Integrales indefinidas y antiderivadas básicas
La familia de Mateo viaja en carro por Texas cuando el odómetro se descompone. Su celular sigue registrando la velocidad del carro cada segundo. ¿Puede Mateo recuperar la distancia que han manejado usando solo la velocidad?
Hasta ahora siempre ibas hacia adelante: de una función $f$ a su derivada $f'$. Aquí el problema va al revés. Te dan la derivada y debes recuperar la función original. Ese paso hacia atrás se llama antiderivación, y lo usarás constantemente en el resto de este capítulo.
Correr una derivada al revés
Piensa en el carro: si $s(t)$ es la posición y $v(t) = s'(t)$ es la velocidad, recuperar $s(t)$ a partir de $v(t)$ es exactamente este problema.
La gráfica muestra $F(x) = x^2$ y $f(x) = 2x$. Observa que $f$ es la pendiente de $F$ en cada punto: donde $F$ se aplana en $x = 0$, $f$ cruza el cero.
La mejor forma de verificar una antiderivada es derivarla. No necesitas integrar nada para comprobar una respuesta.
Determina si la función $F(x) = x \cdot e^x$ es una primitiva de la función $f(x) = (x+1)e^x$. Para justificar tu respuesta, recuerda utilizar la relación fundamental…
Determina si la función $F(x) = x \cdot e^x$ es una primitiva de la función $f(x) = (x+1)e^x$. Para justificar tu respuesta, recuerda utilizar la relación fundamental entre una función y su primitiva mediante la derivación.
La constante de integración
Tanto $x^2$ como $x^2 + 5$ tienen derivada $2x$. Así que $2x$ tiene más de una antiderivada; de hecho, infinitas.
Desliza $C$ abajo. Todas las curvas tienen la misma pendiente en un $x$ dado, porque cada una es una antiderivada de $f(x) = x$.
Para elegir una antiderivada de la familia necesitas un dato adicional, normalmente un punto de su gráfica. Esto se llama condición inicial, y la función que obtienes es una antiderivada particular.
Halla la primitiva de la función $f(x) = 2x - 6$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 4)$. Nota: Primero calcula la integral indefinida para obtener la familia de…
Halla la primitiva de la función $f(x) = 2x - 6$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 4)$.
Nota: Primero calcula la integral indefinida para obtener la familia de funciones con la constante $C$, y luego utiliza el punto $P$ para hallar el valor específico de dicha constante.
La tabla de antiderivadas estándar
Cada regla de derivación que conoces da una regla de antiderivación al leerla al revés. No hay nada nuevo que memorizar, solo la tabla de derivadas en sentido inverso.
El valor absoluto en $\ln|x|$ importa. Para $x<0$, $\dfrac{d}{dx}\ln(-x) = \dfrac{1}{x}$ también, así que $\ln|x|$ es una antiderivada de $\dfrac{1}{x}$ tanto en $(-\infty, 0)$ como en $(0, \infty)$.
Radicales y fracciones: antes de usar la regla de la potencia, reescribe todo como una potencia de $x$: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$, $\dfrac{1}{x^4} = x^{-4}$, $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$.
Un skater profesional está analizando la trayectoria de su último salto en una rampa. La función que describe la variación de su altura respecto al tiempo (velocidad…
Un skater profesional está analizando la trayectoria de su último salto en una rampa. La función que describe la variación de su altura respecto al tiempo (velocidad vertical) viene dada por la expresión $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$. Halla la familia de funciones $H(t)$ que representan la altura del skater, calculando la integral indefinida:
$$\int (3t^2 - 4t + 5) \, dt$$En el estudio de la propagación de una noticia en una red social, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los "compartidos" sigue una ley potencial. Para…
En el estudio de la propagación de una noticia en una red social, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los "compartidos" sigue una ley potencial. Para encontrar el total acumulado, un programador debe resolver la siguiente integral de una función irracional. Calcúlala pasando primero la raíz a exponente fraccionario:
$$\int \left( \sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \, dx$$En el diseño de una lente para una cámara de smartphone, se requiere conocer la función de curvatura. La derivada de dicha función es $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$.…
En el diseño de una lente para una cámara de smartphone, se requiere conocer la función de curvatura. La derivada de dicha función es $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Obtén la expresión de la función $g(x)$ calculando su integral indefinida:
$$\int \left( \frac{7}{1+x^2} - 2^x \right) \, dx$$Linealidad: sumas y múltiplos constantes
La gráfica muestra $f(x) = 6x^2 - 5\cos x + 2$ y su antiderivada $F(x) = 2x^3 - 5\sin x + 2x$, que es el siguiente ejemplo.
Separar fracciones. Puedes separar un numerador sobre un denominador de un solo término, porque $\dfrac{a+b}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}$.
Calcula la integral indefinida de la siguiente combinación de funciones trigonométricas y constantes, aplicando las propiedades de linealidad (sacar constantes y separar…
Calcula la integral indefinida de la siguiente combinación de funciones trigonométricas y constantes, aplicando las propiedades de linealidad (sacar constantes y separar sumas):
$$\int (4 \sin x - 5 \cos x + 3) \, dx$$Halla todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$. Pista: Para resolverla de forma inmediata, descompón la fracción en tres términos simples…
Halla todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.
Pista: Para resolverla de forma inmediata, descompón la fracción en tres términos simples antes de integrar.
Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado eliminando los exponentes negativos y utilizando radicales:…
Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado eliminando los exponentes negativos y utilizando radicales:
$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$
Una función lineal adentro: la regla de $\tfrac{1}{a}$
La tabla maneja $e^x$, pero ¿qué pasa con $e^{2x}$? Prueba con $e^{2x}$ como respuesta. Por la regla de la cadena, $(e^{2x})' = 2e^{2x}$, que es el doble de lo que queremos. Entonces divide entre $2$.
Por ejemplo, $\displaystyle\int \cos(5x)\,dx = \frac{\sin(5x)}{5} + C$, $\ \displaystyle\int e^{3x-1}dx = \frac{e^{3x-1}}{3} + C$ y $\ \displaystyle\int \frac{1}{2x+7}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2x+7| + C$.
Observa la amplitud: $\sin(kx)$ tiene antiderivada $-\dfrac{\cos(kx)}{k}$, así que cuando $k$ crece la antiderivada se aplana.
Para una base distinta de $e$, escribe primero $a^{bx} = (a^b)^x$ o simplemente usa la regla con una función lineal adentro: $\displaystyle\int 5^{2x}dx = \frac{5^{2x}}{2\ln 5} + C$.
Un estudio de audición para adolescentes analiza la intensidad de una señal sonora. La función que describe la presión acústica instantánea es…
Un estudio de audición para adolescentes analiza la intensidad de una señal sonora. La función que describe la presión acústica instantánea es $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Halla la primitiva general de dicha función realizando la integración:
$$\int \left( \frac{3}{x} + e^{2x} \right) \, dx$$Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sabiendo que $F(0) = 1$.
Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sabiendo que $F(0) = 1$.
Un dron de vigilancia se desplaza de forma que su velocidad en el eje horizontal (en pies/s) viene dada por la función $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabiendo que en el…
Un dron de vigilancia se desplaza de forma que su velocidad en el eje horizontal (en pies/s) viene dada por la función $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabiendo que en el instante inicial $t=0$ el dron se encuentra en la posición $s=0$, determina la expresión de la función de posición $s(t)$.
La regla de la cadena al revés
¿Y si la función interior no es lineal? La regla de la cadena dice que $\dfrac{d}{dx}F(g(x)) = f(g(x))\cdot g'(x)$. Leída al revés:
Este es el procedimiento:
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Busca una función interior $u = g(x)$ cuya derivada (salvo un factor constante) también aparezca en el integrando.
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Reescribe la integral en términos de $u$ y $du$, ajustando con un factor constante si es necesario.
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Integra en $u$.
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Sustituye de nuevo $u = g(x)$.
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Verifica derivando.
La gráfica muestra $f(x) = 2x\cos(x^2)$ y su antiderivada $F(x) = \sin(x^2)$. El siguiente ejemplo usa el mismo patrón.
Patrones típicos: $\displaystyle\int (\ln x)^n\,\frac{dx}{x}$ (con $u = \ln x$), $\displaystyle\int g'(x)\,e^{g(x)}dx$ y $\displaystyle\int g'(x)\,\big(g(x)\big)^n dx$.
Presta atención a la estructura compuesta cuando las funciones están anidadas. En $\displaystyle\int \frac{\ln(\ln x)}{x\ln x}\,dx$, primero sea $u = \ln x$ (así que $du = \dfrac{dx}{x}$), lo que la convierte en $\displaystyle\int \frac{\ln u}{u}\,du$. Luego una segunda sustitución $w = \ln u$ la termina.
Determina la integral indefinida de la siguiente función compuesta, identificando la derivada de la función interna: $I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$
Determina la integral indefinida de la siguiente función compuesta, identificando la derivada de la función interna:
$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$
Dada la función $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcula su primitiva general. Comprueba tu resultado derivando la función obtenida.
Dada la función $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcula su primitiva general. Comprueba tu resultado derivando la función obtenida.
Calcula la integral indefinida de la función: $$f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x \cdot \ln x}$$ Este ejercicio evalúa la capacidad de reconocer la estructura…
Calcula la integral indefinida de la función:
$$f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x \cdot \ln x}$$Este ejercicio evalúa la capacidad de reconocer la estructura $g(u(x)) \cdot u'(x)$ cuando existen múltiples funciones compuestas.
El patrón $\dfrac{u'}{u}$ y los logaritmos
La forma más común de la regla de la cadena al revés es $f(u) = \dfrac{1}{u}$.
Si el numerador es un múltiplo constante de la derivada del denominador, ajusta con esa constante. Por ejemplo, $\displaystyle\int\frac{x}{x^2+3}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+3) + C$, porque $(x^2+3)' = 2x$ y $x = \tfrac{1}{2}\cdot 2x$. La misma idea da $\displaystyle\int\frac{4x-6}{x^2-3x+1}\,dx = 2\ln|x^2-3x+1| + C$, pues $4x - 6 = 2(2x-3)$. Otro clásico es $\displaystyle\int \tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x| + C$.
Cuando el numerador es casi la derivada, suma y resta para forzarlo.
Halla la integral indefinida de la función $g(x)$, realizando los ajustes de constantes necesarios para obtener una estructura de tipo logarítmico:…
Halla la integral indefinida de la función $g(x)$, realizando los ajustes de constantes necesarios para obtener una estructura de tipo logarítmico:
$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$
Un ingeniero de sonido está analizando la señal de un nuevo sintetizador. La tasa de variación de la intensidad de la onda respecto al tiempo, $t$, viene dada por la…
Un ingeniero de sonido está analizando la señal de un nuevo sintetizador. La tasa de variación de la intensidad de la onda respecto al tiempo, $t$, viene dada por la función $f'(t) = \dfrac{e^{2t} + 3e^t}{e^t + 1}$.
Sabiendo que para un tiempo $t = 0$ la intensidad de la onda es de $10$ unidades, determina la expresión analítica de la intensidad $f(t)$ realizando las manipulaciones algebraicas necesarias para resolver la integral.
Reescribir primero: división e identidades
Muchos integrandos que parecen difíciles se vuelven estándar con un poco de álgebra o trigonometría. Antes de integrar, pregúntate:
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¿Puedo separar la fracción? (denominador de un solo término)
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¿Puedo dividir los polinomios? (grado del numerador $\ge$ grado del denominador)
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¿Puedo usar una identidad trigonométrica, como $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ o $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$?
Abajo, ambas curvas son la misma función escrita de dos maneras: $\dfrac{x^2-3x+5}{x-1}$ y $x - 2 + \dfrac{3}{x-1}$. Las curvas coinciden exactamente, así que reescribir no cuesta nada.
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 5)$. Nota: Realiza primero la división de los polinomios.
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 5)$.
Nota: Realiza primero la división de los polinomios.
Calcula la familia de primitivas de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para transformar el integrando en una suma de integrales…
Calcula la familia de primitivas de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para transformar el integrando en una suma de integrales inmediatas:
$$f(x) = \frac{\cos^3 x}{\sin^4 x}$$Pista: Intenta expresar el numerador en función del seno utilizando la identidad fundamental de la trigonometría.
Formas de arcotangente y arcoseno: completar el cuadrado
La tabla tiene $\dfrac{1}{1+x^2}$ y $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Con una constante $a > 0$ y una variable $u$, las versiones generales son:
Si el denominador es $1 + (kx)^2$, usa la regla de la función lineal interior de antes: $\displaystyle\int\frac{3}{1+25x^2}\,dx = \frac{3}{5}\arctan(5x) + C$. Si el denominador es una cuadrática con término en $x$, completa el cuadrado primero.
Si el coeficiente principal no es $1$, sácalo como factor primero. Por ejemplo, $3x^2 + 6x + 12 = 3\big[(x+1)^2 + 3\big]$, y entonces $a = \sqrt{3}$.
Cuando también hay una $x$ en el numerador de un radical, desplaza la variable y separa en una parte de potencia y una parte de arcoseno.
Calcula la integral indefinida de la siguiente función utilizando la descomposición por linealidad y el ajuste de la derivada del exponente:…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función utilizando la descomposición por linealidad y el ajuste de la derivada del exponente:
$I = \displaystyle\int \left( 2x \cdot e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$
Halla la integral indefinida de la siguiente función racional completando el cuadrado en el denominador para identificar una estructura de arco tangente: $$f(x) =…
Halla la integral indefinida de la siguiente función racional completando el cuadrado en el denominador para identificar una estructura de arco tangente:
$$f(x) = \frac{3}{2x^2 - 4x + 10}$$Una empresa de logística estudia el desgaste de los neumáticos de su flota. La velocidad de desgaste $V(x)$ (en mm por cada 1000 millas) depende de la carga $x$ (en…
Una empresa de logística estudia el desgaste de los neumáticos de su flota. La velocidad de desgaste $V(x)$ (en mm por cada 1000 millas) depende de la carga $x$ (en toneladas) según la función:
$$V(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - (x - 3)^2}}$$Halla la función de desgaste acumulado $D(x)$, sabiendo que para una carga nula ($x=0$) el desgaste es cero.
Pista: Descompón la fracción para obtener una integral de tipo raíz (potencial) y otra de tipo arco seno.
Adivinar y verificar con la regla del producto
No existe una regla del producto para integrales. Pero a menudo puedes adivinar la forma de una antiderivada de un producto, derivar la propuesta con la regla del producto y ajustar los coeficientes desconocidos hasta que coincida.
Valores absolutos e integrandos definidos por partes. Si $f$ está definida por partes, como $|x - 1|$, integra cada parte por separado. Una antiderivada es derivable, así que debe ser continua, lo que obliga a que las constantes de las distintas partes coincidan en el punto de quiebre.
Dada la función $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$, encuentra la primitiva $F(x)$ que verifica que $F(0) = 1$. Recuerda que para que $F(x)$ sea una primitiva en todo su dominio,…
Dada la función $f(x) = |x - 2| \cdot e^x$, encuentra la primitiva $F(x)$ que verifica que $F(0) = 1$.
Recuerda que para que $F(x)$ sea una primitiva en todo su dominio, debe ser una función continua, por lo que tendrás que ajustar las constantes de integración en los diferentes tramos.
Determina los valores de los parámetros $A, B$ y $C$ para que la función $F(x) = (Ax^2 + Bx + C) \cdot \sin(2x)$ sea una primitiva de $f(x) = x^2 \cos(2x)$. Plantea el…
Determina los valores de los parámetros $A, B$ y $C$ para que la función $F(x) = (Ax^2 + Bx + C) \cdot \sin(2x)$ sea una primitiva de $f(x) = x^2 \cos(2x)$.
Plantea el sistema de ecuaciones derivando $F(x)$ e igualando coeficientes.
Retroceder dos derivadas
A veces te dan $f''$. Integra una vez para obtener $f'$ y otra vez para obtener $f$. Cada integración trae su propia constante, así que necesitas dos condiciones.
Las condiciones sobre la gráfica se traducen en ecuaciones:
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un punto de inflexión en $x = x_0$ significa $f''(x_0) = 0$ (y que $f''$ cambia de signo ahí);
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una tangente horizontal en $x_0$ significa $f'(x_0) = 0$;
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una recta tangente horizontal que pasa por $(0, 5)$ es la recta $y = 5$, así que $f(x_0) = 5$ en el punto de tangencia.
Si $f''$ es racional, piensa al revés desde la regla del cociente: derivar un cociente aumenta en uno la potencia del denominador, y puedes confirmar cualquier propuesta para $f'$ derivándola.
Determina la función $f(x)$ cuya derivada segunda es $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$. Se sabe que la gráfica de $f(x)$ tiene un punto de inflexión en el que la…
Determina la función $f(x)$ cuya derivada segunda es $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$.
Se sabe que la gráfica de $f(x)$ tiene un punto de inflexión en el que la recta tangente es horizontal y pasa por el punto $(0, 5)$.
Nota: Este ejercicio requiere un manejo experto de la regla de la cadena en sentido inverso para funciones racionales.
Volvamos al viaje en carro. Supón que el celular de Mateo registra una velocidad de $v(t) = 2t + 30$ ft/s. Al antiderivar se obtiene $s(t) = t^2 + 30t + C$. El registro de velocidad por sí solo no le dice la distancia, porque $C$ es el valor con el que empezó el odómetro. Una lectura, como el valor del odómetro en $t = 0$, determina $C$ y da la función de posición exacta.