La derivada como función
En un viaje en carro por Texas, el odómetro te dice dónde estás y el velocímetro te dice qué tan rápido cambia el odómetro en este mismo instante. La lectura del velocímetro es una función nueva construida a partir de la función del odómetro, con un valor para cada momento del viaje. Esa es la función derivada $f'(x)$. Al terminar esta página sabrás construirla a partir de un límite, a partir de reglas y a partir de curvas que ni siquiera están despejadas en $y$.
La derivada definida mediante un límite
La pendiente de una recta que pasa por dos puntos de una curva es un cociente de diferencias. Si acercas cada vez más el segundo punto al primero, la recta secante se convierte en la recta tangente.
¿Por qué un límite? El cociente de diferencias es una razón de cambio promedio en un intervalo de ancho $h$. Al hacer $h\to 0$, el intervalo se reduce a un solo instante y obtienes la razón de cambio instantánea, la pendiente de la recta tangente.
La sustitución directa siempre da $\tfrac{0}{0}$, así que primero hay que usar álgebra para cancelar la $h$ del denominador.
Para obtener la derivada en un solo punto, como $f'(3)$ con $f(x)=x^2$, puedes sustituir en $f'(x)=2x$ o usar directamente la forma puntual: $\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
Con una raíz cuadrada, el truco es multiplicar por el conjugado.
Un patinador se desplaza por una pista siguiendo una trayectoria cuya posición (en pies) viene dada por la función $s(t) = t^2 + 3t$, donde $t$ es el tiempo en segundos.…
Un patinador se desplaza por una pista siguiendo una trayectoria cuya posición (en pies) viene dada por la función $s(t) = t^2 + 3t$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcule, utilizando la definición de derivada como un límite, la velocidad instantánea del patinador en el instante $t = 2$ segundos.
Haciendo uso exclusivo de la definición de derivada como un límite (cociente incremental), calcula la función derivada de $f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}$. Posteriormente,…
Haciendo uso exclusivo de la definición de derivada como un límite (cociente incremental), calcula la función derivada de $f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}$. Posteriormente, utiliza el resultado obtenido para hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 2$.
Reglas de derivación
Tomar un límite cada vez es lento. Estas reglas, que se pueden demostrar con la definición por límites, hacen el trabajo por ti.
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $c$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ (cualquier $n$ real) | $nx^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x\ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac1x$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
Las constantes salen multiplicando y las sumas se separan: $(cf\pm g)'=cf'\pm g'$. Reescribe primero las raíces y los recíprocos como potencias: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ y $\dfrac1{x^3}=x^{-3}$.
Por ejemplo, $(x^2\sin x)'=2x\sin x+x^2\cos x$. La gráfica muestra $f$ y su derivada $f'$; observa que $f'$ vale cero justamente donde $f$ tiene tangente horizontal.
Calcule la función derivada de las siguientes funciones elementales utilizando las reglas de derivación: a) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 1$ b)…
Calcule la función derivada de las siguientes funciones elementales utilizando las reglas de derivación:
- a) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 1$
- b) $g(x) = \frac{1}{x^3} + \sqrt{x}$
- c) $h(x) = 3e^x - 2\cos(x)$
Dada la función $f(x) = x \cdot \ln(x)$, calcule su derivada $f'(x)$ aplicando la regla del producto y determine el valor de la pendiente de la curva en el punto donde…
Dada la función $f(x) = x \cdot \ln(x)$, calcule su derivada $f'(x)$ aplicando la regla del producto y determine el valor de la pendiente de la curva en el punto donde $x = e$.
Se está diseñando una rampa de acceso para un skatepark. El perfil lateral de la primera sección sigue la función $f(x) = \frac{x^2+4}{x+1}$. Calcule la función derivada…
Se está diseñando una rampa de acceso para un skatepark. El perfil lateral de la primera sección sigue la función $f(x) = \frac{x^2+4}{x+1}$. Calcule la función derivada $f'(x)$ para conocer cómo varía la inclinación de la rampa en cualquier punto de ese tramo.
La regla de la cadena
La mayoría de las funciones que encontrarás son capas: una función exterior aplicada a una función interior, como $\sin(5x+2)$ o $e^{x^2}$.
Un caso especial muy útil: $\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u'}{u}$.
Cuando un logaritmo contiene un cociente o un producto, simplifica primero con las propiedades de los logaritmos; casi siempre es mucho más fácil.
Aplique la regla de la cadena para hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas: a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$ b) $g(x) = \sin(5x + 2)$ c) $h(x) = e^{x^2}$
Aplique la regla de la cadena para hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas:
- a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$
- b) $g(x) = \sin(5x + 2)$
- c) $h(x) = e^{x^2}$
Calcula la función derivada de la siguiente función compuesta, simplificando el resultado tanto como sea posible: $f(x) = \ln\left(\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}\right)$
Calcula la función derivada de la siguiente función compuesta, simplificando el resultado tanto como sea posible:
$f(x) = \ln\left(\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}\right)$
Rectas tangente y normal
Como $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente en $x=a$, puedes escribir esa recta con la forma punto-pendiente. La recta normal es perpendicular a la tangente en el mismo punto.
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 1$ en el punto de abscisa $x = 3$.
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 1$ en el punto de abscisa $x = 3$.
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ en el punto donde la función corta al eje de ordenadas ($OY$).
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ en el punto donde la función corta al eje de ordenadas ($OY$).
Derivadas de orden superior y patrones
Puedes derivar una derivada. El resultado es la segunda derivada, y así sucesivamente.
Para funciones como $\dfrac1x$, $e^{2x}$ o $\ln x$, las derivadas siguen un patrón, y puedes escribir $f^{(n)}(x)$ sin derivar $n$ veces.
La regla de la cadena añade un factor cada vez. Para un interior lineal, $\dfrac{d^n}{dx^n}\,(ax+b)^{-1}=\dfrac{(-1)^n\,n!\,a^n}{(ax+b)^{n+1}}$: cada derivada agrega un factor $a$ más.
Las funciones racionales con el denominador factorizado se vuelven fáciles después de usar fracciones parciales.
¿Cómo sabes que un patrón es cierto para todo $n$ y no solo para los primeros? Usa inducción matemática con el patrón de $(x-c)^{-1}$:
Calcule la derivada de segundo orden (derivada segunda) de la función $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. ¿Para qué valor de $x$ se anula esta derivada segunda? (Este punto es…
Calcule la derivada de segundo orden (derivada segunda) de la función $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. ¿Para qué valor de $x$ se anula esta derivada segunda? (Este punto es importante para el estudio de la curvatura que verá más adelante).
Dada la función $f(x) = \ln(2x - 3)$, halla la expresión general para su derivada enésima $f^{(n)}(x)$ y utilízala para calcular el valor de la cuarta derivada en el…
Dada la función $f(x) = \ln(2x - 3)$, halla la expresión general para su derivada enésima $f^{(n)}(x)$ y utilízala para calcular el valor de la cuarta derivada en el punto $x = 2$.
Sea la función $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$. a) Descompón la función en fracciones simples. b) Utilizando la descomposición anterior, halla una fórmula general para…
Sea la función $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$.
- a) Descompón la función en fracciones simples.
- b) Utilizando la descomposición anterior, halla una fórmula general para la derivada $n$-ésima, $f^{(n)}(x)$, para cualquier $n \in \mathbb{N}$.
- c) Demuestra la validez de tu fórmula para todo $n \in \mathbb{N}$ mediante el método de inducción matemática, comprobando explícitamente los tres primeros órdenes de derivación.
Velocidad y aceleración
Si $s(t)$ es la posición de un objeto que se mueve sobre una recta, entonces:
-
la velocidad es $v(t)=s'(t)$ (negativa significa que se mueve en el sentido negativo),
-
la aceleración es $a(t)=v'(t)=s''(t)$,
-
la rapidez es $|v(t)|$.
El objeto está momentáneamente en reposo cuando $v(t)=0$. Cambia de dirección solo cuando $v$ cambia de signo. La rapidez aumenta cuando $v$ y $a$ tienen el mismo signo y disminuye cuando tienen signos opuestos.
En la gráfica de arriba, $x$ hace el papel de $t$: la primera curva es $s(t)$ y la segunda es $v(t)$.
Con exponenciales, factoriza la exponencial antes de analizar los signos.
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura en pies viene dada por la función $h(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 11t + 5$, donde $t$ es el tiempo en segundos…
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura en pies viene dada por la función $h(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 11t + 5$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($0 \leq t \leq 10$).
-
a) Calcula la función velocidad $v(t)$ y la función aceleración $a(t)$.
-
b) ¿En qué instantes de tiempo el dron se encuentra momentáneamente parado (velocidad igual a cero)?
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de vuelo sobre un eje rectilíneo. Su posición (en yardas) respecto al centro de control viene dada por la función…
Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de vuelo sobre un eje rectilíneo. Su posición (en yardas) respecto al centro de control viene dada por la función $s(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde el despegue ($t \ge 0$).
- a) Determina la función velocidad $v(t)$ y la función aceleración $a(t)$ del dron.
- b) ¿En qué instante el dron cambia de sentido en su movimiento?
- c) Calcula el momento exacto en el que la aceleración es nula. ¿Qué interpretación física tiene este punto respecto a la velocidad del dron?
Cómo leer $f'$ y $f''$
La derivada cuenta la historia de la función original.
La gráfica de arriba muestra $f(x)=x^3-3x$ y $f'(x)=3x^2-3$. ¿Dónde cruza $f'$ el eje $x$? ¿Dónde tiene $f'$ su mínimo?
Otro tipo de problema te da condiciones sobre $f$, $f'$ y $f''$ y te pide hallar la función. Traduce cada condición a una ecuación.
La siguiente gráfica corresponde a la función derivada, $f'(x)$, de una función $f(x)$ que es continua en todo su dominio $\mathbb{R}$. A partir de la gráfica de…
La siguiente gráfica corresponde a la función derivada, $f'(x)$, de una función $f(x)$ que es continua en todo su dominio $\mathbb{R}$.
A partir de la gráfica de $f'(x)$, razona las siguientes cuestiones sobre la función original $f(x)$:
- a) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.
- b) Determina las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ y clasifícalos en máximos o mínimos.
- c) ¿En qué valor de $x$ presenta $f(x)$ un punto de inflexión? Justifica tu respuesta basándote en la relación entre $f''(x)$ y la pendiente de $f'(x)$.
Se considera la función $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Determina los coeficientes $a, b, c$ y $d$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes…
Se considera la función $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Determina los coeficientes $a, b, c$ y $d$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
-
La gráfica de $f(x)$ pasa por el origen de coordenadas.
-
La función tiene un punto de inflexión en $x = 1$.
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La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 0$ es paralela a la recta $y = -2x + 5$.
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El valor de la derivada segunda en $x = 0$ es $f''(0) = 6$.
Derivabilidad y continuidad
Una función es derivable en $a$ si existe $f'(a)$, es decir, si los dos límites laterales del cociente de diferencias existen y son iguales:
$$\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$Así, una función puede no ser derivable en un punto de cuatro maneras comunes.
En una esquina, las pendientes por la izquierda y por la derecha son números distintos. En una cúspide o en una tangente vertical, la pendiente es $\pm\infty$. En un salto, la función ni siquiera es continua. Por ejemplo, $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $0$ tiene $\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=h^{-2/3}\to\infty$, una tangente vertical.
El valor absoluto siempre produce esquinas en sus ceros. Aquí tienes un atajo con su razón.
Por ejemplo, toma $f(x)=|x^2-4|$ en $x=2$. Aquí $g(x)=x^2-4$ tiene $g(2)=0$ y $g'(2)=4\neq0$, así que las derivadas laterales son $-4$ y $4$, y hay una esquina en $x=2$ (pero $f$ es continua ahí).
Estudie la derivabilidad de la siguiente función en el punto $x = 2$, comprobando primero si es continua en dicho punto: $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 2…
Estudie la derivabilidad de la siguiente función en el punto $x = 2$, comprobando primero si es continua en dicho punto:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ en los puntos $x = 1$ y $x = 3$. Indica si en dichos puntos existen derivadas laterales y si la función es…
Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ en los puntos $x = 1$ y $x = 3$. Indica si en dichos puntos existen derivadas laterales y si la función es continua.
Cómo hacer derivable una función definida por partes
Cuando una función definida por partes tiene constantes desconocidas, las eliges para que las dos partes se unan suavemente. Una unión suave necesita dos cosas en el punto de unión $x=c$.
Una vez que las derivadas laterales coinciden en $c$, puedes preguntar algo más: ¿es continua la propia $f'$ en $c$? Si ambas partes están formadas por funciones comunes (polinomios, exponenciales, logaritmos en sus dominios), sus fórmulas de derivada son continuas. Entonces el límite por la izquierda y por la derecha de $f'$ en $c$ son iguales a las derivadas laterales correspondientes, y $f'$ es continua en $c$. En el ejemplo, $4x+3$ y $3x^2+4$ valen ambas $7$ en $x=1$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea derivable en todo su dominio, prestando especial atención al punto de unión $x = 0$:…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea derivable en todo su dominio, prestando especial atención al punto de unión $x = 0$:
$f(x) = \begin{cases} e^{ax} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + bx + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Se considera la función definida a trozos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mediante la siguiente expresión: $$f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x-2} + b \cdot x & \text{si }…
Se considera la función definida a trozos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mediante la siguiente expresión:
$$f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x-2} + b \cdot x & \text{si } x \le 2 \\ \ln(x^2 - 3) + x^2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$Determina los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función sea derivable en todo su dominio. Una vez hallados, discute si la función derivada $f'(x)$ es, a su vez, continua en $x = 2$.
Derivación implícita
Algunas curvas no están escritas como $y=f(x)$, como la circunferencia $x^2+y^2=25$ o el folio de Descartes $x^3+y^3-3xy=0$. Aun así tienen una pendiente tangente en cada punto. Cerca de un punto, $y$ es en secreto una función de $x$, así que deriva ambos lados con respecto a $x$ y trata a $y$ como $y(x)$.
Para la circunferencia: $2x+2y\,y'=0$, así que $y'=-\dfrac{x}{y}$. En $(3,4)$ la pendiente es $-\dfrac34$, que coincide con la figura (la tangente es perpendicular al radio).
Observa el patrón: tangente horizontal significa numerador $=0$; tangente vertical significa denominador $=0$ (siempre que el numerador no sea también cero).
Dada la ecuación de la curva definida de forma implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conocida como el Folium de Descartes), calcule el valor de la pendiente de la recta…
Dada la ecuación de la curva definida de forma implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conocida como el Folium de Descartes), calcule el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.
Dada la curva definida por la ecuación implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conocida como el Folio de Descartes), se pide: a) Obtener la expresión de la derivada $y'$ en…
Dada la curva definida por la ecuación implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conocida como el Folio de Descartes), se pide:
- a) Obtener la expresión de la derivada $y'$ en función de $x$ e $y$ mediante derivación implícita.
- b) Hallar los puntos de la curva en los que la recta tangente es horizontal.
- c) Determinar la ecuación de la recta normal a la curva en el punto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.
Derivación logarítmica
¿Cómo se deriva $x^x$? La regla de la potencia necesita un exponente constante, y la regla de la exponencial necesita una base constante. Cuando tanto la base como el exponente varían, toma primero el logaritmo natural.
Dos detalles prácticos:
-
Dominio. Para una función real $u^v$ con exponente variable, necesitas $u>0$ (y $v$ definida). Halla el dominio de $f$ exigiendo eso, y el dominio de $f'$ a partir de la fórmula final.
-
Pendiente cero. Como $y=u^v>0$, el factor que está fuera del corchete nunca es cero. Por eso $y'=0$ exactamente cuando el corchete es igual a $0$. Para mostrar que el corchete tiene un cero, revisa su signo en dos puntos de prueba y usa el teorema del valor intermedio.
Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para hallar la derivada de la siguiente función potencial-exponencial: $f(x) = (x^2 + 1)^{\cos(x)}$
Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para hallar la derivada de la siguiente función potencial-exponencial:
$f(x) = (x^2 + 1)^{\cos(x)}$
Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para calcular la función derivada de: $$f(x) = \left( \cos(x) \right)^{\ln(x)}$$ Indica razonadamente el dominio de…
Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para calcular la función derivada de:
$$f(x) = \left( \cos(x) \right)^{\ln(x)}$$Indica razonadamente el dominio de definición de la función $f(x)$ y el de su función derivada $f'(x)$. ¿Existe algún punto en el intervalo $(0, \pi/2)$ donde la pendiente de la recta tangente sea nula?
Resumen
De vuelta al comienzo: el velocímetro es la derivada del odómetro. $f'(x)$ es una función nueva que da la pendiente, y la razón de cambio instantánea, en cada $x$. Puedes construirla con la definición por límites o con las reglas.