Aplicaciones de la integral definida
En un viaje por carretera a través de Texas, la familia de Aaliyah pierde la lectura del odómetro, pero la computadora del carro sigue registrando la velocidad en cada instante. ¿Puedes recuperar cuánto manejaron usando solo la velocidad? Ya sabes calcular una integral definida. Ahora la usarás en problemas reales: áreas, distancia, cantidades acumuladas, parámetros desconocidos y volúmenes.
Cambio neto y el teorema fundamental
El teorema fundamental del cálculo (TFC) convierte las integrales en restas. Si $F'(x) = f(x)$ y $f$ es continua en $[a, b]$, entonces
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$¿Por qué funciona? $F'$ es la razón a la que cambia $F$. Si sumas todos los cambios diminutos $F'(x)\,dx$ de $a$ a $b$, obtienes el cambio total $F(b) - F(a)$. Este es el teorema del cambio neto. La $+C$ nunca importa, porque se cancela en la resta.
Esta es la caja de herramientas de antiderivadas que usarás en toda la página.
| Función | Antiderivada |
|---|---|
| $x^n \ (n \ne -1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln\lvert x\rvert$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x$ |
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow: $$\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$$ <br>
Calcula el valor de la siguiente integral definida aplicando la Regla de Barrow:
$$\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x + 5) \, dx$$La velocidad de un carro a control remoto (en $m/s$) viene dada por la función $v(t) = 2t + 1$. Determina la distancia total recorrida por el carro entre los instantes…
La velocidad de un carro a control remoto (en $m/s$) viene dada por la función $v(t) = 2t + 1$. Determina la distancia total recorrida por el carro entre los instantes $t = 1$ s y $t = 4$ s calculando la integral definida de la velocidad.
Una empresa de componentes electrónicos ha determinado que el costo marginal de producir $x$ unidades de un sensor es $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ dólares por unidad.…
Una empresa de componentes electrónicos ha determinado que el costo marginal de producir $x$ unidades de un sensor es $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ dólares por unidad. Calcula el incremento total del costo al aumentar la producción de $10$ a $20$ sensores.
Desplazamiento frente a distancia total
Supón que una partícula se mueve sobre una recta con velocidad $v(t)$. La velocidad puede ser negativa (movimiento hacia atrás), así que hay dos preguntas distintas:
-
Desplazamiento (cambio neto de posición): $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$. El movimiento hacia atrás cancela el movimiento hacia adelante.
-
Distancia total recorrida: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$. Todo el movimiento cuenta como positivo.
Para calcular la segunda, halla dónde $v(t) = 0$ en el intervalo, revisa el signo de $v$ en cada tramo e integra tramo por tramo. En los tramos donde $v < 0$, pon un signo menos delante.
Un vehículo autónomo se desplaza en línea recta y su velocidad (en pies/s) viene dada por la función $v(t) = t^2 - 6t + 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula…
Un vehículo autónomo se desplaza en línea recta y su velocidad (en pies/s) viene dada por la función $v(t) = t^2 - 6t + 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la distancia total recorrida por el vehículo entre el instante $t = 0$ y $t = 5$. Nota: Ten en cuenta que la distancia es la integral del valor absoluto de la velocidad.
Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta. Su velocidad en pies por segundo viene dada por la función con valor absoluto: $v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ para…
Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta. Su velocidad en pies por segundo viene dada por la función con valor absoluto:
$v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ para $t \in [0, 6]$ segundos.
- a) Determina la distancia total recorrida por el dron durante los primeros 6 segundos.
- b) Calcula el valor del tiempo $T \in (0, 6)$ tal que la distancia recorrida en el intervalo $[0, T]$ sea exactamente la mitad de la distancia total calculada en el apartado anterior.
Área entre una curva y el eje x
Algunos problemas escriben los ejes como $OX$ y $OY$; son simplemente el eje $x$ y el eje $y$. El área entre $y = f(x)$ y el eje $x$ en $[a, b]$ es
$$\text{Área} = \int_a^b |f(x)|\,dx$$La integral $\int_a^b f(x)\,dx$ es un área con signo: las regiones sobre el eje cuentan como positivas y las que están debajo, como negativas. El área nunca es negativa, así que cambias el signo de los tramos que están debajo del eje.
Procedimiento:
-
Haz un bosquejo de la gráfica, o halla los ceros $f(x) = 0$ para ver dónde cruza el eje.
-
Divide $[a, b]$ en esos ceros. Si el problema no da límites, los ceros son los límites.
-
Integra cada tramo y toma su valor absoluto. Luego suma.
Un diseñador gráfico está trazando el contorno de un logotipo que sigue la curva $f(x) = e^x$. Calcula el área encerrada bajo dicha curva, el eje $OX$ y las rectas…
Un diseñador gráfico está trazando el contorno de un logotipo que sigue la curva $f(x) = e^x$. Calcula el área encerrada bajo dicha curva, el eje $OX$ y las rectas verticales $x = 0$ y $x = \ln(3)$.
Calcula el área del recinto plano limitado por la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y el eje de abscisas ($OX$). Nota: Recuerda hallar primero los puntos de corte de la…
Calcula el área del recinto plano limitado por la parábola $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y el eje de abscisas ($OX$). Nota: Recuerda hallar primero los puntos de corte de la función con el eje.
Un estudio de diseño está proyectando el logotipo para una nueva empresa de tecnología. La base del logo está delimitada por la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de…
Un estudio de diseño está proyectando el logotipo para una nueva empresa de tecnología. La base del logo está delimitada por la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas $OX$. Calcula el área total de las dos regiones cerradas que forma la curva con el eje.
Área entre dos curvas
Cuando una región queda entre dos gráficas, córtala en franjas verticales delgadas. En cada $x$, la altura de la franja es superior menos inferior.
Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = 6 - x^2$ y $g(x) = 2$. <br>
Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones $f(x) = 6 - x^2$ y $g(x) = 2$.
Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 5x$ y $g(x) = x + 2$. Representa gráficamente el recinto antes de…
Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 5x$ y $g(x) = x + 2$. Representa gráficamente el recinto antes de realizar el cálculo.
Considera el recinto limitado por las curvas $y = e^x$, $y = e^{-x}$ y la recta vertical $x = \ln(2)$. a) Dibuja un esquema del recinto. b) Calcula el área de dicho…
Considera el recinto limitado por las curvas $y = e^x$, $y = e^{-x}$ y la recta vertical $x = \ln(2)$.
- a) Dibuja un esquema del recinto.
- b) Calcula el área de dicho recinto.
Cuando cambian las fronteras
Haz primero un bosquejo. Muchas regiones requieren uno de tres trucos.
Truco 1: la curva superior (o inferior) cambia. Divide la integral donde cambia la frontera. Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, divide en el cruce y conserva superior menos inferior en cada tramo.
Truco 2: la región está acotada por una recta tangente. Primero halla la recta tangente con $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. Luego trátala como cualquier otra curva.
Truco 3: integra respecto a $y$. Si las franjas verticales necesitaran varios tramos, usa franjas horizontales. Despeja $x$ en cada frontera, y el ancho de una franja es derecha menos izquierda:
$$\text{Área} = \int_c^d \big[x_{\text{derecha}}(y) - x_{\text{izquierda}}(y)\big]\,dy$$Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^2 - 4x + 5$, la recta tangente a dicha curva en el punto $(3, f(3))$ y el eje de ordenadas $OY$.
Halla el área del recinto limitado por la curva $f(x) = x^2 - 4x + 5$, la recta tangente a dicha curva en el punto $(3, f(3))$ y el eje de ordenadas $OY$.
Calcula el área de la región del primer cuadrante encerrada por las gráficas de $f(x) = \frac{8}{x}$, la recta $y = x$ y la recta $y = 4$.
Calcula el área de la región del primer cuadrante encerrada por las gráficas de $f(x) = \frac{8}{x}$, la recta $y = x$ y la recta $y = 4$.
Una empresa de diseño gráfico crea un logotipo utilizando la zona común a las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo…
Una empresa de diseño gráfico crea un logotipo utilizando la zona común a las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo $x \in [0, \pi]$.
- a) Determina los puntos de corte de ambas funciones en dicho intervalo.
- b) El logotipo se divide en dos regiones mediante el eje de abscisas $OX$. Calcula el área de la región del logotipo que queda por encima del eje $OX$.
- c) Justifica si el área total del logotipo (considerando valores absolutos) es simétrica respecto a algún valor de $x$ en el intervalo dado.
Atajos de simetría
A veces puedes hallar una integral sin encontrar ninguna antiderivada.
Sin realizar el cálculo de la primitiva, justifica utilizando las propiedades de la integral definida por qué el valor de la siguiente integral es igual a $0$:…
Sin realizar el cálculo de la primitiva, justifica utilizando las propiedades de la integral definida por qué el valor de la siguiente integral es igual a $0$:
$$\int_{-2}^{2} (x^5 + \sin(x)) \, dx$$Funciones definidas por una integral
Una función de acumulación tiene la forma $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$. Registra cuánto se ha acumulado de $a$ a $x$.
Nunca necesitas una antiderivada de $f$ para derivar $F$, así que $F'$, las rectas tangentes y la forma de la gráfica salen casi gratis. Para obtener $F(x_0)$, un buen truco es buscar el $x_0$ donde los dos límites son iguales, porque entonces $F(x_0) = 0$.
Algunos problemas piden "la ecuación de la recta tangente a $F$ en $x_0$". Para eso necesitas $F(x_0)$ y $F'(x_0)$.
También puedes analizar $F$ como cualquier función: $F'$ da los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos, y $F''$ da la concavidad y los puntos de inflexión.
Límites que involucran una integral
Si $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ con $f$ continua, entonces $F(0) = 0$ y $F'(x) = f(x)$. Por lo tanto, un límite como $\lim_{x\to 0} \dfrac{F(x)}{x^2}$ es de la forma $\dfrac00$ y se aplica la regla de L'Hôpital. Enuncia las hipótesis en tu solución. Ambas funciones deben ser derivables cerca del punto, la forma debe ser $\frac00$ o $\frac{\infty}{\infty}$, la derivada del denominador debe ser distinta de cero cerca del punto, y el límite del cociente de las derivadas debe existir.
Cuando el numerador es un producto, como en $x\cdot\int_0^x g(t)\,dt$, derívalo con la regla del producto. Quizá necesites la regla de L'Hôpital más de una vez. Si ves un $\cos(x^2)$ o algo similar en el denominador, usa la regla de la cadena al derivarlo.
Dada la función integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar el valor de su derivada en el punto $x = 4$,…
Dada la función integral $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para hallar el valor de su derivada en el punto $x = 4$, es decir, calcula $F'(4)$.
Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral: $F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$ Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de…
Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral:
$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F(x)$ en el punto de abscisa $x = \sqrt{3}$.
Sea la función $f(x)$ definida por la siguiente expresión que involucra una integral: $F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$ Se pide determinar razonadamente: a)…
Sea la función $f(x)$ definida por la siguiente expresión que involucra una integral:
$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$
Se pide determinar razonadamente:
- a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $F(x)$ en todo su dominio.
- b) La abscisa de los puntos donde $F(x)$ alcanza sus extremos relativos, clasificándolos en máximos o mínimos.
- c) ¿Presenta la función $F(x)$ algún punto de inflexión en el intervalo $(0, +\infty)$? Justifica la respuesta utilizando la segunda derivada.
Calcula el valor del siguiente límite aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de L'Hôpital:…
Calcula el valor del siguiente límite aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de L'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt}{1 - \cos(x^2)}$
Indica detalladamente los pasos seguidos y las hipótesis necesarias para la aplicación de cada teorema.
Cómo hallar un parámetro desconocido
A veces se da el área y la incógnita es una constante de la función o de un límite. El método siempre es el mismo:
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Plantea la integral con la incógnita adentro. Los límites suelen ser funciones de la incógnita.
-
Evalúa la integral con el TFC.
-
Iguala el resultado al valor dado y resuelve.
Determina el valor del parámetro positivo $k > 0$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = kx^2$ y la recta $y = 4$ sea exactamente de $16$ unidades…
Determina el valor del parámetro positivo $k > 0$ para que el área del recinto limitado por la parábola $y = kx^2$ y la recta $y = 4$ sea exactamente de $16$ unidades cuadradas.
Un equipo de ingenieros está diseñando el arco de entrada a un túnel tecnológico. La forma del arco superior viene dada por la función $f(x) = 4 - x^2$ para…
Un equipo de ingenieros está diseñando el arco de entrada a un túnel tecnológico. La forma del arco superior viene dada por la función $f(x) = 4 - x^2$ para $x \in [-2, 2]$. Para reforzar la estructura, se debe trazar una línea recta $y = k$ (donde $0 < k < 4$) de tal manera que el área de la sección superior (por encima de la línea de refuerzo) sea exactamente el doble del área de la sección inferior (entre la línea de refuerzo y el suelo, situado en el eje $OX$).
Calcula el valor exacto de la constante $k$ que cumple dicha condición.
Volúmenes de sólidos de revolución
Cuando una región gira alrededor de una recta, cada rebanada delgada se convierte en un disco o una arandela (un disco con un hueco).
Algunos problemas piden primero el área y después el volumen, como en las tareas de "plantea, pero no evalúes". Haz un bosquejo de la región, halla los puntos de intersección, decide entre $dx$ y $dy$, y luego escribe $R$ y $r$.
Considera la región del plano $R$ limitada por la curva $y = \ln(x)$, la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x = e$, y el eje de abscisas $OX$. a) Halla…
Considera la región del plano $R$ limitada por la curva $y = \ln(x)$, la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x = e$, y el eje de abscisas $OX$.
- a) Halla la ecuación de la recta tangente mencionada.
- b) Calcula el área del recinto $R$.
- c) Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar el recinto $R$ alrededor del eje $OX$.
Se desea fabricar una pieza metálica cuya sección transversal está delimitada por las curvas $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ y el eje de ordenadas $OY$. a) Representa…
Se desea fabricar una pieza metálica cuya sección transversal está delimitada por las curvas $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ y el eje de ordenadas $OY$.
- a) Representa gráficamente el recinto y determina sus puntos de intersección.
- b) Calcula el área de dicha sección.
- c) Si la pieza se obtiene rotando este recinto alrededor del eje de ordenadas $OY$, plantea (sin necesidad de calcular) la integral o suma de integrales que proporcionaría el volumen de la pieza.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, considera el recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, su asíntota horizontal y las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$.…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$, considera el recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, su asíntota horizontal y las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$.
- a) Identifica la ecuación de la asíntota horizontal de la función.
- b) Calcula el área de dicho recinto.
- c) Determina el volumen del sólido generado al girar este recinto alrededor de su propia asíntota horizontal.
(Ayuda: Realiza un cambio de variable o traslación para facilitar el cálculo del volumen).
Volvamos al principio: el registro de velocidad de Aaliyah es una razón, y la distancia es su integral. Como la rapidez nunca es negativa, la distancia manejada es el área bajo la gráfica de la rapidez, $\int_a^b |v(t)|\,dt$.