Una empresa que tuesta café en Seattle quiere una lata cilíndrica que contenga exactamente $54\pi$ pulgadas cúbicas y use la menor cantidad posible de metal. ¿Debe ser la lata alta y delgada, baja y ancha, o algo intermedio? El cálculo responde con exactitud. Todo problema de optimización convierte una pregunta real en una función de una variable y luego busca dónde su derivada es cero.
El método de cinco pasos
Los cinco pasos siguientes resuelven casi todos los problemas de optimización.
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Determina dos números reales positivos cuya suma sea exactamente $60$ y tales que su producto sea el mayor posible.
Determina dos números reales positivos cuya suma sea exactamente $60$ y tales que su producto sea el mayor posible.
A veces el problema te da la función, como la altura de un proyectil, una fórmula de ganancias o un conteo de "me gusta". Entonces los pasos 1–3 ya están hechos y pasas directo a los puntos críticos. Si el tiempo o la cantidad está restringido a un intervalo como $0\le t\le 10$, el intervalo es cerrado y debes usar la prueba de candidatos.
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Se lanza verticalmente hacia arriba una pequeña sonda meteorológica. La altura $h$ (en pies) que alcanza la sonda en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por…
Se lanza verticalmente hacia arriba una pequeña sonda meteorológica. La altura $h$ (en pies) que alcanza la sonda en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 40t + 1,5$.
¿En qué instante alcanzará la sonda su altura máxima? ¿Cuál será dicha altura?
Una empresa tecnológica ha determinado que la ganancia mensual $B$ (en miles de dólares) por la venta de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos depende del número…
Una empresa tecnológica ha determinado que la ganancia mensual $B$ (en miles de dólares) por la venta de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos depende del número de unidades fabricadas $x$ (en cientos) según la función $B(x) = -2x^2 + 32x - 40$.
Halla el número de unidades que deben fabricarse cada mes para maximizar la ganancia y calcula el valor de dicha ganancia máxima.
El número de "likes" de una publicación de una famosa "influencer" durante las primeras $10$ horas sigue la función $L(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t$, donde $t$ es el tiempo…
El número de "likes" de una publicación de una famosa "influencer" durante las primeras $10$ horas sigue la función $L(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas ($0 \le t \le 10$). Determina en qué momento la publicación alcanza su mayor éxito (máximo número de likes) y cuántos likes obtiene en ese instante.
A veces la derivada da solo el mínimo y el máximo está en el borde del dominio. Cortar un cordel en dos figuras es un caso clásico.
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Disponemos de un pedazo de cable de $20 \text{ metros}$ de longitud. Queremos cortarlo en dos pedazos (no necesariamente iguales) para formar con uno de ellos un…
Disponemos de un pedazo de cable de $20 \text{ metros}$ de longitud. Queremos cortarlo en dos pedazos (no necesariamente iguales) para formar con uno de ellos un cuadrado y con el otro un triángulo equilátero. ¿Cómo debemos realizar el corte para que la suma de las áreas de ambas figuras sea máxima? ¿Y para que sea mínima? Justifique la respuesta analizando los extremos del intervalo de definición de la variable.
En los problemas de cercas, el secreto es contar los segmentos de cerca. Dibuja la figura y rotula cada pieza.
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Un joven ganadero dispone de $120$ pies de cerca para cercar un recinto rectangular destinado al pastoreo. Aprovechando que uno de los lados del recinto será una pared…
Un joven ganadero dispone de $120$ pies de cerca para cercar un recinto rectangular destinado al pastoreo. Aprovechando que uno de los lados del recinto será una pared de piedra ya existente, solo necesita cercar los otros tres lados. Calcula las dimensiones del recinto para que el área encerrada sea máxima.
Un refugio de animales ha recibido una donación de $120$ pies de tela metálica para construir dos recintos rectangulares contiguos destinados a perros y gatos. Los…
Un refugio de animales ha recibido una donación de $120$ pies de tela metálica para construir dos recintos rectangulares contiguos destinados a perros y gatos. Los recintos deben compartir un lado común, como se muestra en la figura, para aprovechar al máximo el material. Determine las dimensiones de la estructura exterior ($x$ e $y$) para que el área total encerrada sea máxima.
Cuando el área es fija, la restricción es $xy=A$, y por tanto $y=A/x$. El dominio es un intervalo abierto $(0,\infty)$. Revisa qué pasa en los extremos: si el objetivo tiende a $\infty$ en ambos extremos, entonces el único punto crítico debe ser un mínimo absoluto.
Los problemas de márgenes de página tienen una idea más. La página tiene área total $wh$, pero el área impresa es menor. Es $(w-2m_s)(h-2m_t)$, donde $m_s$ es el margen lateral y $m_t$ el margen superior e inferior.
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Un estudio de diseño gráfico quiere crear una tarjeta de felicitación rectangular que contenga exactamente $32 \text{ cm}^2$ de superficie impresa. Si no se consideran…
Un estudio de diseño gráfico quiere crear una tarjeta de felicitación rectangular que contenga exactamente $32 \text{ cm}^2$ de superficie impresa. Si no se consideran márgenes, ¿cuáles deberían ser las dimensiones de la tarjeta para que el perímetro sea mínimo y así ahorrar en el corte del papel?
Una página de un libro de arte debe tener un área total de $600$ $cm^2$. Los márgenes superior e inferior deben ser de $3$ pulgadas cada uno, y los márgenes laterales de…
Una página de un libro de arte debe tener un área total de $600$ $cm^2$. Los márgenes superior e inferior deben ser de $3$ pulgadas cada uno, y los márgenes laterales de $2$ pulgadas cada uno. Determina las dimensiones de la página (ancho y alto) para que el área de la zona impresa (donde va el texto y las imágenes) sea máxima.
Para encajar un rectángulo dentro de un triángulo o de un círculo, necesitas una ecuación que relacione las variables. Dos herramientas hacen casi todo:
Los triángulos semejantes relacionan las piezas cuando una figura está dentro de un triángulo.
El teorema de Pitágoras relaciona las piezas cuando un vértice está sobre un círculo. Un rectángulo inscrito en un círculo tiene su diagonal igual al diámetro.
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Se desea diseñar un panel publicitario con forma de triángulo isósceles inscrito en una semicircunferencia de radio $R = 6$ pies, de modo que su base coincida con el…
Se desea diseñar un panel publicitario con forma de triángulo isósceles inscrito en una semicircunferencia de radio $R = 6$ pies, de modo que su base coincida con el diámetro de la semicircunferencia. Determina las dimensiones del triángulo (base y altura) para que el área de la superficie publicitaria sea máxima.
En una carpintería metálica, se debe cortar una viga de acero con sección transversal rectangular a partir de un tronco cilíndrico de $40$ pulgadas de diámetro. La…
En una carpintería metálica, se debe cortar una viga de acero con sección transversal rectangular a partir de un tronco cilíndrico de $40$ pulgadas de diámetro. La resistencia mecánica $R$ de dicha viga es proporcional al producto del ancho $x$ por el cuadrado de la altura $y$, es decir, $R = k \cdot x \cdot y^2$ (donde $k$ es una constante de resistencia del material). Halla las dimensiones $x$ e $y$ que debe tener la viga para que su resistencia sea máxima.
Se desea instalar un panel solar rectangular en una pared que tiene forma de triángulo isósceles, con una base de $6 \text{ m}$ y una altura de $4 \text{ m}$. El panel…
Se desea instalar un panel solar rectangular en una pared que tiene forma de triángulo isósceles, con una base de $6 \text{ m}$ y una altura de $4 \text{ m}$. El panel debe colocarse de forma que su base esté sobre la base del triángulo y sus dos vértices superiores toquen los lados iguales del triángulo. Sin embargo, debido a la estructura de la pared, el panel tiene una eficiencia que varía con su altura, de modo que la energía total generada viene dada por la función $E = A \cdot (5 - h)$, donde $A$ es el área del panel y $h$ su altura. Halle las dimensiones del panel que maximizan la energía generada.
Corta un cuadrado en cada esquina de una hoja cuadrada y dobla los lados hacia arriba. El tamaño del corte $x$ es la altura de la caja. Este es un problema clásico, y es un problema de intervalo cerrado: $x$ puede ser tan pequeño como $0$ y tan grande como la mitad del lado.
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Se desea construir una caja abierta (sin tapa) a partir de una lámina de cartón cuadrada de $30 \text{ cm}$ de lado. Para ello, se corta un cuadrado de lado $x$ en cada…
Se desea construir una caja abierta (sin tapa) a partir de una lámina de cartón cuadrada de $30 \text{ cm}$ de lado. Para ello, se corta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y se doblan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen de la caja en función de $x$ y determina el valor de $x$ para que el volumen de la caja sea máximo.
Un estudio de diseño gráfico quiere crear una caja de embalaje promocional a partir de una cartulina cuadrada de $24$ pulgadas de lado. Para ello, se corta un cuadrado…
Un estudio de diseño gráfico quiere crear una caja de embalaje promocional a partir de una cartulina cuadrada de $24$ pulgadas de lado. Para ello, se corta un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y se doblan las solapas hacia arriba para formar una caja sin tapa. Halla el valor de $x$ para que la capacidad de la caja sea la mayor posible.
En los problemas en 3D, el volumen suele ser fijo. Despeja una variable de la fórmula del volumen (normalmente $h$) y sustitúyela en el área de superficie, que es la cantidad de material.
Volvamos a la pregunta inicial: la lata más económica no es ni alta y delgada ni baja y ancha. Su altura de $6$ in. es exactamente su diámetro $2r=6$ in. De hecho, con costos de material iguales, el cilindro cerrado óptimo siempre tiene $h=2r$.
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Una empresa química necesita fabricar depósitos cilíndricos cerrados con una capacidad de $16 \pi$ pies cúbicos. El material utilizado para las bases (superior e…
Una empresa química necesita fabricar depósitos cilíndricos cerrados con una capacidad de $16 \pi$ pies cúbicos. El material utilizado para las bases (superior e inferior) tiene un costo de $\$5$ por pie cuadrado, mientras que el material para la superficie lateral es más ligero y cuesta $\$2$ por pie cuadrado. Calcula el radio de la base y la altura del cilindro que minimizan el costo total de fabricación de cada depósito.
Cuando las partes de un objeto usan materiales distintos o tienen precios distintos, el objetivo es un costo, y sumas el costo de cada parte por separado.
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Una empresa logística está construyendo un almacén con una superficie de $400 \text{ m}^2$. El almacén debe tener forma rectangular y estar dividido en dos sectores por…
Una empresa logística está construyendo un almacén con una superficie de $400 \text{ m}^2$. El almacén debe tener forma rectangular y estar dividido en dos sectores por un muro interno paralelo a uno de sus lados laterales. El costo de los muros exteriores es de $120 \text{ \$}$ por pie lineal, mientras que el muro interno, al ser menos resistente, cuesta $80 \text{ \$}$ por pie lineal. Halle las dimensiones del almacén que hacen que el costo de los muros sea lo más bajo posible.
Un fabricante de latas de conserva quiere crear un nuevo envase cilíndrico con un volumen de $500 \text{ cm}^3$. El material de la tapa y de la base cuesta…
Un fabricante de latas de conserva quiere crear un nuevo envase cilíndrico con un volumen de $500 \text{ cm}^3$. El material de la tapa y de la base cuesta $0,02 \text{ \$/cm}^2$, mientras que el material del lateral cuesta $0,01 \text{ \$/cm}^2$. Además, para reforzar la estructura, se debe colocar una tira metálica alrededor de la unión de la tapa con el lateral y otra alrededor de la base, con un costo de $0,05 \text{ \$/cm}$ de tira. Calcule el radio y la altura de la lata que minimizan el costo total de producción.
Se desea diseñar una cápsula para un nuevo fármaco que tiene forma de cilindro circular recto prolongado en sus extremos por dos hemisferios del mismo radio que el…
Se desea diseñar una cápsula para un nuevo fármaco que tiene forma de cilindro circular recto prolongado en sus extremos por dos hemisferios del mismo radio que el cilindro. Por razones de estabilidad química, el volumen total de la cápsula debe ser exactamente de $36\pi \text{ mm}^3$. El material utilizado para los extremos hemisféricos es un 50% más caro por unidad de superficie que el material utilizado para la parte cilíndrica. Determine las dimensiones de la cápsula (radio $r$ y longitud de la parte cilíndrica $h$) que minimizan el costo total de fabricación.
Los problemas de negocios usan la relación Ganancia = Ingreso − Costo. Con un modelo de demanda lineal, la cantidad vendida cambia en una cantidad fija por cada dólar de cambio en el precio. Elige el precio $x$ como variable y escribe la cantidad vendida como función lineal de $x$.
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Una plataforma de streaming está analizando su política de precios para un nuevo plan premium. Actualmente, tienen $10.000$ suscriptores que pagan $\$12…
Una plataforma de streaming está analizando su política de precios para un nuevo plan premium. Actualmente, tienen $10.000$ suscriptores que pagan $\$12$ al mes. Un estudio de mercado indica que por cada dólar que se rebaje el precio de la suscripción, se apuntarán $1.000$ nuevos usuarios. Por el contrario, por cada dólar que aumente el precio, se perderán $1.000$ usuarios. Sabiendo que los costos fijos de mantenimiento son de $\$20.000$ al mes y que cada suscriptor genera un gasto de gestión de $\$2$, ¿qué precio de suscripción mensual maximizará el beneficio neto de la plataforma?
Distancia, rectas tangentes y problemas de "demuestra que"
Para hallar el punto de una curva más cercano a un punto dado, escribe la distancia con la fórmula de distancia. Luego minimiza el cuadrado de la distancia.
Las rectas tangentes también dan problemas de optimización. Usa la forma punto-pendiente $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ y halla dónde la recta cruza cada eje.
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En un videojuego de estrategia, una unidad de exploración se encuentra en el punto $A(0, 5)$ de un mapa cartesiano. Existe un camino cuya trayectoria sigue la forma de…
En un videojuego de estrategia, una unidad de exploración se encuentra en el punto $A(0, 5)$ de un mapa cartesiano. Existe un camino cuya trayectoria sigue la forma de la parábola $y = x^2$. Los programadores necesitan calcular los puntos exactos del camino que se encuentran a la mínima distancia de la unidad para activar un evento de proximidad. Determina las coordenadas de dichos puntos.
Considere la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ para $x > 0$. Se traza una recta tangente a la gráfica de esta función en un punto genérico $P(a, f(a))$. Dicha recta…
Considere la función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ para $x > 0$. Se traza una recta tangente a la gráfica de esta función en un punto genérico $P(a, f(a))$. Dicha recta tangente forma, junto con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante, un triángulo rectángulo. Determine el valor de $a$ para el cual el área de dicho triángulo es mínima y calcule el valor de dicha área.
Dos puntos $A$ y $B$ están situados en el mismo lado de una recta $r$. El punto $A$ está a una distancia de $3 \text{ km}$ de la recta y el punto $B$ a $6 \text{ km}$.…
Dos puntos $A$ y $B$ están situados en el mismo lado de una recta $r$. El punto $A$ está a una distancia de $3 \text{ km}$ de la recta y el punto $B$ a $6 \text{ km}$. La distancia entre las proyecciones de $A$ y $B$ sobre la recta $r$ es de $12 \text{ km}$. Se desea encontrar un punto $C$ en la recta $r$ tal que la suma de los cuadrados de las distancias desde $C$ hasta $A$ y desde $C$ hasta $B$ sea mínima. Demuestre que dicho punto coincide con el punto medio de la proyección de $AB$ sobre la recta.
Si un camino cruza dos regiones con velocidades distintas, la ruta más rápida normalmente no es la línea recta. El objetivo es una suma de tiempos, y cada tiempo es distancia dividida entre velocidad.
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Un dron de vigilancia debe desplazarse desde una base situada en el punto $A(0, 4)$ hasta un objetivo en el punto $B(10, 0)$, donde las coordenadas están expresadas en…
Un dron de vigilancia debe desplazarse desde una base situada en el punto $A(0, 4)$ hasta un objetivo en el punto $B(10, 0)$, donde las coordenadas están expresadas en millas. El terreno está dividido en dos zonas por la recta $y = 2$. En la zona superior ($y > 2$), debido a las condiciones de viento, el dron puede volar a una velocidad de $60 \text{ km/h}$. En la zona inferior ($y \leq 2$), el dron puede alcanzar los $100 \text{ km/h}$. Calcule el punto exacto sobre la línea divisoria por el que debe cruzar el dron para que el tiempo total del trayecto sea mínimo.