Concavidad y puntos de inflexión
Imagina una rampa de patineta que sube de 0 ft a 6 ft. Un diseño se vuelve más empinado a medida que subes, como un tazón. Otro empieza empinado y se va aplanando, como una colina. La primera derivada por sí sola no los distingue, porque la pendiente es positiva en ambos. La segunda derivada sí los distingue, y además te dice exactamente dónde una rampa pasa de una forma a la otra.
Cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo
La primera derivada $f'$ es la pendiente de la gráfica. La segunda derivada $f''$ es la derivada de la pendiente, así que te dice cómo cambia la pendiente.
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Si la pendiente aumenta, la gráfica se curva hacia arriba, como una taza que retiene el agua. Es cóncava hacia arriba ($\cup$).
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Si la pendiente disminuye, la gráfica se curva hacia abajo, como una taza que derrama el agua. Es cóncava hacia abajo ($\cap$).
Relacione cada una de las siguientes condiciones sobre la segunda derivada con la forma de la gráfica de la función $f(x)$ en un intervalo dado: 1. $f''(x) > 0$ para…
Relacione cada una de las siguientes condiciones sobre la segunda derivada con la forma de la gráfica de la función $f(x)$ en un intervalo dado:
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$f''(x) > 0$ para todo $x \in (a, b)$
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$f''(x) < 0$ para todo $x \in (a, b)$
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$f''(c) = 0$ y existe un cambio de signo de $f''(x)$ al pasar por $x = c$.
Utilice los términos: Cóncava (curvatura hacia abajo, $\cap$), Convexa (curvatura hacia arriba, $\cup$) y Punto de inflexión.
Observe la siguiente gráfica de una función $f(x)$ e identifique, de manera visual, en qué intervalos la función es convexa (curvatura hacia arriba, $\cup$) y en cuáles…
Observe la siguiente gráfica de una función $f(x)$ e identifique, de manera visual, en qué intervalos la función es convexa (curvatura hacia arriba, $\cup$) y en cuáles es cóncava (curvatura hacia abajo, $\cap$). Indique aproximadamente la abscisa $x$ donde cree que se sitúa el punto de inflexión.
Puntos de inflexión
Observa que la recta tangente en un punto de inflexión cruza la gráfica, porque la curva queda de un lado antes del punto y del otro después.
Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, realice los siguientes pasos para estudiar su curvatura: 1. Calcule la segunda derivada $f''(x)$. 2. Determine…
Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$, realice los siguientes pasos para estudiar su curvatura:
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Calcule la segunda derivada $f''(x)$.
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Determine los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$).
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Halle las coordenadas del punto de inflexión.
Dada la función $f(x) = x^4 - 2x^3$, estudie su curvatura. ¿Presenta esta función algún punto donde la derivada segunda se anule pero no sea un punto de inflexión?…
Dada la función $f(x) = x^4 - 2x^3$, estudie su curvatura. ¿Presenta esta función algún punto donde la derivada segunda se anule pero no sea un punto de inflexión? Justifique su respuesta analizando el signo de $f''(x)$ a ambos lados de los puntos singulares de la segunda derivada.
Puntos de inflexión y la pendiente más pronunciada
Mira la pendiente en lugar de la curva. Si $f''$ pasa de positiva a negativa en $c$, entonces $f'$ pasa de creciente a decreciente. Así que $f'$ tiene un máximo local en $c$. Si $f''$ pasa de negativa a positiva, $f'$ tiene un mínimo local ahí.
La primera curva es $N$ y la segunda es $N'$. Observa que $N'$ alcanza su máximo justo donde $N$ pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.
La concavidad también tiene un significado sencillo para las razones de cambio. Cóncava hacia arriba significa que la razón de cambio aumenta (el crecimiento se acelera). Cóncava hacia abajo significa que la razón de cambio disminuye (el crecimiento se frena), aunque la cantidad siga creciendo.
Un diseñador de pistas de skate está modelando el perfil de una rampa mediante la función $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, donde $x$ representa la distancia horizontal…
Un diseñador de pistas de skate está modelando el perfil de una rampa mediante la función $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2 + 5$, donde $x$ representa la distancia horizontal en pies. El diseñador necesita saber dónde cambia la rampa de ser "tipo valle" (convexa) a "tipo montaña" (cóncava) para asegurar la transición. Calcule el punto de inflexión de esta trayectoria.
Un equipo de ingenieros está diseñando una rampa de salto para un parque de deportes extremos. El perfil de la sección central de la rampa sigue la función…
Un equipo de ingenieros está diseñando una rampa de salto para un parque de deportes extremos. El perfil de la sección central de la rampa sigue la función $f(x) = (x-2)e^x$ para $x \in [-1, 3]$.
Calcule el valor de la abscisa $x$ donde la rampa cambia de ser cóncava a ser convexa (punto de inflexión). Justifique por qué en ese punto la rampa alcanza su máxima pendiente de bajada en ese tramo.
La cantidad de usuarios activos en una nueva red social durante los primeros 6 meses sigue aproximadamente la función $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el…
La cantidad de usuarios activos en una nueva red social durante los primeros 6 meses sigue aproximadamente la función $N(t) = \frac{30t^2}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el tiempo en meses y $N(t)$ es el número de usuarios en miles.
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Calcule el momento exacto (valor de $t$) en el que el crecimiento de usuarios empieza a desacelerarse (punto de inflexión).
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Explique el significado de la curvatura de la función antes y después de ese instante en términos de "ritmo de crecimiento".
Leer la curvatura en la gráfica de f'
A veces te dan la gráfica de $f'$ y te preguntan por $f$. Como $f'' = (f')'$, la concavidad de $f$ es el comportamiento creciente o decreciente de la gráfica de $f'$.
| En la gráfica de $f'$ | Significado para $f$ |
|---|---|
| $f'$ es creciente (sube) | $f'' > 0$, así que $f$ es cóncava hacia arriba |
| $f'$ es decreciente (baja) | $f'' < 0$, así que $f$ es cóncava hacia abajo |
| $f'$ tiene un pico o un valle | $f$ tiene un punto de inflexión |
| $f'$ cruza el eje $x$ | $f$ tiene un posible máximo o mínimo local |
No confundas los dos tipos de puntos especiales. Donde $f'$ cruza el eje $x$, la pendiente de $f$ es cero (posible extremo de $f$). Donde $f'$ tiene un pico o un valle, la pendiente es extrema (inflexión de $f$).
Para trazar $f$ a partir de $f'$, primero marca dónde $f$ sube o baja (signo de $f'$). Luego curva cada tramo hacia arriba o hacia abajo según la dirección de $f'$. Por último, ubica la gráfica usando algún punto dado, como $f(0) = 0$.
La siguiente gráfica corresponde a la función derivada primera, $f'(x)$, de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual…
La siguiente gráfica corresponde a la función derivada primera, $f'(x)$, de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la información visual proporcionada y limitándose al tramo representado, $-2 < x < 2$:
- a) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función original $f(x)$.
- b) Indique las abscisas de los puntos de inflexión de $f(x)$.
- c) Si sabemos que $f(0) = 0$, realice un bosquejo de la gráfica de la función original $f(x)$ basándose en su curvatura.
Funciones exponenciales y logarítmicas
Con $e^{u}$ y $\ln u$, la segunda derivada se complica, así que mantén el orden.
Determine los intervalos de curvatura de la función exponencial $f(x) = e^{2x} - 4x$. ¿Posee esta función algún punto de inflexión? Razone la respuesta basándose en el…
Determine los intervalos de curvatura de la función exponencial $f(x) = e^{2x} - 4x$. ¿Posee esta función algún punto de inflexión? Razone la respuesta basándose en el valor de la segunda derivada.
Dada la función $f(x) = \ln(x^2 + 9)$, determine: 1. Los intervalos donde la función es cóncava ($\cap$) y donde es convexa ($\cup$). 2. Las coordenadas de los puntos de…
Dada la función $f(x) = \ln(x^2 + 9)$, determine:
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Los intervalos donde la función es cóncava ($\cap$) y donde es convexa ($\cup$).
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Las coordenadas de los puntos de inflexión.
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La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en su punto de inflexión de abscisa positiva.
Funciones racionales y asíntotas
Con un cociente, simplifica $f'$ antes de derivar otra vez. Cancela los factores comunes y el denominador se mantiene pequeño, así que el álgebra tiene menos riesgo de errores. Luego arma una tabla de signos que incluya tanto los ceros de $f''$ como los valores de $x$ donde $f$ no está definida (asíntotas verticales).
Sea la función $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Aunque es una función racional, su estudio de curvatura en el dominio de definición es sencillo. 1. Halle $f''(x)$. 2. Estudie…
Sea la función $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$. Aunque es una función racional, su estudio de curvatura en el dominio de definición es sencillo.
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Halle $f''(x)$.
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Estudie su signo en los intervalos correspondientes (teniendo en cuenta que $x=1$ no pertenece al dominio).
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¿Tiene puntos de inflexión? Justifique si el cambio de curvatura en la asíntota vertical se considera punto de inflexión.
Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$, realice un estudio detallado de su curvatura. Para ello: 1. Halle los intervalos de concavidad y convexidad. 2.…
Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+3}$, realice un estudio detallado de su curvatura. Para ello:
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Halle los intervalos de concavidad y convexidad.
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Determine las coordenadas exactas de sus puntos de inflexión, si existen.
Dada la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + a}$, donde $a$ es una constante real no nula: a) Demuestre que si $a > 0$, la función siempre tiene exactamente tres puntos de…
Dada la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + a}$, donde $a$ es una constante real no nula:
- a) Demuestre que si $a > 0$, la función siempre tiene exactamente tres puntos de inflexión alineados.
- b) Si $a = -3$, estudie la curvatura de la función detallando sus intervalos y puntos de inflexión, teniendo en cuenta las discontinuidades de la función.
Hallar parámetros a partir de condiciones de inflexión
Muchos problemas te dan una familia de funciones y una condición, y te piden las constantes desconocidas. Cada condición se convierte en una ecuación.
Desliza $a$ y observa dónde la gráfica pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Para $f(x) = x^3 + ax^2 + 3x$, tenemos $f''(x) = 6x + 2a$, así que el cambio ocurre en $x = -\tfrac{a}{3}$.
Halle el valor del parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ tenga un punto de inflexión en $x = 2$. Una vez hallado $k$, indique si la función es…
Halle el valor del parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^3 + kx^2 + 5x - 2$ tenga un punto de inflexión en $x = 2$. Una vez hallado $k$, indique si la función es cóncava o convexa en el punto $x = 0$.
Se sabe que la función polinómica $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene un punto de inflexión en el punto $P(1, 2)$ y que la pendiente de la recta tangente en ese punto es…
Se sabe que la función polinómica $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene un punto de inflexión en el punto $P(1, 2)$ y que la pendiente de la recta tangente en ese punto es $m = -3$. Calcule los valores de los parámetros $a, b$ y $c$.
Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+b}{x^2-4}$ tenga un punto de inflexión en $x = 0$ y pase por el punto $(1, -1)$. Una vez…
Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{ax+b}{x^2-4}$ tenga un punto de inflexión en $x = 0$ y pase por el punto $(1, -1)$. Una vez hallados, estudie si la función tiene más puntos de inflexión en su dominio.
Funciones definidas por partes y uniones suaves
Cuando una función está definida por partes, la unión en $x = c$ puede hacerse con distintos niveles de suavidad.
| Requisito | Ecuación |
|---|---|
| Continua en $c$ | $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$ |
| Derivable en $c$ (misma pendiente) | $f_{\text{izq}}'(c) = f_{\text{der}}'(c)$ |
| Misma curvatura en $c$ | $f_{\text{izq}}''(c) = f_{\text{der}}''(c)$ |
Cada requisito da una ecuación para las constantes desconocidas. También puede haber un punto de inflexión en la unión aunque $f''(c)$ no exista, siempre que $f$ tenga recta tangente ahí y $f''$ tenga signos opuestos a los dos lados.
Para un tramo cúbico $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, recuerda que $h'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ y $h''(x) = 6ax + 2b$. Cuatro incógnitas necesitan cuatro ecuaciones, como que coincidan el valor, la pendiente y la segunda derivada en la unión, más una condición de inflexión $h''(x_0) = 0$ en otro punto.
Sea la función definida por partes: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \leq 0 \\ a \cdot \sin(x) + b \cdot x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calcule los…
Sea la función definida por partes:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \leq 0 \\ a \cdot \sin(x) + b \cdot x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 0$. Una vez calculados, compruebe si existe un punto de inflexión en el origen.
Se considera la familia de funciones de la forma $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, donde $a$ y $b$ son parámetros reales. Se sabe que la gráfica de la función pasa…
Se considera la familia de funciones de la forma $f(x) = (x^2 + ax + b) \cdot e^{-x}$, donde $a$ y $b$ son parámetros reales. Se sabe que la gráfica de la función pasa por el punto $(0, 1)$ y que presenta un punto de inflexión en el punto de abscisa $x = 1$.
- a) Determine los valores de $a$ y $b$.
- b) Para los valores hallados, estudie los intervalos de concavidad y convexidad de la función y compruebe si existen otros puntos de inflexión adicionales.
Se desea suavizar la unión de dos tramos de carretera. El primer tramo viene dado por la función $g(x) = x^2$ para $x \le 1$, y el segundo tramo por una función…
Se desea suavizar la unión de dos tramos de carretera. El primer tramo viene dado por la función $g(x) = x^2$ para $x \le 1$, y el segundo tramo por una función polinómica de tercer grado $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ para $x > 1$.
Para que la transición sea "perfectamente suave", los ingenieros exigen que en el punto de unión $x = 1$:
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Las funciones coincidan ($f$ sea continua).
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Las pendientes coincidan ($f$ sea derivable).
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La curvatura sea la misma (las segundas derivadas coincidan).
Sabiendo que el segundo tramo debe tener un punto de inflexión en $x = 2$, calcule los valores de $a, b, c$ y $d$.
Comportamiento en los bordes: infinito y fronteras del dominio
Algunos problemas preguntan qué pasa con la curvatura cuando $x \to \infty$ o cuando $x$ se acerca al borde del dominio. Tres ideas ayudan:
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Halla el signo de $f''$ para $x$ grande. Si se mantiene positivo, la gráfica es cóncava hacia arriba cuando $x \to \infty$.
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Halla $\lim f''(x)$. Si es $0$, la gráfica se vuelve casi recta.
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Un punto frontera del dominio (como $x = 0$ para $x > 0$) no es un punto de inflexión, porque la función no está definida a ambos lados.
Para límites como $x^2 e^{-x^2}$ o $x^2 \ln x$, reescribe como fracción y usa la regla de L'Hôpital. Las funciones exponenciales crecen más rápido que cualquier potencia de $x$, así que $e^{x^2}$ le gana a $x^2$ en el límite. De la misma manera, $\ln x$ crece más despacio que cualquier potencia positiva de $x$.
Dada la función $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$, se pide: 1. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad. 2. Hallar los puntos de inflexión de la curva. 3. ¿Qué…
Dada la función $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$, se pide:
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Determinar los intervalos de concavidad y convexidad.
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Hallar los puntos de inflexión de la curva.
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¿Qué ocurre con la curvatura de la función cuando $x \to \infty$? Razone la respuesta basándose en el límite de la segunda derivada.
Considere la función $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$. a) Estudie el dominio y las asíntotas de la función. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los…
Considere la función $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$.
- a) Estudie el dominio y las asíntotas de la función.
- b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos.
- c) Analice la curvatura y demuestre que existe un único punto de inflexión. Determine sus coordenadas exactas.
- d) ¿Hacia qué valor tiende la pendiente de la curva cuando $x \to \infty$? ¿Cambia esto la curvatura en el infinito?
Sea la función $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$ definida para $x > 0$. a) Calcule $f'(x)$, $f''(x)$ y $f'''(x)$. b) Determine los intervalos de concavidad y convexidad. c)…
Sea la función $f(x) = x^4 \cdot \ln(x)$ definida para $x > 0$.
- a) Calcule $f'(x)$, $f''(x)$ y $f'''(x)$.
- b) Determine los intervalos de concavidad y convexidad.
- c) ¿Existe algún punto de la gráfica donde la recta tangente sea horizontal y, simultáneamente, ese punto sea un punto de inflexión? Justifique su respuesta.
- d) Estudie el comportamiento de la curvatura cuando $x$ se aproxima a $0$ por la derecha. ¿Podemos decir que hay un punto de inflexión en el límite?
Decidir el signo de $f''$: ¿siempre cóncava?
Después de simplificar, $f''$ suele ser una fracción con denominador positivo (un cuadrado o una potencia positiva). Su numerador es un polinomio, así que la pregunta se vuelve: ¿dónde es positivo o negativo este polinomio?
Volvamos a las rampas de patineta del principio: la rampa que "se empina" es cóncava hacia arriba ($f'' > 0$), la que "se aplana" es cóncava hacia abajo ($f'' < 0$), y el punto donde un diseño se convierte en el otro es un punto de inflexión, donde $f''$ cambia de signo y la pendiente es la más pronunciada o la más suave.
Un equipo de ingenieros está diseñando una rampa de transición para un nuevo modelo de patineta. La altura de la rampa sigue la función $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ en el…
Un equipo de ingenieros está diseñando una rampa de transición para un nuevo modelo de patineta. La altura de la rampa sigue la función $f(x) = \ln(x^2 + kx + 9)$ en el intervalo $x \in [-2, 2]$.
- a) Calcule el valor de $k$ para que la rampa cambie su curvatura (tenga un punto de inflexión) exactamente en $x = 0$.
- b) ¿Es posible encontrar un valor de $k$ tal que la función sea siempre convexa ($\cup$) en todo su dominio de definición? Justifique su respuesta analíticamente.
Sea la función $f(x) = \text{arctg}(x^2 - 1)$. a) Halle la expresión de $f''(x)$ simplificada al máximo. b) Determine los puntos de la curva donde la pendiente de la…
Sea la función $f(x) = \text{arctg}(x^2 - 1)$.
- a) Halle la expresión de $f''(x)$ simplificada al máximo.
- b) Determine los puntos de la curva donde la pendiente de la recta tangente alcanza sus valores máximos o mínimos relativos. Pista: Recuerde que esto ocurre donde la curvatura cambia.
- c) Estudie los intervalos de curvatura de $f(x)$.