatura hacia abajo).

Se conoce la siguiente información sobre una función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$:

• Corta al eje $X$ en $x = -2$ y $x = 2$.

• Tiene un mínimo relativo en $(0, -4)$.

• Es decreciente en $(-\infty, 0)$ y creciente en $(0, +\infty)$.

• $\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Dibuje un esbozo de la gráfica que cumpla todas estas condiciones.

Dibuje el esbozo de la gráfica de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones obtenidas de su estudio analítico:

• Dominio: $\mathbb{R} - \{0\}$

• Cortes con los ejes: $(2, 0)$ y $(-2, 0)$.

• Asíntota vertical en $x = 0$, con $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.

• Asíntota horizontal $y = 1$ cuando $x \to \infty$ y cuando $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ en todo su dominio.

Dada la gráfica de la función derivada $f'(x)$ que se muestra a continuación (una recta que pasa por los puntos $(-2, 0)$ y $(0, 4)$), indique razonadamente:

1. a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.
2. b) La abscisa de los extremos relativos de $f(x)$ y su tipo (máximo o mínimo).
3. c) El intervalo de concavidad o convexidad de $f(x)$.

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual proporcionada:

1. Indique los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.

2. Determina las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ clasificándolos en máximos o mínimos.

3. Estudie la curvatura de $f(x)$ y localice sus puntos de inflexión.

4. Si se sabe que $f(0) = 1$, realice un esbozo de la gráfica de la función original $f(x)$ justificando la forma obtenida.

Dada la función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Calcule el valor de $a$ para que la función sea derivable en $x = 0$.
2. b) Para el valor de $a$ obtenido, estudie si la función tiene alguna asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$.

Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $f(x) = x \cdot |x - 2|$. A partir de este estudio:

1. Exprese la función como una función definida por partes.

2. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

3. Determina los máximos y mínimos relativos y absolutos en el intervalo $[0, 4]$.

4. Estudie la curvatura y los puntos de inflexión. Tenga especial cuidado con el punto donde la función cambia de definición.

Sea la función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - kx}{x-1} & \text{si } x < 0 \\ \ln(x^2 + 1) + ax + b & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

1. Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 0$, sabiendo que en el primer tramo el parámetro $k$ toma el valor $1$.

2. Para los valores hallados, estudie si la función posee alguna asíntota oblicua cuando $x \to -\infty$. En caso afirmativo, hállela.

3. ¿Presenta la función algún extremo relativo en el intervalo $(0, +\infty)$? Justifique su respuesta.

Se considera la función $f(x) = \ln(x^2 + k)$, donde $k$ es un parámetro real.

1. a) Determina el valor de $k$ para que la función tenga un punto de inflexión en $x = 1$.
2. b) Para ese valor de $k$, estudie el dominio de la función y compruebe si presenta algún tipo de simetría (par o impar).

Se considera la función $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Determina los valores de los parámetros reales $a$, $b$ y $c$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

1. La recta $x = 2$ es una asíntota vertical de la gráfica de la función.

2. La función presenta un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 4$.

3. La recta tangente a la gráfica en el punto de corte con el eje $OY$ es paralela a la recta $y = -2x + 5$.

Una vez hallados los parámetros, estudie la existencia de una asíntota oblicua y determine la posición relativa de la curva respecto a ella.

Dada la función $f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x}$, realice un estudio exhaustivo para su representación gráfica analizando:

1. Dominio y puntos de corte con los ejes de coordenadas.

2. Comportamiento en el infinito (límites y asíntotas).

3. Intervalos de monotonía y extremos relativos (abscisas y ordenadas).

4. Puntos de inflexión y concavidad/convexidad.

5. Utilice toda la información anterior para dibujar la gráfica de la función, destacando especialmente el comportamiento asintótico horizontal.

Considere la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$.

1. Analice sus simetrías y dominio.

2. Determina todas sus asíntotas y la posición de la gráfica respecto a ellas.

3. Encuentre los puntos de la gráfica donde la recta tangente es horizontal.

4. Demuestra que la función es cóncava en todo su dominio excepto en el intervalo $(-1, 1)$, donde es convexa.

5. Esboce la gráfica de la función integrando todos los elementos anteriores.

Un equipo de ingenieros está diseñando el perfil de una rampa de salto para una competencia de skate. El perfil lateral sigue la curva de la función $f(x) = \ln(x^2 - 2x + 2)$ en el intervalo $[0, 3]$.

1. Encuentre el punto de la rampa que se encuentra a menor altura respecto al suelo.

2. Determina los puntos de la rampa donde la pendiente es máxima y mínima. ¿Qué interpretación física tienen estos puntos en el contexto del patinaje?

3. Estudie si la función tiene algún punto de inflexión en dicho intervalo y explique cómo cambia la sensación del patinador al pasar por él.

Se desea inscribir un rectángulo de área máxima en la región del primer cuadrante limitada por el eje $OX$, el eje $OY$ y la gráfica de la función $f(x) = 4e^{-0.5x}$.

1. Exprese el área del rectángulo en función de la abscisa $x$ de uno de sus vértices situados sobre el eje $OX$.

2. Calcule las dimensiones de dicho rectángulo para que su área sea máxima.

3. Realice un dibujo de la situación utilizando el siguiente esquema visual.