Una app de streaming registra a qué velocidad llegan los datos a su servidor: $v(t) = \dfrac{4}{t+1}$ GB por minuto, con $t$ en minutos. Conoces la razón de cambio. ¿Cuántos datos hay guardados después de $t$ minutos? Para deshacer una derivada necesitas una antiderivada, y $\dfrac{4}{t+1}$ es un cociente de polinomios, una función racional. Esta página te da las herramientas para esas funciones, y además la integración por partes para productos como $x e^x$.
Antiderivadas y la tabla básica
Cada antiderivada de la familia es la misma curva desplazada hacia arriba o hacia abajo. Mueve el deslizador y mira cómo se desplaza la gráfica.
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Halla la primitiva de la siguiente función polinómica utilizando las reglas básicas de integración: $f(x) = 6x^5 - 4x^3 + 3x^2 - 2$
Halla la primitiva de la siguiente función polinómica utilizando las reglas básicas de integración:
Halla la integral de la función $f(x)$ que combina potencias y raíces, expresando primero las raíces como exponentes fraccionarios: $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$
Halla la integral de la función $f(x)$ que combina potencias y raíces, expresando primero las raíces como exponentes fraccionarios:
Forma logarítmica: numerador = derivada del denominador
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Halla el conjunto de todas las funciones primitivas de la siguiente función racional, utilizando las propiedades de linealidad de la integral: $$f(x) = \frac{7}{x - 5}$$
Halla el conjunto de todas las funciones primitivas de la siguiente función racional, utilizando las propiedades de linealidad de la integral:
Calcula las siguientes integrales indefinidas de tipo logarítmico, ajustando las constantes si es necesario: a) $\displaystyle \int \frac{5}{x+3} dx$ b)…
Calcula las siguientes integrales indefinidas de tipo logarítmico, ajustando las constantes si es necesario:
Calcula la siguiente integral indefinida observando que el numerador es, o puede transformarse fácilmente, en la derivada del denominador: $$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x…
Calcula la siguiente integral indefinida observando que el numerador es, o puede transformarse fácilmente, en la derivada del denominador:
Si el grado del numerador no es menor: primero divide
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Divide el polinomio del numerador entre el denominador (o descompón la fracción en varios sumandos) para resolver la siguiente integral: $$\int \frac{x^3 - 4x^2 +…
Divide el polinomio del numerador entre el denominador (o descompón la fracción en varios sumandos) para resolver la siguiente integral:
Calcula la primitiva de la función $g(x)$ realizando un ajuste previo en el numerador para obtener una parte entera y una parte fraccionaria: $$g(x) = \frac{x + 5}{x +…
Calcula la primitiva de la función $g(x)$ realizando un ajuste previo en el numerador para obtener una parte entera y una parte fraccionaria:
Un estudio de mercado analiza el ritmo de crecimiento de las ventas de un nuevo modelo de scooter eléctrico. La función que describe la tasa de variación de las ventas…
Un estudio de mercado analiza el ritmo de crecimiento de las ventas de un nuevo modelo de scooter eléctrico. La función que describe la tasa de variación de las ventas (en cientos de unidades por mes) viene dada por:
$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$
Donde $x$ es el tiempo en meses. Calcula la familia de funciones de ventas totales $F(x)$ obteniendo la primitiva de dicha función. (Nota: Realiza primero la división polinómica).
Para encontrar las constantes, factoriza $Q$ (con la fórmula cuadrática, factorizando, o con división sintética en grados mayores; algunos problemas llaman a la división sintética regla de Ruffini). Multiplica los dos lados por $Q$ y luego sustituye cada raíz.
Aquí una función racional (verde) es la suma de sus dos piezas. Compara las gráficas.
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Descompón en fracciones simples el integrando para calcular la integral de esta función racional con raíces reales simples en el denominador: $$\int \frac{1}{x^2 - 9} \,…
Descompón en fracciones simples el integrando para calcular la integral de esta función racional con raíces reales simples en el denominador:
Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional descomponiéndola en fracciones simples, sabiendo que su denominador presenta una raíz real doble:…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional descomponiéndola en fracciones simples, sabiendo que su denominador presenta una raíz real doble:
Determina los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la siguiente igualdad sea cierta y, posteriormente, calcula la primitiva de $f(x)$ que se anula en $x=0$:…
Determina los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la siguiente igualdad sea cierta y, posteriormente, calcula la primitiva de $f(x)$ que se anula en $x=0$:
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ que pasa por el punto $P(2, 5)$. Ten en cuenta que, debido a los grados de los polinomios,…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ que pasa por el punto $P(2, 5)$. Ten en cuenta que, debido a los grados de los polinomios, deberás realizar una división previa y posteriormente descomponer la fracción restante considerando la existencia de raíces reales múltiples.
Una cuadrática como $x^2 + 9$ o $x^2 - 4x + 13$ tiene discriminante negativo ($b^2 - 4ac < 0$), así que no se puede factorizar en los reales. Su antiderivada es una arcotangente.
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Determina la integral indefinida de la siguiente función, cuya forma corresponde a una primitiva de tipo arco tangente: $$\int \frac{3}{x^2 + 16} \, dx$$
Determina la integral indefinida de la siguiente función, cuya forma corresponde a una primitiva de tipo arco tangente:
En las integrales de tipo arcotangente, a veces es necesario manipular el denominador. Calcula la siguiente primitiva completando el cuadrado en el denominador para que…
En las integrales de tipo arcotangente, a veces es necesario manipular el denominador. Calcula la siguiente primitiva completando el cuadrado en el denominador para que adopte la forma del tipo $\int \frac{u'}{1+u^2} dx$:
Cuando el denominador es una cuadrática irreducible y el numerador es $Mx + N$, separa el numerador en una parte que coincide con la derivada del denominador (un logaritmo) más una constante sobrante (una arcotangente).
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Halla la familia de funciones $F(x)$ que resultan de integrar la función: $f(x) = \dfrac{2x + 5}{x^2 + 9}$ Sugerencia: Separa la integral en dos partes, una que resulte…
Halla la familia de funciones $F(x)$ que resultan de integrar la función:
$f(x) = \dfrac{2x + 5}{x^2 + 9}$
Sugerencia: Separa la integral en dos partes, una que resulte en un logaritmo neperiano y otra en una función arco tangente.
Un equipo de ingenieros está monitoreando el flujo de refrigerante en una central térmica. La tasa de variación del volumen de líquido respecto al tiempo $t$ viene dada…
Un equipo de ingenieros está monitoreando el flujo de refrigerante en una central térmica. La tasa de variación del volumen de líquido respecto al tiempo $t$ viene dada por la función $v(t) = \dfrac{4t + 10}{t^2 + 4t + 13}$. Halla la expresión del volumen total $V(t)$ sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) el depósito contenía $100$ galones.
Nota: Observa que el denominador no tiene raíces reales, por lo que la solución combinará un logaritmo neperiano y un arco tangente.
Calcula la integral indefinida $\displaystyle \int \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x^2 + x + 1} \, dx$. Para ello, observa que el denominador puede factorizarse mediante el método…
Calcula la integral indefinida $\displaystyle \int \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x^2 + x + 1} \, dx$.
Para ello, observa que el denominador puede factorizarse mediante el método de Ruffini o por agrupación de términos, resultando en un producto de un factor lineal y un factor cuadrático irreducible.
Determina la integral indefinida de la función $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Para resolver este ejercicio, deberás factorizar el denominador completamente en el cuerpo de…
Determina la integral indefinida de la función $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Para resolver este ejercicio, deberás factorizar el denominador completamente en el cuerpo de los números reales y descomponer la fracción en una suma que incluya términos con raíces reales simples y un término con raíces complejas de tipo arcotangente.
Sustituciones que convierten una función en racional
No todos los integrandos parecen racionales a primera vista. Si aparece $e^x$ o $\sqrt{x}$, una sustitución puede convertirlo en una función racional de una nueva variable. Luego usas todo lo anterior.
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Halla el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función, realizando primero un cambio de variable adecuado que la transforme en una función racional: $$f(x) =…
Halla el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función, realizando primero un cambio de variable adecuado que la transforme en una función racional:
Calcula la primitiva de la función $h(x) = \dfrac{x^5 + x^2}{x^3 - 1}$. Antes de integrar, simplifica la expresión mediante la división de polinomios y comprueba si…
Calcula la primitiva de la función $h(x) = \dfrac{x^5 + x^2}{x^3 - 1}$. Antes de integrar, simplifica la expresión mediante la división de polinomios y comprueba si existe alguna identidad notable o factorización que te permita reducir la complejidad del integrando antes de aplicar la descomposición en fracciones simples.
Los productos como $x e^x$ o $x\cos x$ no encajan en ninguna regla de las anteriores. Invierte la regla del producto.
Elige $u$ de modo que $du$ sea más sencilla que $u$, y $dv$ de modo que puedas integrarla. La regla mnemotécnica LIATE ordena qué conviene elegir como $u$: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algebraicas (polinomios), Trigonométricas, Exponenciales. El primer tipo de la lista que aparece en el integrando es $u$.
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Utiliza el método de integración por partes para resolver la siguiente integral. Recuerda elegir adecuadamente $u$ y $dv$ siguiendo la regla mnemotécnica ALPES:…
Utiliza el método de integración por partes para resolver la siguiente integral. Recuerda elegir adecuadamente $u$ y $dv$ siguiendo la regla mnemotécnica ALPES:
Calcula la primitiva de la función $f(x) = (2x + 3) \cdot e^x$ cuya gráfica corta al eje de ordenadas (eje $OY$) en el punto $(0, 5)$. Utiliza el método de integración…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = (2x + 3) \cdot e^x$ cuya gráfica corta al eje de ordenadas (eje $OY$) en el punto $(0, 5)$. Utiliza el método de integración por partes y comprueba el resultado derivando la función obtenida.
Cuando el polinomio tiene grado $2$ o más, cada vuelta baja su grado en uno. Mantén la misma elección de $u$ (el polinomio) en cada vuelta.
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Halla la primitiva de la función $g(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ que pase por el origen de coordenadas. Deberás aplicar el método de integración por partes dos veces…
Halla la primitiva de la función $g(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ que pase por el origen de coordenadas. Deberás aplicar el método de integración por partes dos veces consecutivas.
Calcula la primitiva de la función $g(x) = x^2 \cdot \ln^2(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1, \frac{2}{27})$. Para ello, deberás aplicar el método de…
Calcula la primitiva de la función $g(x) = x^2 \cdot \ln^2(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1, \frac{2}{27})$. Para ello, deberás aplicar el método de integración por partes de forma sucesiva.
Integrales cíclicas: la original vuelve a aparecer
En $e^{ax}\sin(bx)$ o $e^{ax}\cos(bx)$, ningún factor se simplifica nunca. Pero después de dos vueltas vuelve a aparecer la integral original, y la despejas como en una ecuación.
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Halla la integral indefinida $\int e^{2x} \cdot \sin(x) \, dx$. Este tipo de integrales se denominan "cíclicas". Aplica el método de integración por partes hasta que…
Halla la integral indefinida $\int e^{2x} \cdot \sin(x) \, dx$.
Este tipo de integrales se denominan "cíclicas". Aplica el método de integración por partes hasta que vuelva a aparecer la integral original y despeja el valor de la misma.
En el estudio de circuitos eléctricos de corriente alterna, la intensidad de corriente $i(t)$ en amperios suele modelarse mediante funciones que combinan exponenciales y…
En el estudio de circuitos eléctricos de corriente alterna, la intensidad de corriente $i(t)$ en amperios suele modelarse mediante funciones que combinan exponenciales y trigonométricas. Supongamos que la velocidad de variación de la carga de un condensador viene dada por la función:
$$f(t) = e^{-2t} \cdot \cos(3t)$$
Calcula el conjunto de todas las funciones primitivas $F(t)$ asociadas a esta intensidad mediante el método de integración por partes. Ten en cuenta que este tipo de integrales se resuelven por el método de "iteración" o "cíclicas".
Determina una función $f(x)$ cuya derivada es $f'(x) = \cos(\ln x)$. Ayuda: Utiliza el método de integración por partes considerando $u = \cos(\ln x)$ y $dv = dx$. Tras…
Determina una función $f(x)$ cuya derivada es $f'(x) = \cos(\ln x)$.
Ayuda: Utiliza el método de integración por partes considerando $u = \cos(\ln x)$ y $dv = dx$. Tras aplicarlo dos veces, obtendrás una expresión donde aparece la integral original, permitiéndote despejarla.
Logaritmos y funciones trigonométricas inversas solos
¿Cómo integras $\ln x$ o $\arctan x$ cuando no hay un segundo factor? Inventa uno: $dv = dx$. Toma $u = \ln x$ (o la función trigonométrica inversa), y la nueva integral sale algebraica.
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Calcula la primitiva de la función logaritmo neperiano utilizando el método de integración por partes, tomando $u = \ln(x)$ y $dv = dx$: $\displaystyle \int \ln(x) dx$
Calcula la primitiva de la función logaritmo neperiano utilizando el método de integración por partes, tomando $u = \ln(x)$ y $dv = dx$:
Una empresa de componentes electrónicos estima que su costo marginal (el costo de producir una unidad adicional) sigue la función $C'(x) = x \cdot \ln(x)$, donde $x$ es…
Una empresa de componentes electrónicos estima que su costo marginal (el costo de producir una unidad adicional) sigue la función $C'(x) = x \cdot \ln(x)$, donde $x$ es el número de miles de unidades producidas.
Determina la función de costo total $C(x)$ sabiendo que los costos fijos (costo cuando $x = 1$, en este modelo simplificado) son de $\$10$ mil.
Calcula la integral indefinida de la función $h(x) = \text{arctg}(2x)$. Pista: Utiliza el método de integración por partes tomando $u = \text{arctg}(2x)$ y $dv = dx$.…
Calcula la integral indefinida de la función $h(x) = \text{arctg}(2x)$.
Pista: Utiliza el método de integración por partes tomando $u = \text{arctg}(2x)$ y $dv = dx$. Recuerda que la derivada de $\text{arctg}(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2}$.
Algunas integrales necesitan primero una sustitución y después partes, o partes con una $dv$ elegida con astucia.
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Calcula la primitiva de la función $h(x) = \operatorname{arc sen}(\sqrt{x})$. Sugerencia: Realiza primero un cambio de variable del tipo $x = t^2$ para eliminar la raíz…
Calcula la primitiva de la función $h(x) = \operatorname{arc sen}(\sqrt{x})$.
Sugerencia: Realiza primero un cambio de variable del tipo $x = t^2$ para eliminar la raíz y, posteriormente, aplica el método de integración por partes.
Existen integrales que requieren de gran pericia técnica para descomponer el integrando antes de aplicar el método de las partes. Calcula la siguiente integral…
Existen integrales que requieren de gran pericia técnica para descomponer el integrando antes de aplicar el método de las partes. Calcula la siguiente integral indefinida utilizando la sustitución estratégica $u = x \cdot e^x$ en algún momento del proceso o bien operando directamente mediante partes:
Un equipo de ingenieros está analizando el ritmo de descarga de la batería de un nuevo prototipo de dron. Han determinado que la función que representa la velocidad de…
Un equipo de ingenieros está analizando el ritmo de descarga de la batería de un nuevo prototipo de dron. Han determinado que la función que representa la velocidad de variación de la carga (en mAh por minuto) viene dada por $f(t) = 3t^2 - \frac{4}{t+1} + \sqrt{t}$, donde $t$ es el tiempo en minutos.
Halla la función de carga total $F(t)$, sabiendo que en el instante inicial ($t = 0$) la carga del dron era de $2500$ mAh.
Halla la función $f(x)$ que cumple la condición de ser continua en todo el dominio de definición de sus ramas, sabiendo que su derivada viene dada por: $$f'(x) =…
Halla la función $f(x)$ que cumple la condición de ser continua en todo el dominio de definición de sus ramas, sabiendo que su derivada viene dada por:
$$f'(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{x^2+1} & \text{si } x \leq 0 \\
x \cdot e^x & \text{si } x > 0
\end{cases}$$
y que $f(1) = 1$. Deberás integrar por partes la segunda rama y determinar el valor de las constantes de integración para garantizar la continuidad en $x = 0$.
Volvamos al principio: los datos llegan a razón de $v(t) = \frac{4}{t+1}$ GB por minuto, así que la cantidad guardada es $S(t) = \int\frac{4}{t+1}\,dt = 4\ln(t+1) + C$. Aquí $t + 1 > 0$, así que no hace falta el valor absoluto, y la constante $C$ es la cantidad guardada en $t = 0$ (porque $\ln 1 = 0$). Esa es la idea de todo problema de "razón de cambio $\to$ total". En los problemas de movimiento, la misma idea se encadena dos veces: aceleración $\to$ velocidad $\to$ posición.
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Un grupo de jóvenes ingenieros está monitoreando el flujo de datos de un servidor. La velocidad de crecimiento de los datos almacenados (en GB/min) viene dada por la…
Un grupo de jóvenes ingenieros está monitoreando el flujo de datos de un servidor. La velocidad de crecimiento de los datos almacenados (en GB/min) viene dada por la función $v(t) = \frac{4}{t + 1}$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Obtén la expresión general de la función de almacenamiento de datos $S(t)$.
Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración dependiente del tiempo definida por $a(t) = \ln(t+1)$. Si en el instante inicial ($t=0$) el objeto…
Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración dependiente del tiempo definida por $a(t) = \ln(t+1)$. Si en el instante inicial ($t=0$) el objeto se encontraba en reposo y en la posición $s=10$ pies, determina la ecuación de la posición $s(t)$ en cualquier instante $t$.
Nota: Recuerda que la velocidad es la integral de la aceleración y la posición es la integral de la velocidad. Ambas integrales requieren el uso del método de integración por partes.
Se conoce que la aceleración de una partícula que se mueve en línea recta viene definida por la expresión $a(t) = t \cdot \sin(t)$ para $t \geq 0$. Determina la función…
Se conoce que la aceleración de una partícula que se mueve en línea recta viene definida por la expresión $a(t) = t \cdot \sin(t)$ para $t \geq 0$.
Determina la función de la velocidad $v(t)$, sabiendo que en el instante $t = \pi$ la velocidad de la partícula es de $2$ pies/s.