Rectas y planos paralelos y perpendiculares en el espacio

Imagina que tienes una caja de zapatos (forma de ortoedro) sobre tu mesa. Si nos fijamos en las aristas de la tapa:

1. a) Indica dos aristas que sean paralelas entre sí.
2. b) Indica dos aristas que sean perpendiculares y se corten en un vértice.

Imagina una portería de fútbol. Vamos a analizar sus postes como rectas:

1. a) ¿Qué posición relativa tienen los dos postes verticales?
2. b) ¿Qué posición relativa tiene el larguero (poste horizontal) respecto a cada uno de los postes verticales?

Dos aviones vuelan por el cielo. El avión A vuela hacia el Norte a $10.000$ pies de altura. El avión B vuela hacia el Este a $8.000$ pies de altura. Sabiendo que sus trayectorias no se cortan ni son paralelas:

1. a) ¿Cómo se llama a la posición relativa de estas dos trayectorias en el espacio?
2. b) ¿Son estas rectas coplanarias? Explica por qué.

En el diseño de un librero moderno con forma de cubo (como se muestra en la figura), se han numerado algunas de sus aristas. Identifica la posición relativa en el espacio de los siguientes pares de rectas que contienen a dichas aristas:

1. a) Las rectas que pasan por las aristas $r$ y $s$.
2. b) Las rectas que pasan por las aristas $s$ y $t$.
3. c) Las rectas que pasan por las aristas $r$ y $p$.
4. d) Indica una arista que sea perpendicular a la cara superior y no corte a la arista $s$.

Dos rectas en el espacio, $a$ y $b$, se cruzan sin cortarse. Si la recta $a$ es paralela a un plano horizontal $\pi$ y la recta $b$ es perpendicular a ese mismo plano $\pi$:

1. a) ¿Qué ángulo forman las direcciones de las rectas $a$ y $b$?
2. b) ¿Es posible encontrar un plano que contenga a la vez a las dos rectas? ¿Por qué?
3. c) ¿Podemos afirmar que las dos rectas son perpendiculares aunque no tengan ningún punto en común?

En una sala de exposiciones con forma de ortoedro de dimensiones $10 \times 6 \times 4$ pies, se instala un cable tensado que une un vértice del piso con el punto medio de la arista superior opuesta. Un segundo cable une el centro del techo con el punto medio de una de las aristas verticales.

1. a) Determina si existe algún punto donde los cables se toquen (rectas secantes) o si, por el contrario, se cruzan en el espacio sin tocarse.
2. b) ¿Existe algún plano que sea paralelo a ambos cables simultáneamente? Justifica tu respuesta basándote en las direcciones de los cables.

En el gimnasio de la escuela secundaria, una de las columnas verticales (recta $r$) se encuentra con el piso (plano $\pi$).

1. a) ¿Qué posición relativa tienen la columna y el piso?
2. b) Si trazamos cualquier línea en el piso que pase por la base de la columna, ¿qué ángulo formará con ella?

Observa el siguiente cubo e identifica:

1. a) Una arista que sea paralela al plano de la base inferior.
2. b) Una arista que sea perpendicular al plano de la base inferior.

Imagina que el piso de tu habitación es el plano $\pi$ y una de las paredes laterales es el plano $\beta$. Si instalas un cable de fibra óptica que recorre la esquina donde se juntan el techo y la pared frontal (recta $r$):

1. a) ¿Cómo es la recta $r$ respecto al plano del piso $\pi$?
2. b) ¿Cuál es la posición relativa de la recta $r$ respecto al plano de la pared lateral $\beta$?
3. c) Si trazamos una línea vertical en la pared lateral (recta $s$), ¿se cortarán las rectas $r$ y $s$? Justifica si son perpendiculares.

Observa las paredes de tu habitación.

1. a) ¿Qué posición relativa tienen dos paredes opuestas?
2. b) ¿Cómo se llama la recta que se forma cuando dos paredes contiguas se cortan?

Dibuja en tu cuaderno tres planos ($\pi_1, \pi_2, \pi_3$) que cumplan las siguientes condiciones:

1. $\pi_1$ y $\pi_2$ son paralelos entre sí.

2. $\pi_3$ es perpendicular a $\pi_1$.

¿Cómo es la posición relativa entre $\pi_3$ y $\pi_2$?

Dados tres planos en el espacio $\pi_1, \pi_2$ y $\pi_3$, sabemos que $\pi_1$ es paralelo a $\pi_2$ y que $\pi_3$ corta a $\pi_1$ formando una recta $r$.

1. a) ¿Cómo será la posición relativa de $\pi_3$ respecto a $\pi_2$?
2. b) Si llamamos $s$ a la recta de intersección entre $\pi_3$ y $\pi_2$, ¿qué relación de paralelismo o perpendicularidad guardan las rectas $r$ y $s$?
3. c) Si una recta $t$ es perpendicular a $\pi_1$, ¿será también perpendicular a $\pi_2$? ¿Por qué?

Al abrir un libro de matemáticas y dejarlo apoyado sobre la mesa, las dos páginas forman un ángulo diedro.

1. a) Si abrimos el libro totalmente hasta que quede plano sobre la mesa, ¿cuánto mide ese ángulo diedro?
2. b) Si el libro está entreabierto y las páginas forman un ángulo de $90^\circ$, ¿cómo son los planos de las dos páginas entre sí?

Una puerta giratoria de un centro comercial tiene tres hojas de vidrio iguales que se cortan en un eje vertical central.

1. a) ¿Qué nombre recibe cada una de las tres regiones del espacio delimitadas por dos hojas consecutivas?
2. b) Si el ángulo diedro entre la primera y la segunda hoja es de $120^\circ$, y las tres hojas están distribuidas de forma simétrica, ¿cuánto miden los otros dos ángulos diedros?
3. c) Si una mosca se posa exactamente en el eje central, ¿a cuántas caras de los ángulos diedros pertenece?

Observa el rincón de una habitación donde se encuentran dos paredes y el piso. Este conjunto forma un ángulo triedro en el vértice de la esquina inferior.

1. a) ¿Cuánto miden los tres ángulos rectilíneos que definen las caras de este triedro?
2. b) ¿Cuánto suma la medida de los tres ángulos diedros que se forman entre las paredes y el piso?
3. c) Si una mosca vuela siguiendo una trayectoria paralela a la línea del zócalo de una pared, ¿es esa trayectoria paralela también al plano de la otra pared? Explica por qué.

Considera un prisma recto de base hexagonal regular. Analiza la relación entre sus elementos:

1. a) ¿Cuántas caras laterales son perpendiculares a la base inferior?
2. b) ¿Cuántos pares de caras laterales son paralelos entre sí?
3. c) Si trazamos la diagonal de una cara lateral y una arista básica que no tenga ningún vértice en común con esa diagonal, ¿en qué posición relativa se encuentran las rectas que las contienen?

En una pirámide cuadrangular regular (base cuadrada), el vértice superior se llama cúspide.

1. a) Justifica por qué el eje de la pirámide (la recta que une la cúspide con el centro de la base) es perpendicular a cualquier diagonal del cuadrado de la base.
2. b) ¿Existe alguna arista lateral que sea paralela a una arista de la base? Razona tu respuesta.
3. c) ¿Cómo son los planos que contienen a dos caras laterales opuestas? ¿Son secantes o paralelos?

Analiza un prisma hexagonal regular. Considera una recta $r$ que pasa por dos vértices opuestos de la base inferior y una recta $s$ que pasa por dos vértices opuestos de la base superior, pero de tal forma que no sean paralelas entre sí.

1. a) ¿Son las rectas $r$ y $s$ coplanarias?
2. b) Encuentra el número de planos de simetría del prisma que son perpendiculares a la recta que une los centros de ambas bases.
3. c) Si trazamos un plano que contenga a $r$ y sea perpendicular a las caras laterales que atraviesa, ¿qué figura geométrica se obtiene en la sección?

Un foco de luz puntual se sitúa en el centro de la base de un cono recto de radio $R = 5$ pulgadas y altura $H = 12$ pulgadas. El foco emite un rayo de luz que es perpendicular a una de las generatrices del cono.

1. a) ¿Es posible que dicho rayo atraviese la superficie lateral del cono?
2. b) Calcula la distancia desde el foco hasta el punto de la generatriz donde el rayo sería perpendicular. Para ello, visualiza el triángulo rectángulo que forma la sección axial del cono.

Se tiene una esfera de radio $13$ pulgadas. Un plano $\pi_1$ corta a la esfera a una distancia de $5$ pulgadas de su centro, generando un círculo $C_1$. Un segundo plano $\pi_2$, perpendicular al primero, corta también a la esfera pasando por su centro.

1. a) Describe la posición relativa de la recta intersección de ambos planos respecto a la esfera.
2. b) ¿Cuál es la distancia mínima entre el borde del círculo $C_1$ y el plano $\pi_2$? Ayúdate de un dibujo de la sección circular para razonar la respuesta.

En un diseño arquitectónico de vanguardia, se ha proyectado un edificio con forma de octaedro regular. Si trazamos una línea recta $r$ que une los centros de dos caras opuestas y otra recta $s$ que contiene a una de las aristas que no pertenece a ninguna de esas dos caras, determina razonadamente:

1. a) ¿Cuál es la posición relativa entre la recta $r$ y la recta $s$?
2. b) Si introducimos un plano $\pi$ que contenga a la arista $s$ y sea paralelo a la recta $r$, ¿qué tipo de intersección tendría ese plano con el octaedro?

Considera un cubo de arista $a$. Se traza un plano $\pi$ que pasa por los puntos medios de tres aristas que concurren en un mismo vértice.

1. a) Justifica si el plano $\pi$ es perpendicular a la diagonal del cubo que parte de dicho vértice.
2. b) Si repetimos el proceso en los ocho vértices del cubo, los ocho planos cortan al cubo formando un nuevo cuerpo (cubo truncado). Analiza la posición relativa de los planos que han cortado vértices opuestos del cubo original.

Imagina un tetraedro regular apoyado sobre una mesa (plano horizontal).

1. a) ¿Cuántas de sus aristas son perpendiculares entre sí? Justifica tu respuesta analizando los ángulos que forman las aristas que no comparten vértice.
2. b) Si trazamos un plano paralelo a la base que pase por el baricentro del tetraedro, ¿qué posición relativa tiene este plano respecto a las cuatro alturas del cuerpo?