Ejercicios: Integración de fracciones racionales

Halla el conjunto de todas las funciones primitivas de la siguiente función racional, utilizando las propiedades de linealidad de la integral:

Calcula la siguiente integral indefinida observando que el numerador es, o puede transformarse fácilmente, en la derivada del denominador:

Un grupo de jóvenes ingenieros está monitoreando el flujo de datos de un servidor. La velocidad de crecimiento de los datos almacenados (en GB/min) viene dada por la función $v(t) = \frac{4}{t + 1}$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Obtén la expresión general de la función de almacenamiento de datos $S(t)$.

Divide el polinomio del numerador entre el denominador (o descompón la fracción en varios sumandos) para resolver la siguiente integral:

Determina la integral indefinida de la siguiente función, cuya forma corresponde a una primitiva de tipo arco tangente:

Descompón en fracciones simples el integrando para calcular la integral de esta función racional con raíces reales simples en el denominador:

Halla la función $f(x)$ sabiendo que su derivada es $f'(x) = \frac{1}{x + 2}$ y que su gráfica pasa por el punto $P(0, 5)$.

Calcula la primitiva de la función $g(x)$ realizando un ajuste previo en el numerador para obtener una parte entera y una parte fraccionaria:

En el estudio de circuitos eléctricos de corriente alterna, la intensidad de corriente $i(t)$ en amperios suele modelarse mediante funciones que combinan exponenciales y trigonométricas. Supongamos que la velocidad de variación de la carga de un condensador viene dada por la función:

Calcula el conjunto de todas las funciones primitivas $F(t)$ asociadas a esta intensidad mediante el método de integración por partes. Ten en cuenta que este tipo de integrales se resuelven por el método de "iteración" o "cíclicas".

Calcula la primitiva de la función $g(x) = x^2 \cdot \ln^2(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1, \frac{2}{27})$. Para ello, deberás aplicar el método de integración por partes de forma sucesiva.

Halla la expresión analítica de una función $f(x)$ tal que su derivada segunda es $f''(x) = x \cdot \operatorname{sen}(x)$, sabiendo que la recta tangente a la curva en el origen de coordenadas es el propio eje de abscisas.

Existen integrales que requieren de gran pericia técnica para descomponer el integrando antes de aplicar el método de las partes. Calcula la siguiente integral indefinida utilizando la sustitución estratégica $u = x \cdot e^x$ en algún momento del proceso o bien operando directamente mediante partes:

Halla la función $f(x)$ que cumple la condición de ser continua en todo el dominio de definición de sus ramas, sabiendo que su derivada viene dada por:

y que $f(1) = 1$. Deberás integrar por partes la segunda rama y determinar el valor de las constantes de integración para garantizar la continuidad en $x = 0$.

Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración dependiente del tiempo definida por $a(t) = \ln(t+1)$. Si en el instante inicial ($t=0$) el objeto se encontraba en reposo y en la posición $s=10$ pies, determina la ecuación de la posición $s(t)$ en cualquier instante $t$.

Nota: Recuerda que la velocidad es la integral de la aceleración y la posición es la integral de la velocidad. Ambas integrales requieren el uso del método de integración por partes.

Calcula la primitiva de la función $h(x) = \operatorname{arc sen}(\sqrt{x})$.

Sugerencia: Realiza primero un cambio de variable del tipo $x = t^2$ para eliminar la raíz y, posteriormente, aplica el método de integración por partes.

Determina una función $f(x)$ cuya derivada es $f'(x) = \cos(\ln x)$.

Ayuda: Utiliza el método de integración por partes considerando $u = \cos(\ln x)$ y $dv = dx$. Tras aplicarlo dos veces, obtendrás una expresión donde aparece la integral original, permitiéndote despejarla.

Halla la primitiva de la siguiente función polinómica utilizando las reglas básicas de integración:

$f(x) = 6x^5 - 4x^3 + 3x^2 - 2$

Determina la función $F(x)$ que es una primitiva de $f(x) = e^x + 2x$ y que cumple la condición de pasar por el punto $P(0, 5)$.

Calcula las siguientes integrales indefinidas de tipo logarítmico, ajustando las constantes si es necesario:

1. a) $\displaystyle \int \frac{5}{x+3} dx$

1. b) $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2 - 1} dx$

Halla la integral de la función $f(x)$ que combina potencias y raíces, expresando primero las raíces como exponentes fraccionarios:

$f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

Obtén el conjunto de todas las primitivas de las siguientes funciones trigonométricas directas:

1. a) $f(x) = 3 \sin(x) + \cos(2x)$

1. b) $g(x) = \frac{4}{1 + x^2}$

Utiliza el método de integración por partes para resolver la siguiente integral. Recuerda elegir adecuadamente $u$ y $dv$ siguiendo la regla mnemotécnica ALPES:

$\displaystyle \int x \cdot e^x dx$

Resuelve la siguiente integral por el método de integración por partes:

$\displaystyle \int (x + 2) \cdot \cos(x) dx$

Calcula la primitiva de la función logaritmo neperiano utilizando el método de integración por partes, tomando $u = \ln(x)$ y $dv = dx$:

$\displaystyle \int \ln(x) dx$

Un equipo de ingenieros está analizando el ritmo de descarga de la batería de un nuevo prototipo de dron. Han determinado que la función que representa la velocidad de variación de la carga (en mAh por minuto) viene dada por $f(t) = 3t^2 - \frac{4}{t+1} + \sqrt{t}$, donde $t$ es el tiempo en minutos.

Halla la función de carga total $F(t)$, sabiendo que en el instante inicial ($t = 0$) la carga del dron era de $2500$ mAh.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = (2x + 3) \cdot e^x$ cuya gráfica corta al eje de ordenadas (eje $OY$) en el punto $(0, 5)$. Utiliza el método de integración por partes y comprueba el resultado derivando la función obtenida.

Una empresa de componentes electrónicos estima que su costo marginal (el costo de producir una unidad adicional) sigue la función $C'(x) = x \cdot \ln(x)$, donde $x$ es el número de miles de unidades producidas.

Determina la función de costo total $C(x)$ sabiendo que los costos fijos (costo cuando $x = 1$, en este modelo simplificado) son de $\$10$ mil.

Halla la primitiva de la función $g(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ que pase por el origen de coordenadas. Deberás aplicar el método de integración por partes dos veces consecutivas.

Calcula la integral indefinida de la función $h(x) = \text{arctg}(2x)$.

Pista: Utiliza el método de integración por partes tomando $u = \text{arctg}(2x)$ y $dv = dx$. Recuerda que la derivada de $\text{arctg}(f(x))$ es $\frac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2}$.

Se conoce que la aceleración de una partícula que se mueve en línea recta viene definida por la expresión $a(t) = t \cdot \sin(t)$ para $t \geq 0$.

Determina la función de la velocidad $v(t)$, sabiendo que en el instante $t = \pi$ la velocidad de la partícula es de $2$ pies/s.

Halla la integral indefinida $\int e^{2x} \cdot \sin(x) \, dx$.

Este tipo de integrales se denominan "cíclicas". Aplica el método de integración por partes hasta que vuelva a aparecer la integral original y despeja el valor de la misma.

Determina la función $f(x)$ de la que sabemos que su segunda derivada es $f''(x) = \ln(x)$ y que su gráfica presenta un punto de inflexión en el punto $(1, 3)$, donde además la pendiente de la recta tangente es $2$.

Nota: Este ejercicio requiere integrar por partes para hallar primero $f'(x)$ y de nuevo para hallar $f(x)$.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^4 + x^3 - 2}{x^3 - x^2}$ que pasa por el punto $P(2, 5)$. Ten en cuenta que, debido a los grados de los polinomios, deberás realizar una división previa y posteriormente descomponer la fracción restante considerando la existencia de raíces reales múltiples.

Determina la integral indefinida de la función $g(x) = \dfrac{1}{x^4 - 1}$. Para resolver este ejercicio, deberás factorizar el denominador completamente en el cuerpo de los números reales y descomponer la fracción en una suma que incluya términos con raíces reales simples y un término con raíces complejas de tipo arcotangente.

Un equipo de ingenieros está monitoreando el flujo de refrigerante en una central térmica. La tasa de variación del volumen de líquido respecto al tiempo $t$ viene dada por la función $v(t) = \dfrac{4t + 10}{t^2 + 4t + 13}$. Halla la expresión del volumen total $V(t)$ sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) el depósito contenía $100$ galones.

Nota: Observa que el denominador no tiene raíces reales, por lo que la solución combinará un logaritmo neperiano y un arco tangente.

Calcula la primitiva de la función $h(x) = \dfrac{x^5 + x^2}{x^3 - 1}$. Antes de integrar, simplifica la expresión mediante la división de polinomios y comprueba si existe alguna identidad notable o factorización que te permita reducir la complejidad del integrando antes de aplicar la descomposición en fracciones simples.

Halla el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función, realizando primero un cambio de variable adecuado que la transforme en una función racional:

Se desea encontrar una función $F(x)$ cuya derivada es $f(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)^3}$. Halla dicha función sabiendo que su gráfica tiene una asíntota horizontal en $y = 2$ cuando $x \to \infty$. Este problema requiere el uso de fracciones simples con raíces reales de multiplicidad tres.

Calcula la integral indefinida $\displaystyle \int \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x^2 + x + 1} \, dx$.

Para ello, observa que el denominador puede factorizarse mediante el método de Ruffini o por agrupación de términos, resultando en un producto de un factor lineal y un factor cuadrático irreducible.

Determina los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la siguiente igualdad sea cierta y, posteriormente, calcula la primitiva de $f(x)$ que se anula en $x=0$:

Un estudio de mercado analiza el ritmo de crecimiento de las ventas de un nuevo modelo de scooter eléctrico. La función que describe la tasa de variación de las ventas (en cientos de unidades por mes) viene dada por:

$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 3}{x + 1}$

Donde $x$ es el tiempo en meses. Calcula la familia de funciones de ventas totales $F(x)$ obteniendo la primitiva de dicha función. (Nota: Realiza primero la división polinómica).

Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional descomponiéndola en fracciones simples, sabiendo que su denominador presenta una raíz real doble:

$\displaystyle \int \dfrac{5x - 2}{x^2 - 4x + 4} \, dx$

Halla la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 5x + 6}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(4, \ln(2))$. Recuerda que debes descomponer el integrando mediante el método de las raíces reales simples.

Determina la integral de la siguiente función racional descomponiéndola previamente en una suma de fracciones más sencillas:

$\displaystyle \int \dfrac{x + 7}{x^2 + 4x + 3} \, dx$

En las integrales de tipo arcotangente, a veces es necesario manipular el denominador. Calcula la siguiente primitiva completando el cuadrado en el denominador para que adopte la forma del tipo $\int \frac{u'}{1+u^2} dx$:

$\displaystyle \int \dfrac{3}{x^2 + 2x + 5} \, dx$

Halla la familia de funciones $F(x)$ que resultan de integrar la función:

$f(x) = \dfrac{2x + 5}{x^2 + 9}$

Sugerencia: Separa la integral en dos partes, una que resulte en un logaritmo neperiano y otra en una función arco tangente.

Se sabe que la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto $(x, y)$ viene dada por la expresión $m = \dfrac{x^3 + x^2}{x^2 + 1}$. Halla la ecuación de dicha curva sabiendo que pasa por el punto $(0, 1)$.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional con tres raíces reales distintas en el denominador:

$\displaystyle \int \dfrac{2x^2 - x}{(x-1)(x+1)(x+2)} \, dx$