Continuidad en un intervalo, tipos de discontinuidades y los teoremas del valor intermedio y del valor extremo

Estudia la continuidad lateral de la siguiente función en los extremos del intervalo $[0, 4]$:

Indica si la función es continua en $x=1$ comparando sus límites laterales.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada a continuación e identifica los puntos de discontinuidad. Para cada uno de ellos, indica de qué tipo se trata (evitable, de salto finito o de salto infinito).

Considera la función $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.

1. Demuestra que la función no es continua en $x = 2$.

2. ¿Qué valor debería tomar $f(2)$ para que la discontinuidad fuera evitable y la función resultase continua en ese punto?

Dada la función racional $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$, estudia su continuidad en los puntos $x = 3$ y $x = -3$. En caso de que existan discontinuidades, clasifícalas razonadamente calculando sus límites laterales.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo el conjunto de los números reales:

Sea la función $f(x)$ definida a trozos como:

Calcule los valores de $a$, $b$ y $k$ para que la función sea continua en todo su dominio $\mathbb{R}$. Una vez hallados, razone si la función cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass en el intervalo $[1, 5]$.

Dada la función $f(x)$ definida a trozos mediante la siguiente expresión, determine los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la función sea continua en todo su dominio. En el caso de que $b=1$, clasifique el tipo de discontinuidad que presenta la función en $x=0$ en función del valor de $a$.

Estudie la continuidad de la siguiente función y clasifique razonadamente todos sus puntos de discontinuidad:

Indique si alguna de las discontinuidades es evitable y, en tal caso, redefina la función en ese punto para que resulte continua.

Considere la familia de funciones dependientes del parámetro $k \in \mathbb{R}$:

Analice y clasifique todas las discontinuidades de $f(x)$ en función de los posibles valores de $k$. Indique específicamente para qué valores de $k$ alguna de las discontinuidades es evitable y redefina la función en ese punto para que sea continua.

Estudie la continuidad de la siguiente función en su dominio de definición:

Determine los puntos donde la función presenta discontinuidades y clasifíquelas. Investigue si la función cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[0.5, 2]$ para asegurar la existencia de una raíz.

Un senderista inicia una ruta en un refugio a 1200 pies de altitud ($t=0$). Tras 4 horas de marcha, se encuentra en un mirador a 1800 pies de altitud. Suponiendo que la función que describe su altitud respecto al tiempo, $A(t)$, es continua:

1. Explica, utilizando el Teorema de los Valores Intermedios (Darboux), si el senderista ha pasado en algún momento por la cota de los 1500 pies.

2. ¿Podemos asegurar que ha pasado por los 2000 pies?

Comprueba si la función $f(x) = x^3 - 3x + 1$ cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[0, 1]$. ¿Puedes asegurar que existe al menos una raíz de la ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ en dicho intervalo? Justifica tu respuesta.

Dada la función $f(x) = x^3 + x - 5$, justifica si existe algún valor $c \in [1, 2]$ tal que $f(c) = -1$. ¿Qué teorema garantiza este resultado? Enuncia dicho teorema y comprueba que se cumplen sus hipótesis.

Demuestre, utilizando el Teorema de Bolzano, que las gráficas de las funciones $f(x) = e^x - 2$ y $g(x) = \cos(x)$ se cortan en al menos un punto dentro del intervalo $[0, \pi]$. Explique detalladamente los pasos y las hipótesis necesarias para aplicar el teorema.

Un equipo de ingenieros está probando dos nuevos modelos de drones de vigilancia, $D_1$ y $D_2$. La altura (en pies) del dron $D_1$ respecto al suelo viene dada por la función $h_1(t) = t \cdot \ln(t+1)$, mientras que la altura del dron $D_2$ sigue la función $h_2(t) = 10 \cdot e^{-t} + 5$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde el despegue ($t \geq 0$).

Utilice el Teorema de Bolzano para demostrar que existe un instante $t_0 \in [2, 5]$ en el que ambos drones se encuentran exactamente a la misma altura. Justifique detalladamente si podría asegurar, mediante el Teorema de Weierstrass, que la diferencia de alturas entre ambos drones alcanza un valor máximo en ese intervalo de tiempo.

Se considera una función continua $f:[0, 1] \to [0, 1]$. Es decir, el dominio es el intervalo $[0, 1]$ y todas sus imágenes también están contenidas en $[0, 1]$.

Demuestre, haciendo uso del Teorema de Bolzano, que existe al menos un punto $c \in [0, 1]$ tal que $f(c) = c$ (un punto fijo de la función). Pista: Considere la función auxiliar $g(x) = f(x) - x$. Explique gráficamente qué significa este resultado en términos de la intersección de la gráfica de $f(x)$ con la bisectriz del primer cuadrante.

Razona si la función $f(x) = \frac{1}{x}$ alcanza obligatoriamente un máximo y un mínimo absoluto en los siguientes intervalos basándote en el Teorema de Weierstrass:

1. En el intervalo cerrado $[1, 5]$.

2. En el intervalo abierto $(0, 1)$.

Dada la función $f(x) = \frac{k \cdot \sin(x)}{x}$ para $x \neq 0$:

1. a) Halla el valor de $k$ sabiendo que $\lim_{x \to 0} f(x) = 5$.
2. b) Con ese valor de $k$, define $f(0)$ para que la función sea continua en $x = 0$.
3. c) Justifica si la función resultante es continua en el intervalo $[0, 2\pi]$. ¿Podemos asegurar que alcanza un valor máximo absoluto en dicho intervalo?

Sea la función $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-|x|}$.

1. Exprese la función sin valores absolutos.

2. Estudie su continuidad en los puntos donde se anulan los argumentos de los valores absolutos.

3. Utilizando el Teorema de Weierstrass, demuestre que la función alcanza un máximo absoluto en el intervalo cerrado $[-3, 3]$.

4. ¿Presenta la función alguna asíntota horizontal? Relacione este hecho con el comportamiento de la función a largo plazo.

Un diseñador gráfico está trazando la trayectoria de un objeto en una animación. La altura $h$ en pies respecto al tiempo $t$ (en segundos) viene dada por:

1. a) Indique el dominio de la trayectoria.
2. b) Estudie la continuidad en $t = 3$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta? Interprete el resultado en el contexto de la animación (¿hay un salto, desaparece el objeto o se va al infinito?).
3. c) ¿Es posible que el objeto alcance una altura de $0$ pies en algún instante del intervalo $[0, 2]$? Justifique su respuesta usando el Teorema de Bolzano.

Se sabe que una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 4]$. Si $f(0) = 1$ y $f(4) = 1$, ¿se puede asegurar que existe un punto $c \in (0, 4)$ tal que $f(c) = 0$? Pon un ejemplo gráfico de una función que cumpla las condiciones pero que no tenga raíces en ese intervalo y explica por qué no contradice al Teorema de Bolzano.

Dada la función $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$, se pide:

1. Hallar el dominio de la función.

2. Calcular los límites laterales en el punto donde la función no está definida.

3. Clasificar la discontinuidad encontrada.

4. ¿Es posible aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo $[-1, 1]$ para demostrar que existe un valor donde $f(x) = 0.5$? Razone si la falta de continuidad en un punto invalida la aplicación del teorema aunque los valores en los extremos sugieran que debería existir dicho punto.