Tu familia maneja 150 millas por Texas en exactamente 2 horas, así que su velocidad promedio es 75 mph. Nunca miraste el velocímetro. ¿Tuvo que marcar exactamente 75 mph en algún momento del viaje? ¿Y podría un policía estatal demostrarlo sin haber visto tu carro en ese momento?
En esta sección la derivada se usa de una forma nueva. No calcula un número directamente. Garantiza que existe un punto especial: una tangente horizontal, o un instante en que la velocidad es igual a la velocidad promedio. Volveremos al viaje cuando tengamos la herramienta.
Teorema de Rolle
Empecemos con la imagen más sencilla. Una función empieza a cierta altura y termina a la misma altura. En el camino tiene que dar la vuelta, y en el punto de giro la recta tangente es horizontal.
¿Por qué es cierto? Una función continua en un intervalo cerrado alcanza un máximo y un mínimo en él. Si ambos ocurren en los extremos, entonces $f$ es constante y $f' = 0$ en todas partes. Si no, uno de ellos ocurre dentro del intervalo, y en un extremo interior de una función derivable la tangente es horizontal.
Antes de usar el teorema, haz esta verificación de tres partes y escríbela.
$f$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$.
$f$ es derivable en el intervalo abierto $(a, b)$.
$f(a) = f(b)$. Calcula tú mismo ambos valores.
A veces la condición de extremos iguales es una ecuación que debes resolver para hallar una constante desconocida.
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Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, compruebe si se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[2, 4]$. En caso afirmativo, halle el valor…
Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, compruebe si se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[2, 4]$. En caso afirmativo, halle el valor del punto $c \in (2, 4)$ cuya existencia asegura el teorema.
Considera la función $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función cumpla la condición $f(1) = f(5)$ y se pueda aplicar…
Considera la función $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función cumpla la condición $f(1) = f(5)$ y se pueda aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo $[1, 5]$. Una vez hallado $k$, calcula el valor de $c$ donde la derivada se anula.
Dada la función $f(x) = \sin(x)$, verifica que se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[0, \pi]$. Halla el valor de $c$ que satisface la tesis del…
Dada la función $f(x) = \sin(x)$, verifica que se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[0, \pi]$. Halla el valor de $c$ que satisface la tesis del teorema y represéntalo esquemáticamente en un círculo unitario o sobre la gráfica de la función.
Los tres teoremas de esta página comienzan con las mismas dos hipótesis, así que verificarlas es la habilidad más importante. Aquí tienes una guía rápida.
Los polinomios, $e^x$, $\sin x$ y $\cos x$ son continuos y derivables en todas partes.
Las funciones racionales son continuas y derivables donde el denominador no es $0$.
$\ln x$ y $\sqrt{x}$ necesitan $x > 0$. Verifica siempre que todo el intervalo esté dentro del dominio.
$|x|$ es continua pero tiene un pico en $0$, así que no es derivable ahí.
Funciones definidas por partes
En el punto $x = k$ donde cambia la fórmula, necesitas dos verificaciones separadas.
Continuidad: la pieza izquierda y la pieza derecha dan el mismo valor en $x = k$.
Derivabilidad: las dos fórmulas de la derivada, evaluadas en $x = k$, dan el mismo número (derivadas laterales iguales). Los valores iguales por sí solos solo dan una gráfica continua, y aún podría tener un pico.
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Explica razonadamente por qué no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función $f(x) = 1 - |x-1|$ en el intervalo $[0, 2]$, a pesar de que $f(0) = f(2) = 0$. ¿Qué…
Explica razonadamente por qué no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función $f(x) = 1 - |x-1|$ en el intervalo $[0, 2]$, a pesar de que $f(0) = f(2) = 0$. ¿Qué hipótesis falla en este caso?
Muchos problemas dejan una constante o un extremo desconocido y te piden que hagas que funcione el teorema de Rolle. El método: convierte cada hipótesis en una ecuación.
La continuidad en una unión da una ecuación.
Las derivadas laterales iguales en una unión dan otra.
$f(a) = f(b)$ da una tercera.
Resuelve el sistema. (Aquí llamamos a las incógnitas $p, q, r$ para no confundirlas con el punto $c$.)
Elección del intervalo
Si el intervalo tiene un extremo desconocido, iguala $f(a) = f(b)$ y resuelve.
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Sea la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x \le 1 \\ \ln(x) + c & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Calcule los valores de los…
Sea la función definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x \le 1 \\ \ln(x) + c & \text{si } x > 1 \end{cases}$$
Calcule los valores de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[0, e]$. Una vez hallados los parámetros, determine el valor del punto $c \in (0, e)$ cuya existencia garantiza el teorema.
Se considera la función $f(x) = x^3 - 3x + m$. a) Determine para qué valores del parámetro $m$ la función cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en un intervalo de la…
Se considera la función $f(x) = x^3 - 3x + m$.
a) Determine para qué valores del parámetro $m$ la función cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en un intervalo de la forma $[0, a]$ con $a > 0$.
b) Para $m = 0$, halle el mayor intervalo posible $[p, q]$ donde se pueda aplicar el teorema y calcule el punto $c$ cuya existencia se asegura.
¿Y si los extremos no están a la misma altura? Entonces la gráfica aún se puede inclinar de modo que una recta tangente sea paralela a la recta que une los extremos.
El teorema de Rolle es el caso especial en que $f(a) = f(b)$: la secante es horizontal, así que la pendiente es $0$.
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Aplica el Teorema del Valor Medio (de Lagrange) a la función $f(x) = x^2 - x$ en el intervalo $[0, 2]$. Halla el valor del punto $c$ cuya existencia garantiza el teorema…
Aplica el Teorema del Valor Medio (de Lagrange) a la función $f(x) = x^2 - x$ en el intervalo $[0, 2]$. Halla el valor del punto $c$ cuya existencia garantiza el teorema y explica gráficamente qué relación tiene la recta tangente en $c$ con la recta secante que pasa por los extremos del intervalo.
Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$. Halle un punto en la gráfica de la función donde la recta tangente sea paralela a la cuerda que une los puntos de la…
Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$.
Halle un punto en la gráfica de la función donde la recta tangente sea paralela a la cuerda que une los puntos de la curva con abscisas $x=0$ y $x=4$. ¿Qué teorema garantiza que dicho punto existe? Enuncie sus hipótesis y compruebe que se cumplen.
El TVM promete solo un valor específico: la pendiente $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. No dice que una recta tangente pueda tener cualquier pendiente que quieras.
Para demostrar que $f'$ toma otro valor, usa el teorema del valor intermedio (TVI) sobre la función $f'$.
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Se sabe que una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[1, 5]$ y derivable en el abierto $(1, 5)$. Si los valores de la función en los extremos son…
Se sabe que una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[1, 5]$ y derivable en el abierto $(1, 5)$. Si los valores de la función en los extremos son $f(1) = 10$ y $f(5) = 30$, ¿podemos asegurar que existe algún punto $c$ en el intervalo donde la pendiente de la recta tangente sea igual a $5$? Justifica tu respuesta utilizando el Teorema del Valor Medio.
Sea la función $f(x) = x \cdot e^{x^2-1}$. a) Compruebe que $f(x)$ verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[0, 1]$. b) ¿Existe algún punto en…
Sea la función $f(x) = x \cdot e^{x^2-1}$.
a) Compruebe que $f(x)$ verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[0, 1]$.
b) ¿Existe algún punto en dicho intervalo donde la pendiente de la recta tangente sea igual a $e-1$? Justifique su respuesta utilizando el teorema.
Si $s(t)$ es la posición de un objeto en movimiento, la velocidad promedio en $[t_1, t_2]$ es la pendiente de una secante y la velocidad instantánea es $s'(t)$. El TVM se convierte en una afirmación sobre el movimiento.
De vuelta al viaje. Durante las 2 horas de manejo la velocidad promedio fue $\tfrac{150}{2} = 75$ mph. La función de posición es continua y derivable, así que por el TVM hubo un instante en que el velocímetro marcó exactamente 75 mph. La misma idea explica por qué una autopista de peaje que registra tus horas de entrada y salida puede demostrar que ibas a exceso de velocidad aunque ningún radar te haya visto.
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Un corredor de maratón entrena en una pista recta. Su posición (en pies) respecto al punto de salida viene dada por la función $s(t) = t^2 + 2t$, donde $t$ es el tiempo…
Un corredor de maratón entrena en una pista recta. Su posición (en pies) respecto al punto de salida viene dada por la función $s(t) = t^2 + 2t$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar que en algún instante entre $t=1$ y $t=4$ segundos, su velocidad instantánea fue exactamente igual a su velocidad media en ese intervalo. Calcula dicho instante.
Un radar de tramo en una autopista detecta que un vehículo entra en el túnel Lincoln (punto $A$) a las 14:00:00 h y sale del mismo (punto $B$) a las 14:01:30 h. La…
Un radar de tramo en una autopista detecta que un vehículo entra en el túnel Lincoln (punto $A$) a las 14:00:00 h y sale del mismo (punto $B$) a las 14:01:30 h. La distancia entre ambos puntos de control es de 3,5 millas.
Si el límite de velocidad en el túnel es de $120 \text{ km/h}$, utilice el Teorema del Valor Medio de Lagrange para justificar si el conductor debería recibir una multa por exceso de velocidad, independientemente de que su velocidad en la entrada y en la salida fuera legal.
Un sistema de control de velocidad (radar de tramo) está situado en una autopista entre las millas 150 y 162. Un vehículo entra en el tramo a las 10:00:00 h y sale a las…
Un sistema de control de velocidad (radar de tramo) está situado en una autopista entre las millas 150 y 162. Un vehículo entra en el tramo a las 10:00:00 h y sale a las 10:06:40 h.
a) Utilizando el Teorema del Valor Medio (Lagrange), justifique si el vehículo ha superado en algún momento el límite de velocidad de $100 \text{ km/h}$.
b) Si la función que describe la posición del vehículo en ese tramo es $s(t) = 150 + 2t - 0.03t^2$ (donde $s$ está en millas y $t$ en minutos desde la entrada al tramo), halle el instante exacto en el que la velocidad instantánea coincide con la velocidad media del trayecto.
El teorema de Cauchy compara dos funciones a la vez. Es una generalización del TVM.
¿Por qué $g'(x) \ne 0$? Si $g(a) = g(b)$, el teorema de Rolle daría un punto donde $g' = 0$. Entonces $g' \ne 0$ garantiza que el denominador $g(b) - g(a)$ no es $0$.
Significado geométrico. Piensa en $(g(t), f(t))$ como un punto que se mueve en el plano mientras $t$ va de $a$ a $b$. La cuerda desde el punto inicial hasta el punto final tiene pendiente $\dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$. La recta tangente en el parámetro $t$ tiene pendiente $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{f'(t)}{g'(t)}$. El teorema de Cauchy dice que en algún punto de la curva una tangente es paralela a la cuerda.
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Dadas las funciones $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 2x - 3$, comprueba si se cumplen las condiciones del Teorema de Cauchy en el intervalo $[1, 3]$. En caso afirmativo, halla…
Dadas las funciones $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 2x - 3$, comprueba si se cumplen las condiciones del Teorema de Cauchy en el intervalo $[1, 3]$. En caso afirmativo, halla el valor de $c \in (1, 3)$ tal que:
Aplique el Teorema de Cauchy a las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$. Encuentre el valor de $c$ que…
Aplique el Teorema de Cauchy a las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$. Encuentre el valor de $c$ que satisface la igualdad:
Dadas las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = x^2 + 1$, aplique el Teorema de Cauchy (Teorema del Valor Medio Generalizado) en el intervalo $[0, 2]$. Halle el valor de…
Dadas las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = x^2 + 1$, aplique el Teorema de Cauchy (Teorema del Valor Medio Generalizado) en el intervalo $[0, 2]$.
Halle el valor de $c \in (0, 2)$, correspondiente al punto $P$ de la figura, que satisface la tesis del teorema:
El teorema de Rolle puede mostrar que una ecuación $f(x) = 0$ tiene como máximo cierto número de soluciones. El teorema del valor intermedio muestra que tiene al menos una. Juntos dan "exactamente una". (Algunos problemas llaman teorema de Bolzano al caso del TVI con cambio de signo.)
¿Por qué? Una gráfica suave solo puede cruzar dos veces la misma recta horizontal si da la vuelta en medio, y cada vuelta tiene una tangente horizontal.
Para demostrar "exactamente una raíz en $[a, b]$", muestra un cambio de signo: $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos. Luego demuestra que $f' \ne 0$ en $(a, b)$.
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Utilice los teoremas de Bolzano y de Rolle para demostrar que la ecuación: $$3x^5 + 10x^3 + 15x - 4 = 0$$ tiene exactamente una solución real en el intervalo $[0, 1]$.
Utilice los teoremas de Bolzano y de Rolle para demostrar que la ecuación:
$$3x^5 + 10x^3 + 15x - 4 = 0$$
tiene exactamente una solución real en el intervalo $[0, 1]$.
Demuestre, utilizando conjuntamente el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle, que la ecuación: $$2x^5 + 5x^3 + 10x - k = 0$$ posee una única solución real para…
Demuestre, utilizando conjuntamente el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle, que la ecuación:
$$2x^5 + 5x^3 + 10x - k = 0$$
posee una única solución real para cualquier valor de la constante $k \in \mathbb{R}$. Explique razonadamente por qué la existencia de más de una raíz entraría en contradicción con el enunciado del Teorema de Rolle.
Considere una función $f(x)$ derivable en todo $\mathbb{R}$. Se sabe que la ecuación $f'(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales, $x_1 = -2$ y $x_2 = 3$.…
Considere una función $f(x)$ derivable en todo $\mathbb{R}$. Se sabe que la ecuación $f'(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales, $x_1 = -2$ y $x_2 = 3$.
Demuestre que la función $f(x)$ no puede tener más de tres raíces reales distintas. ¿Es posible que la función solo tenga una raíz real? Justifique su respuesta basándose en las interpretaciones geométricas de los teoremas de derivabilidad.
El TVM convierte una afirmación sobre $f(b) - f(a)$ en una afirmación sobre $f'(c)$. Si puedes acotar $f'$, puedes acotar la diferencia.
Comparación de dos funciones
Para comparar dos funciones $f$ y $g$, aplica el teorema a la diferencia $h = f - g$.
La misma idea se aplica al movimiento: si dos objetos parten de la misma posición y llegan a la misma posición al mismo tiempo, aplica el teorema de Rolle a la diferencia de sus posiciones. En algún instante sus velocidades son iguales.
Practica★★★Sin empezar
Utilice el Teorema del Valor Medio para demostrar la siguiente desigualdad para cualquier par de números reales $a$ y $b$ tales que $0 < a < b$: $$\frac{b-a}{b} <…
Utilice el Teorema del Valor Medio para demostrar la siguiente desigualdad para cualquier par de números reales $a$ y $b$ tales que $0 < a < b$:
Dos corredores, Sofía y Mateo, inician una carrera de 100 yardas con vallas al mismo tiempo y llegan a la meta en un empate técnico (mismo tiempo $T$). Sus funciones de…
Dos corredores, Sofía y Mateo, inician una carrera de 100 yardas con vallas al mismo tiempo y llegan a la meta en un empate técnico (mismo tiempo $T$). Sus funciones de posición son $s_A(t)$ y $s_B(t)$, ambas continuas en $[0, T]$ y derivables en $(0, T)$.
Demuestre, utilizando el Teorema de Rolle sobre la función diferencia $h(t) = s_A(t) - s_B(t)$, que hubo al menos un instante durante la carrera en el que ambos corredores llevaban exactamente la misma velocidad instantánea.