Ejercicios: Propiedades de las funciones derivables. Teoremas de Rolle; del valor medio y de Cauchy

Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, compruebe si se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[2, 4]$. En caso afirmativo, halle el valor del punto $c \in (2, 4)$ cuya existencia asegura el teorema.

Considera la función $f(x) = x^2 - kx + 10$. Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que la función cumpla la condición $f(1) = f(5)$ y se pueda aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo $[1, 5]$. Una vez hallado $k$, calcula el valor de $c$ donde la derivada se anula.

Aplica el Teorema del Valor Medio (de Lagrange) a la función $f(x) = x^2 - x$ en el intervalo $[0, 2]$. Halla el valor del punto $c$ cuya existencia garantiza el teorema y explica gráficamente qué relación tiene la recta tangente en $c$ con la recta secante que pasa por los extremos del intervalo.

Un corredor de maratón entrena en una pista recta. Su posición (en pies) respecto al punto de salida viene dada por la función $s(t) = t^2 + 2t$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar que en algún instante entre $t=1$ y $t=4$ segundos, su velocidad instantánea fue exactamente igual a su velocidad media en ese intervalo. Calcula dicho instante.

Explica razonadamente por qué no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función $f(x) = 1 - |x-1|$ en el intervalo $[0, 2]$, a pesar de que $f(0) = f(2) = 0$. ¿Qué hipótesis falla en este caso?

Dadas las funciones $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = 2x - 3$, comprueba si se cumplen las condiciones del Teorema de Cauchy en el intervalo $[1, 3]$. En caso afirmativo, halla el valor de $c \in (1, 3)$ tal que:

Se sabe que una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[1, 5]$ y derivable en el abierto $(1, 5)$. Si los valores de la función en los extremos son $f(1) = 10$ y $f(5) = 30$, ¿podemos asegurar que existe algún punto $c$ en el intervalo donde la pendiente de la recta tangente sea igual a $5$? Justifica tu respuesta utilizando el Teorema del Valor Medio.

Dada la función $f(x) = \sin(x)$, verifica que se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[0, \pi]$. Halla el valor de $c$ que satisface la tesis del teorema y represéntalo esquemáticamente en un círculo unitario o sobre la gráfica de la función.

Dada la función definida a trozos:

Demuestre que se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[1, e+2]$ y halle el valor o valores de $c \in (1, e+2)$ cuya existencia asegura el teorema.

Un radar de tramo en una autopista detecta que un vehículo entra en el túnel Lincoln (punto $A$) a las 14:00:00 h y sale del mismo (punto $B$) a las 14:01:30 h. La distancia entre ambos puntos de control es de 3,5 millas.

Si el límite de velocidad en el túnel es de $120 \text{ km/h}$, utilice el Teorema del Valor Medio de Lagrange para justificar si el conductor debería recibir una multa por exceso de velocidad, independientemente de que su velocidad en la entrada y en la salida fuera legal.

Considere la función polinómica $f(x) = x^3 + x^2 - x + k$.

1. a) Determine el valor del parámetro $k$ para que la función cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[-2, 1]$.
2. b) Para dicho valor de $k$, calcule los puntos $c$ que verifican la tesis del teorema.

Sea la función $f(x) = x \cdot e^{x^2-1}$.

1. a) Compruebe que $f(x)$ verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo $[0, 1]$.
2. b) ¿Existe algún punto en dicho intervalo donde la pendiente de la recta tangente sea igual a $e-1$? Justifique su respuesta utilizando el teorema.

Aplique el Teorema de Cauchy a las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$. Encuentre el valor de $c$ que satisface la igualdad:

Explique la interpretación geométrica de este resultado en términos de la curva paramétrica definida por ambas funciones.

Utilice los teoremas de Bolzano y de Rolle para demostrar que la ecuación:

tiene exactamente una solución real en el intervalo $[0, 1]$.

Se considera la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$.

Halle un punto en la gráfica de la función donde la recta tangente sea paralela a la cuerda que une los puntos de la curva con abscisas $x=0$ y $x=4$. ¿Qué teorema garantiza que dicho punto existe? Enuncie sus hipótesis y compruebe que se cumplen.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 3}$, ¿se puede aplicar el Teorema de Rolle en el intervalo $[1, 5]$ sabiendo que $f(1) = f(5) = 0$?

Razone su respuesta analizando la continuidad y derivabilidad de la función en dicho intervalo. En caso negativo, explique si esto contradice el teorema.

Sea la función definida a trozos:

Calcule los valores de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo $[0, e]$. Una vez hallados los parámetros, determine el valor del punto $c \in (0, e)$ cuya existencia garantiza el teorema.

Demuestre, utilizando conjuntamente el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle, que la ecuación:

posee una única solución real para cualquier valor de la constante $k \in \mathbb{R}$. Explique razonadamente por qué la existencia de más de una raíz entraría en contradicción con el enunciado del Teorema de Rolle.

Un sistema de control de velocidad (radar de tramo) está situado en una autopista entre las millas 150 y 162. Un vehículo entra en el tramo a las 10:00:00 h y sale a las 10:06:40 h.

1. a) Utilizando el Teorema del Valor Medio (Lagrange), justifique si el vehículo ha superado en algún momento el límite de velocidad de $100 \text{ km/h}$.
2. b) Si la función que describe la posición del vehículo en ese tramo es $s(t) = 150 + 2t - 0.03t^2$ (donde $s$ está en millas y $t$ en minutos desde la entrada al tramo), halle el instante exacto en el que la velocidad instantánea coincide con la velocidad media del trayecto.

Dadas las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = x^2 + 1$, aplique el Teorema de Cauchy (Teorema del Valor Medio Generalizado) en el intervalo $[0, 2]$.

Halle el valor de $c \in (0, 2)$, correspondiente al punto $P$ de la figura, que satisface la tesis del teorema:

Considere una función $f(x)$ derivable en todo $\mathbb{R}$. Se sabe que la ecuación $f'(x) = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales, $x_1 = -2$ y $x_2 = 3$.

Demuestre que la función $f(x)$ no puede tener más de tres raíces reales distintas. ¿Es posible que la función solo tenga una raíz real? Justifique su respuesta basándose en las interpretaciones geométricas de los teoremas de derivabilidad.

Utilice el Teorema del Valor Medio para demostrar la siguiente desigualdad para cualquier par de números reales $a$ y $b$ tales que $0 < a < b$:

Ayuda: Aplique el teorema a la función $f(x) = \ln(x)$ en el intervalo $[a, b]$.

Se considera la función $f(x) = x^3 - 3x + m$.

1. a) Determine para qué valores del parámetro $m$ la función cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en un intervalo de la forma $[0, a]$ con $a > 0$.
2. b) Para $m = 0$, halle el mayor intervalo posible $[p, q]$ donde se pueda aplicar el teorema y calcule el punto $c$ cuya existencia se asegura.

Dos corredores, Sofía y Mateo, inician una carrera de 100 yardas con vallas al mismo tiempo y llegan a la meta en un empate técnico (mismo tiempo $T$). Sus funciones de posición son $s_A(t)$ y $s_B(t)$, ambas continuas en $[0, T]$ y derivables en $(0, T)$.

Demuestre, utilizando el Teorema de Rolle sobre la función diferencia $h(t) = s_A(t) - s_B(t)$, que hubo al menos un instante durante la carrera en el que ambos corredores llevaban exactamente la misma velocidad instantánea.