Fracciones y decimales

Fracciones equivalentes y la recta numérica

Una fracción $\frac{a}{b}$ dice: corta un entero en $b$ partes iguales y toma $a$ de ellas. Si la batería de un celular tiene 10 barras y 6 están encendidas, está cargada $\frac{6}{10}$. Tres de cinco barras encendidas es $\frac{3}{5}$. Es la misma cantidad de batería.

Las fracciones que representan la misma cantidad se llaman fracciones equivalentes. Obtienes una a partir de otra multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = \frac{9}{15}$.

Para comprobar dos fracciones sin dibujar nada, usa la multiplicación cruzada:

Una fracción está en forma simplificada (o mínima expresión) cuando el numerador y el denominador no tienen ningún factor común aparte de 1. Para llegar ahí, divide ambos entre su MCD.

Fracciones en la recta numérica

Para ubicar $\frac{a}{b}$ en la recta numérica, divide cada unidad en $b$ partes iguales y cuenta $a$ partes desde 0. Los números positivos van a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda. Una fracción impropia como $\frac{3}{2}$ es igual al número mixto $1\tfrac{1}{2}$, así que queda a la mitad entre 1 y 2. Un decimal como $-1.5$ es el mismo punto que $-\frac{3}{2}$.

Comparar: el número que está más a la derecha es el mayor. Para comparar fracciones, escríbelas con un denominador común (o como decimales). Todo número negativo es menor que todo número positivo, y entre los negativos es mayor el que está más cerca de 0: $-\frac{1}{2} > -\frac{3}{2}$.

Operaciones con fracciones

Aquí tienes un repaso rápido de las cuatro operaciones y luego lo nuevo: los exponentes negativos y las fracciones dentro de fracciones.

• Sumar o restar: primero reescribe con un denominador común (el mcm de los denominadores), luego suma o resta los numeradores. El denominador se queda igual.

• Multiplicar: multiplica en línea, numerador por numerador y denominador por denominador. Simplifica antes si puedes.

• Dividir: multiplica por el recíproco de la segunda fracción. La división se escribe a menudo con $\div$ (en algunos problemas con dos puntos $:$). Significa lo mismo.

¿Por qué se invierte la fracción al dividir? Dividir entre $\frac{1}{4}$ pregunta "¿cuántos cuartos caben?", y la respuesta es 4 veces más, así que multiplicas por 4.

El orden de las operaciones funciona con fracciones igual que con números enteros: paréntesis, luego exponentes, luego multiplicación y división de izquierda a derecha, y después suma y resta de izquierda a derecha. (Quizá lo conozcas como PEMDAS.) El error más común es sumar antes de multiplicar.

Exponentes negativos

Un exponente negativo significa "recíproco". Para cualquier $a$ distinto de cero:

Así, $3^{-1} = \frac{1}{3}$ y $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$. ¿Por qué? Cada vez que el exponente baja 1, divides entre la base: $2^2, 2^1, 2^0, 2^{-1}$ es $4, 2, 1, \frac{1}{2}$.

Fracciones dentro de fracciones y raíces cuadradas

Una fracción compleja es una fracción cuyo numerador o denominador contiene una fracción. Trabaja de adentro hacia afuera: simplifica las partes pequeñas y luego divide. Por ejemplo,

La raíz cuadrada de una fracción es la raíz cuadrada del numerador sobre la raíz cuadrada del denominador: $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$. Si te dan un decimal como $0.\overline{4}$, primero escríbelo como fracción, como verás en la próxima sección.

De fracciones a decimales y de vuelta

De fracción a decimal

Para convertir una fracción en decimal, divide el numerador entre el denominador. Lo importante es qué tipo de decimal sale:

La barra va sobre los dígitos que se repiten. Algunos problemas lo escriben con un acento circunflejo, $0.\widehat{45}$. Significa lo mismo. Algunos problemas llaman al segundo tipo decimal periódico puro y al tercero decimal periódico mixto.

¿Por qué se repiten los dígitos?

Cuando divides entre 7, cada residuo solo puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6 (si fuera 0, la división terminaría). Así que en 7 pasos como máximo un residuo tiene que volver a aparecer, y desde ahí los dígitos se repiten. Esta es la "rueda de residuos" de $1 \div 7$:

De decimal a fracción

Todo decimal finito o periódico se puede escribir como fracción. Así se hace en cada caso.

Finito. Pon los dígitos (sin el punto) sobre un 1 seguido de tantos ceros como lugares decimales haya, y simplifica:

Periódico. Multiplica por una potencia de 10 de modo que, al restar, las colas infinitas se cancelen.

De vuelta al inicio: el $0.3333333$ de la calculadora se escribe $0.\overline{3}$. Para obtener la fracción, sea $x = 0.\overline{3}$. Entonces $10x - x = 3.333\ldots - 0.333\ldots$, así que $9x = 3$ y $x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Porcentajes, fracciones y decimales

Un porcentaje es una fracción con denominador 100: $25\%$ significa $\frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0.25$. Fracción, decimal y porcentaje son tres nombres para un mismo número.

Para convertir un porcentaje en fracción, ponlo sobre 100 y simplifica. Para convertir un decimal en fracción, léelo como décimos, centésimos, etcétera. Lo mismo vale para decimales mayores que 1.

Para hallar un porcentaje de una cantidad, multiplica por el decimal. Un impuesto sobre la venta de $8\%$ en una chaqueta de $\$50$ es $50 \times 0.08 = \$4$. Para saber qué porcentaje es una parte, divide y convierte: $12$ de $80$ es $\frac{12}{80} = 0.15 = 15\%$.

Fracciones de una cantidad

"De" significa multiplicar. Para hallar $\frac{a}{b}$ de una cantidad, multiplica la cantidad por $\frac{a}{b}$. De forma equivalente, divide la cantidad entre $b$ para obtener una parte y luego multiplica por $a$. Por ejemplo, $\frac{2}{5}$ de $350$ estudiantes es $350 \div 5 = 70$ por parte, por 2, o sea $140$.

Cuando varias personas toman pedazos del mismo entero, suma sus fracciones para ver cuánto se ha tomado. Lo que queda es $1$ menos ese total, porque el entero es $1 = \frac{\text{todas las partes}}{\text{todas las partes}}$.

Una fracción de lo que queda

Algunos problemas toman una fracción del resto. La idea clave: una fracción "de lo que queda" es una fracción de una cantidad menor, así que multiplicas las fracciones.

Trabajar hacia atrás

A veces conoces la cantidad final y necesitas el entero. Si una fracción $\frac{p}{q}$ del total es igual a una cantidad conocida, entonces $\text{total} = \text{cantidad} \div \frac{p}{q}$. Por ejemplo, si $\frac{3}{5}$ de un disco son $90$ GB, el disco tiene $90 \div \frac{3}{5} = 90 \cdot \frac{5}{3} = 150$ GB.

Fracciones en la geometría

Las medidas no siempre son números enteros. Un lado puede medir $\frac{9}{2}$ ft. Sigues usando las mismas fórmulas, perímetro del rectángulo $P = 2(\ell + w)$ y área $A = \ell \cdot w$, pero con fracciones.

¿Qué fracción del área está sombreada?

Para hallar la fracción de una figura que está sombreada, compara áreas o corta la figura en piezas iguales y cuéntalas. Une los puntos medios de los lados de un cuadrado. El cuadrado interior es exactamente la mitad del grande, porque cada uno de los cuatro triángulos de las esquinas es $\frac{1}{8}$ del total.

Si repites el proceso, cada nuevo cuadrado interior tiene la mitad del área del anterior: $\frac{1}{2}$, luego $\frac{1}{4}$, luego $\frac{1}{8}$, y así sucesivamente. Cuando una figura se construye "de forma recursiva", busca el factor que se repite.

Números racionales e irracionales

Cada vez que una operación no se podía hacer, los matemáticos inventaron nuevos números:

• Los números naturales $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ son los números para contar. Si agregas el 0, obtienes los números enteros no negativos (whole numbers). Con ellos no puedes hacer $3 - 5$.

• Los enteros $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ lo arreglan. Pero ahora no puedes hacer $3 \div 5$.

• Los números racionales $\mathbb{Q}$ son todos los números que se pueden escribir como fracción $\frac{a}{b}$ con $a$ y $b \neq 0$ enteros. Incluyen todos los enteros, todos los decimales finitos y todos los decimales periódicos.

• Los números irracionales son decimales que continúan para siempre sin un bloque que se repita, como $\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ o $\pi = 3.14159265\ldots$

• Los racionales y los irracionales juntos forman los números reales $\mathbb{R}$, que llenan toda la recta numérica.

Para clasificar un número, busca el conjunto más pequeño que lo contiene. Primero simplifica: $-\frac{18}{3} = -6$ es un entero (también es racional, pero $\mathbb{Z}$ es más pequeño). Luego, $4.25 = \frac{17}{4}$ es racional y no es entero. Un decimal periódico siempre es racional.

¿Dónde está $\sqrt{2}$?

Aunque sus dígitos nunca terminan, $\sqrt{2}$ tiene un lugar exacto en la recta numérica. Dibuja un cuadrado de lado 1. Por el teorema de Pitágoras, su diagonal mide $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Lleva esa longitud a la recta con un compás:

Hallar números entre dos números

Entre dos números reales distintos cualesquiera hay infinitos racionales e infinitos irracionales. Para encontrar algunos, escribe ambos extremos como decimales y compara dígito por dígito.

Error de medición

Ninguna medición es perfecta. Al comparar el valor medido con el valor real obtienes dos números:

El error absoluto te dice cuánto te equivocaste, en las mismas unidades de la medición. El error relativo compara el error con el tamaño de lo que se midió y no tiene unidades. Por eso permite comparar mediciones de tamaños distintos. Un error relativo menor significa una mejor medición.

Errores en notación científica

Cuando los números están en notación científica, $a \times 10^n$ con $1 \le a < 10$, primero iguala las potencias de 10, luego resta las partes delanteras y escribe la respuesta otra vez en notación científica.

Fracciones y potencias de 2

Duplicar es multiplicar por 2, y fracciones como $\frac{1}{64}$ son potencias de 2 con exponente negativo: $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$. Cada hora de duplicación multiplica por $2$, lo que suma 1 al exponente.

Tasas y mezclas

Tasas de trabajo

Si una llave llena una alberca en $6$ horas, en una hora llena $\frac{1}{6}$ de la alberca. Esa es su tasa. Cuando varias cosas trabajan juntas, suma las tasas (usa una tasa negativa para un desagüe). El tiempo para terminar un trabajo es $1 \div \text{tasa}$ (o la fracción restante $\div$ tasa).

Mezclas con "partes"

"3 partes de oro por cada 1 parte de cobre" significa que $\frac{3}{4}$ del lingote es oro. En general, una razón $p : q$ significa que el primer ingrediente es $\frac{p}{p+q}$ del total. Para mezclar dos cosas, sea $x$ la cantidad de la primera. La segunda es entonces $\text{total} - x$. Luego escribe una ecuación para la cantidad del ingrediente que te interesa.

Resumen