Límites al infinito

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina, de forma visual, el valor de los límites en el infinito. Indica también la ecuación de la asíntota horizontal si existe.

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Calcula el límite de la siguiente función polinómica cuando la variable independiente crece indefinidamente:

$$\lim_{x \to +\infty} (-3x^4 + 5x^2 - 10x + 1)$$

Explica en qué término te has basado para determinar el resultado y por qué los demás términos no influyen en el valor del límite.

Determina el valor de los siguientes límites basándote en la comparación de los grados de los polinomios:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 1}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 5}$

Una empresa de reciclaje de componentes electrónicos estima que el costo total (en miles de dólares) para procesar $x$ toneladas de material viene dado por la función:

$$C(x) = \frac{12x + 45}{3x + 2}$$

¿A qué valor tiende el costo por tonelada cuando la cantidad de material procesado es extremadamente grande? Interpreta el resultado en términos de "economía de escala".

El número de seguidores de un nuevo "influencer" en una red social, medido en miles, evoluciona según la función:

$$S(t) = \frac{100t^2}{2t^2 + 50}$$

donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde que abrió su cuenta. Dibuja un esquema de la situación y calcula cuántos seguidores tendrá a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).

Un servidor de videojuegos ha estimado que el número de usuarios conectados simultáneamente durante el primer año sigue la función $U(t) = \dfrac{500t^2 + 1000}{0,2t^2 + 5}$, donde $t$ es el tiempo en meses.

1. a) ¿Qué ocurre con el número de usuarios si el tiempo crece indefinidamente?
2. b) Interpreta el resultado en términos de asíntotas horizontales.

Dada la función racional $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$, calcula los valores de los parámetros reales $a$ y $k$ sabiendo que la función tiene una asíntota horizontal en $y = 3$ y que su gráfica pasa por el punto $(1, -2)$. Una vez hallados, comprueba si el límite cuando $x \to -\infty$ coincide con el límite cuando $x \to +\infty$.

Calcula el límite de la siguiente función racional que contiene radicales, simplificando la expresión mediante el uso de potencias efectivas:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 5}}{2x - 1}$$

Calcula el límite de la siguiente función cuando la variable $x$ tiende a $+\infty$. Para resolverlo, identifica primero el término dominante tanto en el numerador como en el denominador:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^4 + 2x^2 - 1}}{2x^2 - 5x + 3}$$

Calcula el límite cuando $x \to -\infty$ de la siguiente función. Presta especial atención al tratamiento de los signos cuando la variable negativa sale o entra en una raíz de índice par:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$$

Estudia el límite en el infinito negativo de la siguiente función racional que contiene un valor absoluto y una raíz cuadrada:

$$f(x) = \frac{|3x - 2| + \sqrt{x^2 + 5x}}{2x - 7}$$

Es decir, calcula $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Ten especial cuidado con el signo de la variable $x$ al introducir o extraer factores de la raíz cuadrada y al deshacer el valor absoluto.

Halla el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x - 1} - ax - b \right) = 0$$

Este tipo de límite es fundamental para el cálculo de las asíntotas oblicuas que estudiarás en temas posteriores.

Dada la función $f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + 1}{2x^2 - 4}$, determina los valores de los coeficientes reales $a$ y $b$ sabiendo que la función tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es $m = 3$ y que el límite de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$ después de restarle su componente de pendiente (es decir, el término $n$ de la asíntota $y=mx+n$) es $4$.

En otras palabras, resuelve para $a$ y $b$ sabiendo que:

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 3$

2. $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - 3x] = 4$

Calcula el valor de la siguiente expresión límite, resolviendo la indeterminación $\infty - \infty$ mediante la simplificación a una sola fracción y el estudio de los grados de los polinomios:

$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{2x^2 + 5}{x - 1} - \frac{2x^3 - 3x}{x^2 + 1} \right]$$

Una vez obtenida la forma racional simple, indica si la función presenta una asíntota horizontal u oblicua basándote en el resultado del límite.

Dadas las funciones $f(x) = 2^x$ y $g(x) = x^{10} + 500x^2$, razona cuál de las dos funciones crece más rápidamente cuando $x \to +\infty$ utilizando la escala de infinitos. A partir de tu respuesta, deduce el valor del siguiente límite:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500x^2}{2^x}$$

Dadas las funciones $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ y $h(x) = \ln(x)$, ordena los siguientes límites de menor a mayor valor según el orden de magnitud de los infinitos involucrados cuando $x \to +\infty$:

1. $L_1 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{f(x)}$

2. $L_2 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{h(x)}$

3. $L_3 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{f(x)}$

Se está analizando la propagación de una noticia falsa en una red social. El número de usuarios afectados $N(t)$ tras $t$ horas viene dado por la función:

$$N(t) = \frac{e^{0,5t} + 10t^4}{2e^{0,5t} + \ln(t^2 + 1)}$$

Determina el comportamiento de la función a largo plazo, es decir, calcula $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Justifica tu respuesta basándote en la comparación de órdenes de infinitos (exponencial frente a polinómica y logarítmica).

Completa la siguiente tabla de valores para la función $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ y utiliza los resultados obtenidos para conjeturar a qué número famoso tiende la función cuando $x$ se hace muy grande.

$x$	$10$	$100$	$1000$	$10000$
$f(x)$	$2,5937$	$2,7048$	$2,7169$	$2,7181$

Escribe el resultado utilizando la notación de límites:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \dots$$

Determina el valor del siguiente límite utilizando la relación con el número $e$. Debes transformar la expresión para que aparezca la forma de la definición de dicha constante:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x - 1} \right)^{x+3}$$

Halla el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el siguiente límite de tipo $1^\infty$ sea igual a $\sqrt[3]{e^2}$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 + kx - 1}{3x^2 + 2} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}$$

Asegúrate de aplicar correctamente la fórmula para la resolución de la indeterminación del tipo número $e$.

Resuelve el siguiente límite que involucra una diferencia de funciones irracionales. Recuerda utilizar la técnica del conjugado para deshacer la indeterminación de tipo $[\infty - \infty]$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - \sqrt{x^2 - 3x} \right)$$

Un prototipo de motor de propulsión iónica para satélites tiene un consumo de energía $E(x)$ en julios que depende de la velocidad $x$ (en millas/s) según la expresión:

$$E(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 2} - x$$

Calcula la energía límite que consume el motor cuando la velocidad tiende a infinito. Interpreta gráficamente si el consumo se estabiliza o si sigue creciendo indefinidamente mediante el cálculo de la asíntota horizontal si existiera.

Calcula los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se verifique la siguiente igualdad en el infinito:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + ax + 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + b} \right) = \frac{5}{4}$$

Para resolverlo, considera el uso de la expresión conjugada y el análisis de los términos dominantes en el numerador y denominador resultantes.

Calcula el límite de la sucesión de funciones dada por la siguiente raíz anidada:

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$$

Este ejercicio requiere un uso preciso de la técnica de la conjugada y un análisis cuidadoso de la potencia dominante dentro de los radicales.