Sucesiones y límites de sucesiones
En un videojuego, el personaje de Malik está a 30 pies de una puerta. En cada turno avanza la mitad de la distancia que le falta. ¿Llegará alguna vez a la puerta? ¿Qué tan cerca puede llegar?
Esa pregunta es el corazón del cálculo: ¿qué ocurre con una lista de números a medida que avanzas cada vez más lejos en ella? En esta página aprenderás a hallar estos límites rápidamente, a demostrarlos y a manejar sucesiones definidas en términos de sí mismas. Los límites de funciones, las derivadas y las integrales se construyen sobre esta idea.
¿Qué significa el límite de una sucesión?
Una sucesión es una lista de números $a_1, a_2, a_3, \dots$ es decir, una función cuyas entradas son los enteros positivos $n = 1, 2, 3, \dots$. El número $a_n$ es el término $n$-ésimo.
Estos son los primeros ocho términos de $a_n = \dfrac{1}{n^2}$. Caen hacia el eje horizontal, pero nunca lo tocan.
Dos familias de sucesiones aparecen constantemente, así que memorízalas.
El simulador de arriba es el problema de la puerta de Malik: la distancia que queda antes del turno $n$ es $30\left(\tfrac12\right)^{n-1}$ pies. Como $r=\tfrac12$ cumple $|r|<1$, la distancia tiende a $0$. Nunca llega a la puerta, pero se acerca tanto como quieras. Eso es exactamente lo que significa $\lim = 0$.
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{1}{n^2}$, escriba los cuatro primeros términos y razone, de forma intuitiva, cuál es el valor de su límite cuando…
Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{1}{n^2}$, escriba los cuatro primeros términos y razone, de forma intuitiva, cuál es el valor de su límite cuando $n$ tiende a infinito:
$$\lim_{n \to \infty} a_n$$Se estima que el valor de una computadora portátil después de $n$ años viene dado por la sucesión $v_n = 1200 \cdot (0,8)^n$. Calcule el límite de esta sucesión e…
Se estima que el valor de una computadora portátil después de $n$ años viene dado por la sucesión $v_n = 1200 \cdot (0,8)^n$. Calcule el límite de esta sucesión e interprete qué significa el resultado en el contexto de la devaluación del equipo.
$$\lim_{n \to \infty} 1200 \cdot (0,8)^n$$Sucesiones racionales: compara los grados
La mayoría de las sucesiones que verás son cocientes de polinomios en $n$, como $\dfrac{5n^2-3n+1}{2n^2+7}$. Tanto el numerador como el denominador tienden a $\infty$, lo que parece la forma indeterminada $\dfrac{\infty}{\infty}$. El truco es ver qué potencia de $n$ manda.
Determine el valor del límite de la sucesión $b_n$ cuando $n$ crece indefinidamente: $$b_n = \frac{100n + 50}{n^2 - 1}$$
Determine el valor del límite de la sucesión $b_n$ cuando $n$ crece indefinidamente:
$$b_n = \frac{100n + 50}{n^2 - 1}$$Calcule el límite de la siguiente sucesión racional comparando los grados del numerador y del denominador: $$a_n = \frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$$
Calcule el límite de la siguiente sucesión racional comparando los grados del numerador y del denominador:
$$a_n = \frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$$En una red social, el número de "me gusta" de una publicación en las primeras horas sigue la progresión $c_n = \frac{4n^2}{n+2}$, donde $n$ es el número de horas desde…
En una red social, el número de "me gusta" de una publicación en las primeras horas sigue la progresión $c_n = \frac{4n^2}{n+2}$, donde $n$ es el número de horas desde la publicación. ¿Qué ocurre con la cantidad de "me gusta" a muy largo plazo? Calcule:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n+2}$$Polinomios disfrazados
A veces los polinomios no están escritos en forma expandida, o la sucesión es una diferencia de dos cocientes (la forma $\infty-\infty$). Se usa la misma idea.
Formas factorizadas. No expandas. Solo importa el término principal de cada factor. Para $\dfrac{(2n+1)^2(n-3)}{(n+4)^3+7n}$, el numerador se comporta como $(2n)^2\cdot n=4n^3$ y el denominador como $n^3$. Para ser riguroso, divide todo entre $n^3$: $$\frac{\left(2+\frac1n\right)^2\left(1-\frac3n\right)}{\left(1+\frac4n\right)^3+\frac{7}{n^2}}\ \longrightarrow\ \frac{4\cdot1}{1}=4.$$
Una diferencia de fracciones. $\infty-\infty$ es indeterminado, así que primero combina todo en una sola fracción.
Hallar parámetros. Si un límite debe ser igual a $0$ y la expresión tiene la forma $\frac{\text{polinomio}}{\text{polinomio}}-an-b$, usa la división de polinomios para separar la "parte lineal".
Calcule el límite de la siguiente sucesión analizando los grados de los polinomios y justificando el resultado mediante la comparación de los términos de mayor grado:…
Calcule el límite de la siguiente sucesión analizando los grados de los polinomios y justificando el resultado mediante la comparación de los términos de mayor grado:
$a_n = \frac{(3n - 1)^2 \cdot (n + 2)}{(2n + 3)^3 - 5n}$
Calcule el límite de la siguiente sucesión, que presenta una resta de fracciones con distinto denominador: $a_n = \frac{2n^2 + 1}{n - 1} - \frac{2n^3 + 5}{n^2 + 2}$…
Calcule el límite de la siguiente sucesión, que presenta una resta de fracciones con distinto denominador:
$a_n = \frac{2n^2 + 1}{n - 1} - \frac{2n^3 + 5}{n^2 + 2}$
Indique si la sucesión es divergente o convergente tras resolver la indeterminación $\infty - \infty$.
Halle los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre el límite de la sucesión y el valor indicado: $$\lim_{n \to \infty}…
Halle los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre el límite de la sucesión y el valor indicado:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n + 1}{n - 2} - an - b \right) = 0$$Raíces cuadradas y el conjugado
Una raíz es una potencia con exponente fraccionario, así que la idea del "grado" sigue funcionando. Para $n>0$, $\sqrt{n^2}=n$, así que $\sqrt{9n^2+n}$ se comporta como $3n$. En general, una raíz de índice $m$ de un polinomio de grado $k$ actúa como un término de grado $\frac km$. Luego compara los grados como en las secciones anteriores.
Cuando tienes una diferencia de raíces, otra vez $\infty-\infty$, multiplica y divide por el conjugado: $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ elimina la raíz.
Raíces con índices distintos. No hay un único conjugado para $\sqrt[3]{\ }-\sqrt{\ }$. Suma y resta el "término intermedio" $n$ para separar la diferencia en dos partes, cada una con un conjugado de su propio tipo.
Calcule el límite de la siguiente sucesión que involucra una raíz cuadrada, analizando el término de mayor grado: $$d_n = \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{2n - 3}$$
Calcule el límite de la siguiente sucesión que involucra una raíz cuadrada, analizando el término de mayor grado:
$$d_n = \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{2n - 3}$$Resuelva el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n$. Para visualizar el comportamiento de la sucesión, observe el siguiente esquema donde se representa…
Resuelva el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n$. Para visualizar el comportamiento de la sucesión, observe el siguiente esquema donde se representa la diferencia entre la curva de la raíz y su asíntota lineal:
Determine el límite de la siguiente sucesión, la cual involucra una diferencia de raíces de distinto índice (cúbica y cuadrada). Para resolverlo, deberá forzar la…
Determine el límite de la siguiente sucesión, la cual involucra una diferencia de raíces de distinto índice (cúbica y cuadrada). Para resolverlo, deberá forzar la aparición de un factor común o utilizar la técnica de sumar y restar un término intermedio que permita separar la expresión en dos límites tratables:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - \sqrt{n^2 - 4n} \right)$$Velocidades de crecimiento: ¿quién gana en el infinito?
Las sucesiones $n^2$, $2^n$ y $n!$ tienden todas a $\infty$, pero no a la misma velocidad. Compáralas:
| $n$ | $\ln n$ | $n^2$ | $2^n$ | $n!$ | $n^n$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 2.30 | 100 | 1,024 | $3.6\times10^{6}$ | $10^{10}$ |
| 20 | 3.00 | 400 | $1.05\times10^{6}$ | $2.4\times10^{18}$ | $1.05\times10^{26}$ |
| 30 | 3.40 | 900 | $1.07\times10^{9}$ | $2.7\times10^{32}$ | $2.1\times10^{44}$ |
El simulador muestra $\dfrac{n^3}{2^n}$. Al principio sube (una cúbica empieza con ventaja), pero al final la exponencial se impone y el cociente cae a $0$.
Para usar la jerarquía, saca factor común el término dominante en el numerador y en el denominador.
Utilizando la comparación de órdenes de infinitud (exponencial frente a polinómica), halle el límite de la sucesión: $$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$
Utilizando la comparación de órdenes de infinitud (exponencial frente a polinómica), halle el límite de la sucesión:
$$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$Dadas las siguientes sucesiones, utilice la jerarquía de infinitos para determinar, sin realizar operaciones algebraicas extensas, cuál es el valor de su límite cuando…
Dadas las siguientes sucesiones, utilice la jerarquía de infinitos para determinar, sin realizar operaciones algebraicas extensas, cuál es el valor de su límite cuando $n \to \infty$:
- a) $b_n = \frac{n^5 + 10^6}{\ln(n^2 + 1) + 0.5^n}$
- b) $c_n = \frac{\sqrt{n^3 + 4n}}{2n + \sqrt[3]{n^5}}$
- c) $d_n = \frac{1.02^n}{n^{1000} + 5n}$
En el estudio de algoritmos de computación, es fundamental conocer la velocidad a la que crecen ciertas funciones. Calcule el límite de la siguiente sucesión comparando…
En el estudio de algoritmos de computación, es fundamental conocer la velocidad a la que crecen ciertas funciones. Calcule el límite de la siguiente sucesión comparando los órdenes de infinitud de los diferentes términos (factoriales, exponenciales y potencias):
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n! + 10^n}{n^n - 5^n}$$Explique razonadamente qué término domina en el numerador y cuál en el denominador para justificar su resultado.
El teorema del sándwich
A veces una sucesión es complicada, pero está atrapada entre dos sucesiones sencillas que se dirigen al mismo lugar. Entonces no tiene alternativa.
Comprimir una suma. En una suma con $n$ términos, acota cada término por el menor y por el mayor.
En un laboratorio de biotecnología, el número de bacterias de una cepa (en millones) después de $n$ horas se modela mediante la sucesión:…
En un laboratorio de biotecnología, el número de bacterias de una cepa (en millones) después de $n$ horas se modela mediante la sucesión:
$P_n = \frac{12n^2 + \text{sen}(n)}{3n^2 + 500}$
Determine la población de bacterias cuando el tiempo tiende a infinito. Razone qué ocurre con el término $\text{sen}(n)$ en el cálculo del límite.
Utilice el Teorema del Sándwich (o Teorema de la existencia de límite por acotación) para hallar el valor del límite de la sucesión $a_n$ definida por la siguiente suma…
Utilice el Teorema del Sándwich (o Teorema de la existencia de límite por acotación) para hallar el valor del límite de la sucesión $a_n$ definida por la siguiente suma de fracciones:
$$a_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^2+3} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$$El número e
Algunos límites se estabilizan en un famoso número irracional. Prueba con $\left(1+\frac1n\right)^n$: la base se acerca a $1$, pero el exponente se hace más grande.
| $n$ | 1 | 10 | 100 | 1,000 | 1,000,000 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\left(1+\frac1n\right)^n$ | 2 | 2.5937 | 2.7048 | 2.7169 | 2.71828 |
¿Por qué la segunda forma? $\left(1+\frac1n\right)^{kn}=\left[\left(1+\frac1n\right)^n\right]^k\to e^k$, porque el límite de una potencia es la potencia del límite.
Identifique cuál de las siguientes expresiones corresponde a la definición del número $e$ y calcule su límite: $$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$$
Identifique cuál de las siguientes expresiones corresponde a la definición del número $e$ y calcule su límite:
$$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$$La forma indeterminada $1^\infty$
Cuando una base tiende a $1$ y el exponente tiende a $\infty$, el límite no es simplemente "$1^\infty=1$". El tamaño del exponente importa, así que hay una receta que sale directamente de la definición de $e$.
Un inversionista analiza el crecimiento de una criptomoneda cuya evolución diaria sigue la ley de una sucesión de tipo exponencial. El valor relativo tras $n$ días viene…
Un inversionista analiza el crecimiento de una criptomoneda cuya evolución diaria sigue la ley de una sucesión de tipo exponencial. El valor relativo tras $n$ días viene dado por:
$V_n = \left( \frac{5n^2 + 3n}{5n^2 - 2} \right)^{n+1}$
Calcule el valor al que tiende la moneda a largo plazo utilizando la relación con el número $e$.
Halle el valor de los parámetros reales $k$ y $t$ para que se verifique la siguiente igualdad: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{kn + 5}{3n - 1} \right)^n = e^t$…
Halle el valor de los parámetros reales $k$ y $t$ para que se verifique la siguiente igualdad:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{kn + 5}{3n - 1} \right)^n = e^t$
Sabiendo que el límite de la base es $1$ y que el resultado final es $e^2$.
Calcule el valor del siguiente límite de una sucesión que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a la manipulación algebraica de…
Calcule el valor del siguiente límite de una sucesión que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, prestando especial atención a la manipulación algebraica de la base y el exponente:
$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 2} \right)^{\frac{n^2 + 1}{2n - 3}}$$Sucesiones recursivas
Algunas sucesiones se definen con una regla que construye cada término a partir del anterior: $a_{n+1}=f(a_n)$. Si sabes que la sucesión converge, puedes hallar su límite sin calcular ni un término más.
El mismo truco del desplazamiento te permite hallar el término explícito y las sumas parciales de una sucesión recursiva. Esto es lo que necesita un problema de "distancia total".
Estudie el comportamiento de la sucesión recurrente definida por: $a_1 = 2$ $a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{4}{a_n} \right)$ Si suponemos que la sucesión es…
Estudie el comportamiento de la sucesión recurrente definida por:
$a_1 = 2$
$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{4}{a_n} \right)$
Si suponemos que la sucesión es convergente y que su límite es $L$ ($L > 0$), calcule dicho valor resolviendo la ecuación $L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{4}{L} \right)$. ¿A qué constante irracional famosa corresponde este resultado?
Se define una sucesión de forma recurrente mediante la fórmula: $$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$ Suponiendo que la sucesión es convergente (puede…
Se define una sucesión de forma recurrente mediante la fórmula:
$$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$Suponiendo que la sucesión es convergente (puede visualizar su comportamiento en el diagrama de abajo), calcule el valor exacto de su límite $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.
Un dron de vigilancia está programado para realizar una serie de saltos en línea recta. En el primer segundo recorre $d$ pies. En cada segundo posterior, recorre una…
Un dron de vigilancia está programado para realizar una serie de saltos en línea recta. En el primer segundo recorre $d$ pies. En cada segundo posterior, recorre una distancia que es la mitad de la distancia recorrida en el segundo anterior más un pie extra para compensar el viento. Si $x_n$ es la distancia total acumulada tras $n$ segundos:
- a) Encuentre la expresión del término general de la distancia recorrida en cada segundo $a_n$.
- b) Determine la distancia que recorrerá el dron en un segundo dado cuando $n$ tiende a infinito (es decir, $\lim_{n \to \infty} a_n$).
Demostrar un límite: la definición $\varepsilon$–$N$
Hasta ahora has hallado límites. Ahora vamos a demostrar uno rigurosamente. La definición dice que los términos permanecen dentro de cualquier banda alrededor de $L$, por angosta que sea, a partir de cierto punto.
La estrategia es siempre la misma. Parte de $|an-L|<\varepsilon$, simplifica el lado izquierdo y despeja $n$. El resultado te dice qué tan grande debe ser $N$, en términos de $\varepsilon$.
Dada la sucesión $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, demuestre mediante la definición formal de límite ($\varepsilon$ y $N$) que su límite es $L = 3$. Para ello, para un valor…
Dada la sucesión $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$, demuestre mediante la definición formal de límite ($\varepsilon$ y $N$) que su límite es $L = 3$.
Para ello, para un valor de $\varepsilon = 0.001$, determine a partir de qué término $N$ de la sucesión se cumple que $|a_n - L| < \varepsilon$.