Priya deriva $\sin(x^2)$ con la regla de la cadena y obtiene $2x\cos(x^2)$. Luego te pide que hagas el camino inverso: ¿cuánto es $\displaystyle\int x\cos(x^2)\,dx$? Ninguna de las fórmulas básicas de antiderivadas sirve, porque dentro del coseno hay $x^2$, no $x$. El truco es leer la regla de la cadena al revés. Responderemos su pregunta en la siguiente sección.
Leer la regla de la cadena al revés
La regla de la cadena dice que si $F' = f$, entonces
Si la usas al revés, obtienes una manera de hallar antiderivadas. (En algunos problemas a la antiderivada se le llama primitiva; es lo mismo.)
La clave de cada patrón es encontrar una función interior $g(x)$ cuya derivada $g'(x)$ también aparezca como factor.
La gráfica muestra $x\cos(x^2)$ junto con $\tfrac12\sin(x^2)$. La pendiente de la segunda curva en cada punto es igual a la altura de la primera.
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A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelva la siguiente integral eligiendo el…
A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelva la siguiente integral eligiendo el cambio $t = x^2 + 3$:
Determine la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde…
Determine la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde el diferencial $dt$ consume parte de la expresión original.
Cuando el patrón no es obvio a simple vista, escribe la sustitución. Al llamar $u$ a la función interior puedes controlar todo, incluido $dx$.
Ahora podemos responder la pregunta de Priya del inicio.
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Calcule la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observe cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador…
Calcule la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observe cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador facilita la resolución:
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la…
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la integral de una potencia compuesta. Calcule la siguiente primitiva utilizando el cambio de variable $t = 3x - 5$:
Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtenga la primitiva de la siguiente función…
Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtenga la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable sugerido $t = 2x + 1$:
Un caso muy común es una función interior de la forma $u=ax+b$. Entonces $du=a\,dx$, así que $dx=\dfrac{1}{a}\,du$. La constante $\tfrac1a$ simplemente se queda como factor.
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En el diseño de una rampa para un parque de patinaje, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halle la familia de funciones primitivas de la…
En el diseño de una rampa para un parque de patinaje, se utiliza una curva exponencial para suavizar la transición. Halle la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión utilizando la sustitución $u = \frac{x}{2}$:
Un programador de videojuegos está calculando la trayectoria oscilatoria de un proyectil en una atmósfera con resistencia. Determine la primitiva de la siguiente función…
Un programador de videojuegos está calculando la trayectoria oscilatoria de un proyectil en una atmósfera con resistencia. Determine la primitiva de la siguiente función trigonométrica mediante el cambio $t = 4x$:
Calcule la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerde que este método le permitirá obtener una integral de…
Calcule la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerde que este método le permitirá obtener una integral de tipo logarítmico de forma más estructurada.
¿Qué parte debe ser $u$? Busca la función interior cuya derivada también esté en el integrando.
Si ves...
prueba $u=$
porque $du$ es...
$\dfrac{1}{x}$ junto con $\ln x$
$\ln x$
$\dfrac{1}{x}\,dx$
$\cos x$ junto con una función de $\sin x$
$\sin x$
$\cos x\,dx$
$\sin x$ junto con una función de $\cos x$
$\cos x$
$-\sin x\,dx$
una raíz $\sqrt{\ \cdot\ }$ de una expresión
la expresión bajo la raíz
su derivada por $dx$
$e^x$ en el numerador
$e^x$ o el exponente
$e^x\,dx$
Dos integrales estándar aparecen constantemente después de una sustitución:
$$\int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt u + C \qquad\qquad \int\frac{du}{1+u^2}=\arctan u+C$$
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Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcule la siguiente…
Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcule la siguiente integral indefinida aplicando el cambio de variable $t = \ln x$:
Un dron de vigilancia se desplaza de modo que su velocidad en cada instante $t > 1$ viene dada por la función $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si se sabe que la…
Un dron de vigilancia se desplaza de modo que su velocidad en cada instante $t > 1$ viene dada por la función $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si se sabe que la posición es la integral de la velocidad, halle la expresión de la distancia recorrida mediante el cambio $u = \ln t$:
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halle la primitiva de la siguiente…
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halle la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable $t = \cos x$:
A veces $du$ no explica todas las $x$ del integrando, por ejemplo $\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x+3}}\,dx$. La solución es despejar $x$ de tu sustitución y reescribir todo en la nueva variable.
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En el diseño de una rampa para un parque de patinaje, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere…
En el diseño de una rampa para un parque de patinaje, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la siguiente integral. Utilice el cambio de variable $t^2 = x + 3$ para calcular la familia de funciones primitivas de:
Halle la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable…
Halle la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable $t = \sqrt{x - 1}$ para simplificar la expresión:
Un equipo de arquitectos está modelando la curvatura de un nuevo túnel cuya sección transversal responde a la integral: $$\int \frac{1}{1 + \sqrt{x+1}} dx$$ Calcula la…
Un equipo de arquitectos está modelando la curvatura de un nuevo túnel cuya sección transversal responde a la integral:
$$\int \frac{1}{1 + \sqrt{x+1}} dx$$
Calcula la primitiva general utilizando la sustitución $t = \sqrt{x+1}$.
Cuando el integrando es una expresión racional en $e^x$, sea $t=e^x$. Entonces $dt=e^x\,dx=t\,dx$, así que $dx=\dfrac{dt}{t}$, y $e^{2x}=t^2$.
Si hay una raíz como $\sqrt{e^x+k}$, sea $t$ la raíz misma. Entonces $t^2=e^x+k$, así que $e^x=t^2-k$ y
$$x=\ln(t^2-k),\qquad dx=\frac{2t}{t^2-k}\,dt.$$
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Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar…
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar el siguiente cociente. Calcule la primitiva utilizando el cambio de variable $t = e^x$:
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$. Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial…
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$.
Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial $dx$ con cuidado.
Integrales trigonométricas: potencias impares y funciones racionales
Dos situaciones aparecen con frecuencia.
Potencia impar de seno o coseno. Separa un factor y convierte el resto en la otra función con $\sin^2x+\cos^2x=1$. Entonces $u$ es la otra función.
Función trigonométrica que se vuelve racional. Si está presente $\cos x\,dx$ y todo lo demás es una función de $\sin x$, sea $u=\sin x$. Obtienes una integral racional que puedes resolver con fracciones parciales.
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Calcule la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Preste atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de…
Calcule la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Preste atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de $\cos x$ utilizando la identidad fundamental de la trigonometría:
En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por: $$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2…
En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por:
$$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x - 5\operatorname{sen} x + 6} dx$$
Realiza el cambio de variable adecuado para transformar esta integral trigonométrica en una integral racional y resuélvela mediante descomposición en fracciones simples.
Si un integrando contiene tanto $\sqrt{x}$ como $\sqrt[3]{x}$, una sola sustitución debe eliminar ambas raíces. Toma $x=t^n$, donde $n$ es el mcm de los índices. Para los índices 2 y 3, $n=6$, así que $x=t^6$ y $dx=6t^5\,dt$. Entonces $\sqrt{x}=t^3$ y $\sqrt[3]{x}=t^2$.
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Calcule la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utilice un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común…
Calcule la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utilice un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces:
Determina la familia de primitivas de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$. Pista: Utiliza un cambio de variable de la forma $x = t^n$, donde $n$ sea el…
Determina la familia de primitivas de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.
Pista: Utiliza un cambio de variable de la forma $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces presentes en la expresión.
Una integral indefinida da toda una familia de funciones, una por cada valor de $C$. Si el problema dice que la función pasa por un punto (o da una posición inicial), sustituye ese punto para hallar $C$.
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Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y…
Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y recuerda deshacer el cambio al finalizar el proceso.
La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el…
La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el instante inicial de la medición ($t=1$) el dron se encontraba en la posición $s=0$, obtén la función de posición $s(t)$ mediante el cambio de variable $u = \ln t$.
Algunas integrales necesitan más de una sustitución. Después de la primera, mira otra vez la nueva integral. Si todavía tiene una función interior y su derivada, sustituye de nuevo.
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Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento de alta intensidad:
$$\int \frac{1}{x \sqrt{1+\ln x}} dx$$
Para resolverla, propón un cambio de variable que elimine la raíz cuadrada del denominador.
Resuelva la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado: $$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$ Indique…
Resuelva la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado:
$$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$
Indique paso a paso los dos cambios de variable sucesivos que realizaría para simplificar la expresión hasta convertirla en una integral inmediata.