El teorema fundamental del cálculo

Halla el valor de la derivada de la siguiente función integral en el punto $x = 2$:

$$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$

Explica qué teorema matemático estás utilizando para resolver el problema sin necesidad de calcular la primitiva.

Un programador de videojuegos está diseñando la trayectoria de un proyectil. La velocidad del objeto en función del tiempo $t$ viene dada por la expresión $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.

Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo Integral para hallar la expresión de la aceleración instantánea $a(t)$, sabiendo que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo ($a(t) = v'(t)$).

Calcula la función derivada $F'(x)$ de la siguiente función integral utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena:

$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$

Indica el dominio de definición de la función $F(x)$ para que la integral esté bien definida.

Sea la función $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ definida para $t > 0$. Se define una nueva función integral $G(x)$ como:

$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$

1. a) Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena, obtén la expresión de la derivada $G'(x)$.
2. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $G(x)$ en su dominio.
3. c) Halla el valor de $x > 1$ para el cual la función $G(x)$ alcanza un máximo relativo.

Dada la función integral $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$:

1. a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $H(x)$.
2. b) Determina las coordenadas de los extremos relativos (máximos o mínimos) de $H(x)$ y clasifícalos.

Sea la función definida por la integral $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t - 1}{e^t + 1} \, dt$.

1. a) Halla los puntos críticos de $F(x)$ y clasifícalos utilizando el criterio de la primera derivada.
2. b) Estudia la curvatura de $F(x)$ y determina si posee puntos de inflexión.
3. c) ¿Existe algún valor de $x$ para el cual $F(x)$ sea negativo? Razona la respuesta basándote en el signo del integrando y los límites de integración.

Sea la función $G(x)$ definida por:

$$G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{t} \, dt$$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $G(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Nota: Recuerda que para hallar la ordenada del punto de tangencia debes calcular $G(0)$ y para la pendiente debes aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo.

Un equipo de ingenieros está diseñando la trayectoria de un dron de carreras. La velocidad vertical del dron en el intervalo de tiempo $[0, 4]$ segundos viene dada por la función $v(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + z^4} \, dz$.

1. a) Sin calcular la integral explícitamente, justifica por qué el dron siempre está subiendo o manteniéndose en la misma altura.
2. b) Calcula la aceleración vertical del dron en el instante $t = 1$ segundo.
3. c) ¿En qué instante la aceleración vertical es máxima? Justifica tu respuesta estudiando la derivada segunda de la posición.

Considera la función integral $L(x) = \int_{1}^{x} \frac{\sqrt{1 + t^3}}{t} \, dt$ definida para $x \geq 1$.

1. a) Demuestra que $L(x)$ es una función estrictamente creciente en su dominio.
2. b) Se sabe que la gráfica de $L(x)$ tiene una recta tangente en el punto de abscisa $x = 2$ cuya ecuación es $y = mx + n$. Calcula el valor de la pendiente $m$.
3. c) Determina la aceleración de crecimiento de la pendiente (derivada segunda) en ese mismo punto.

El consumo eléctrico de una vivienda durante la primera hora de la mañana se modeliza mediante la función $f(x) = e^x + x$, donde $x$ es el tiempo en horas. Calcula el consumo total acumulado, representado por la integral definida:

$$\int_{0}^{1} (e^x + x) \, dx$$

Un panel solar térmico tiene un diseño cuya sección transversal superior está delimitada por la función $f(x) = 3x^2 + 2$, donde $x$ se mide en pies. Calcula el valor de la integral definida en el intervalo $[0, 2]$ utilizando la Regla de Barrow.

Determina el valor del parámetro real positivo $a$ sabiendo que el área limitada por la curva $f(x) = 3x^2$, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = a$ es exactamente igual a 27 unidades de área. Utiliza para ello la Regla de Barrow.

Dada una función $f(x)$ continua en el intervalo $[1, 8]$, se conocen los valores de las siguientes integrales definidas:

• $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$

• $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$

Utiliza las propiedades de la integral definida para calcular el valor de $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.

Sin realizar cálculos complejos de integración, justifica razonadamente por qué el valor de la siguiente integral es igual a $0$, basándote en las propiedades de las funciones impares y la simetría del intervalo:

$$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^3 - x) \, dx$$

Sea $f(x)$ una función continua en $\mathbb{R}$ tal que $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$. Halla el valor de la constante $k$ para que la siguiente igualdad se cumpla, sabiendo que el área bajo la curva de la izquierda se ha desplazado y escalado:

$$\int_{0}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 - 1) \, dx = k$$

Utiliza el método de cambio de variable en las integrales definidas para relacionarlas con el dato inicial.

Calcula el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función $f(x) = \sin(x)$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \pi$. Esboza el recinto antes de aplicar la Regla de Barrow.

Determina el área de la región encerrada entre la curva $f(x) = x^2 - 4$ y el eje $OX$ en el intervalo $[0, 2]$. Recuerda que si la función es negativa en el intervalo, el área se corresponde con el valor absoluto de la integral definida.

La velocidad de un prototipo de vehículo eléctrico durante los primeros 4 segundos de una prueba viene dada por la función $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (en pies/s).

1. a) Calcula el espacio total recorrido por el vehículo entre los instantes $t = 1$ s y $t = 3$ s aplicando la Regla de Barrow.
2. b) Justifica si el vehículo se detiene en algún momento durante ese intervalo.

Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcula el valor de la integral definida en el intervalo $[0, 3]$ utilizando la Regla de Barrow:

$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$

Explica brevemente por qué es necesario dividir el intervalo de integración para resolver este ejercicio.

Calcula el valor de la integral definida de la siguiente función definida a trozos en el intervalo $[0, 2]$:

$$f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ \frac{e^2}{x} & \text{si } 1 < x \le 2 \end{cases}$$

Comprueba previamente si la función es continua en $x = 1$ para asegurar que es integrable.

Dada la función $f(x) = x^2 - 4$, considera la función integral $H(x) = \int_{0}^{x} |f(t)| \, dt$.

1. a) Expresa $H(x)$ como una función definida a trozos para valores de $x \in [0, 5]$.
2. b) Estudia la derivabilidad de $H(x)$ en el punto $x = 2$. ¿Es aplicable directamente el Teorema Fundamental del Cálculo en ese punto?
3. c) Utiliza la Regla de Barrow para calcular el valor exacto de $H(3)$.

El logotipo de una nueva marca de ropa urbana está delimitado por las gráficas de las funciones $f(x) = \operatorname{sen}(\pi x)$ y $g(x) = ax$, con $a > 0$, en el primer cuadrante.

1. a) Determina el valor de $a$ para que la recta $y = ax$ pase por el máximo relativo de la función $f(x)$ en el intervalo $[0, 1]$.
2. b) Para el valor de $a$ hallado, calcula mediante la Regla de Barrow el área de la región encerrada entre ambas gráficas.

Halla el valor medio de la función $f(x) = \sqrt{x+1}$ en el intervalo $[0, 3]$ y determina el punto $c \in (0, 3)$ cuya existencia garantiza el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. Interpreta el resultado geométricamente.

Calcula el valor del siguiente límite utilizando la Regla de L'Hôpital y el Teorema Fundamental del Cálculo:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \left( e^{t^2} - 1 \right) \, dt}{x^6}$$

Explica razonadamente cada paso, justificando la derivación de la función integral.