Ángulos, longitudes y áreas

Un diseñador está creando un mosaico para el piso de una plaza utilizando baldosas con forma de hexágono regular. Calcula cuánto mide la suma de todos los ángulos interiores del hexágono y cuál es el valor de cada uno de sus ángulos internos.

Observa la siguiente circunferencia de centro $O$. Si el ángulo central $\angle AOB$ mide $80^\circ$, calcula el valor del ángulo inscrito $\angle ACB$ que abarca el mismo arco.

La ciudad quiere cercar un parque rectangular que mide $40$ pies de largo y $30$ pies de ancho. Además, quieren construir un camino en línea recta que cruce el parque de una esquina a la opuesta (la diagonal). Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de dicho camino.

Un operario de mantenimiento quiere instalar una cámara de seguridad en la esquina de un almacén rectangular. Para ello, apoya una escalera de $5$ pies de longitud de modo que el pie de la misma dista exactamente $1,4$ pies de la pared. Sin embargo, se da cuenta de que para tener el ángulo de visión correcto, necesita que la cámara esté $60$ pulgadas más alta. ¿Qué longitud mínima debería tener la nueva escalera si mantiene el pie en el mismo punto?

Un dron de vigilancia tiene un ángulo de visión de $90^\circ$. Si el dron se encuentra a una altura de $120\text{ m}$ sobre el punto central de una parcela rectangular, y desde su posición los vértices de uno de los lados menores de la parcela se ven bajo ese ángulo de $90^\circ$, calcula la anchura de la parcela. Además, si la distancia desde el dron hasta cualquier vértice de la parcela es de $150\text{ m}$, determina el área total de la parcela rectangular de terreno.

A una hora determinada del día, un poste vertical de $2,5$ pies de altura proyecta una sombra en el piso de $1,5$ pies. En ese mismo instante, la sombra de un árbol mide $6$ pies. Aplicando el teorema de Tales, calcula la altura del árbol.

Un mástil de señales de $8$ pies de altura proyecta una sombra de $6$ pies sobre el suelo a las 11:00 de la mañana. En ese mismo instante, la sombra de una torre de refrigeración cercana mide $45$ pies.

1. Utiliza la semejanza de triángulos para calcular la altura de la torre.

2. Si el cable de seguridad que va desde la punta del mástil de señales hasta el extremo de su sombra estuviera tenso, ¿qué longitud tendría?

En un entrenamiento de topografía, un grupo de alumnos necesita calcular la altura de una montaña. Para ello, colocan dos estacas verticales separadas entre sí por una distancia de $150\text{ m}$ en terreno llano. Desde la base de la primera estaca, que mide $2\text{ m}$, observan que su sombra proyectada por el sol termina exactamente en el mismo punto que la sombra del pico de la montaña. Si la sombra de la estaca mide $3,5\text{ m}$ y la distancia desde la segunda estaca hasta la cima de la montaña (proyectada en el suelo) es de $1,2\text{ km}$, calcula la altura real de la montaña y la distancia en línea recta que tendría que recorrer un dron desde la base de la primera estaca hasta la cima de la montaña.

Una empresa de señalización está fabricando una placa de "Cuidado" con forma de rombo. Si las diagonales del rombo miden $16$ pulgadas y $12$ pulgadas respectivamente, calcula el área de la placa de metal necesaria para fabricarla.

Un arquitecto ha diseñado una ventana para un centro cultural con forma de trapecio isósceles. La base mayor mide $2,8$ pies, la base menor mide $1,6$ pies y los lados no paralelos miden $1,2$ pies cada uno. Para el presupuesto, necesita calcular el área total del vidrio y la suma de los ángulos interiores de la ventana para encargar el marco metálico. ¿Cuál es el área de la ventana?

Se quiere construir una claraboya en el techo de un salón con la forma de un triángulo escaleno. Los lados del triángulo miden $13\text{ dm}$, $14\text{ dm}$ y $15\text{ dm}$. El vidrio utilizado tiene un costo de $45\text{ \$}$ por cada pie cuadrado. Calcula la altura del triángulo sobre el lado de $14\text{ dm}$ (utilizando un sistema de ecuaciones derivado del teorema de Pitágoras) y el costo total del vidrio necesario para la claraboya.

Calcula el área de un pentágono regular si sabemos que su lado mide $10$ pulgadas y su apotema mide aproximadamente $6,88$ pulgadas.

Una empresa de diseño está creando un nuevo logotipo basado en un hexágono regular de $6$ pulgadas de lado. Dentro del hexágono, han trazado las diagonales que conectan vértices alternos, formando una "estrella de David" o hexagrama. Calcula el valor de los ángulos internos de los triángulos que forman la estrella y determina el área de la parte sombreada (la estrella central) sabiendo que la apotema del hexágono original es aproximadamente $5,2$ pulgadas.

En un parque tecnológico han construido una plaza con forma de hexágono regular de $20\text{ m}$ de lado. En el centro de la plaza se ha instalado una fuente circular cuyo borde es tangente a todos los lados del hexágono. La ciudad quiere pavimentar con baldosas especiales solo la superficie comprendida entre la fuente y el perímetro del hexágono. Calcula el área que debe ser pavimentada utilizando $\pi \approx 3,1416$ y redondeando el resultado a dos decimales.

Un centro deportivo tiene una piscina con una forma peculiar: un rectángulo de $20$ pies por $10$ pies, y en uno de sus lados cortos se ha añadido una zona semicircular para niños. Calcula el perímetro total de la piscina. (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

En una plaza de tu ciudad hay una baldosa gigante con forma de corona circular. El radio del círculo exterior es de $4$ pies. Se sabe que el área de la parte transitable (la corona en sí) es de $7\pi$ $m^2$. Calcula el radio del círculo interior y determina la longitud de la cerca circular que habría que poner para rodear únicamente el hueco interior.

En una pizzería, una pizza familiar tiene un diámetro de $40$ pulgadas. Si cortamos una rebanada que forma un sector circular con un ángulo central de $60^\circ$, calcula el área de esa rebanada de pizza. (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Calcula el área de un segmento circular de $90^\circ$ de amplitud perteneciente a una circunferencia de radio $12$ pulgadas.

Pista: Recuerda que el área del segmento circular se obtiene restando el área del triángulo formado por el arco al área del sector circular correspondiente.

Una parcela tiene forma de romboide con una base de $15$ pies y una altura de $8$ pies. En una de las esquinas, el dueño ha instalado un aspersor que riega en un ángulo de $60^\circ$ con un alcance de $6$ pies.

1. Calcula el área total de la parcela.

2. Calcula el área de la parcela que queda sin regar.

Estamos diseñando un parque infantil con una zona de juegos circular. En el plano, hemos dibujado un triángulo inscrito en la circunferencia de la zona de juegos de modo que uno de los lados del triángulo coincide exactamente con el diámetro de la circunferencia, que mide $10$ pies. Si otro de los lados mide $6$ pies:

1. Justifica de qué tipo es el triángulo atendiendo a sus ángulos.

2. Calcula el área de la región de la zona de juegos que queda fuera del triángulo.

Una empresa de diseño gráfico está creando un nuevo logotipo basado en las propiedades de la circunferencia. Han dibujado una circunferencia de radio $R = 8\text{ cm}$. Dentro de ella, han trazado dos cuerdas paralelas situadas a ambos lados del centro, una de $10\text{ cm}$ y otra de $14\text{ cm}$ de longitud. El área del logotipo es el trapecio isósceles que se forma al unir los extremos de estas dos cuerdas. Calcula el área de dicho trapecio y la distancia exacta que separa a las dos cuerdas.

Una señal de tránsito tiene forma de octógono regular. Sabemos que la distancia máxima entre dos vértices opuestos (el diámetro de la circunferencia circunscrita) es de $80\text{ cm}$. Un operario debe pintar la señal de color rojo, excepto un cuadrado central cuyos vértices coinciden con los puntos medios de cuatro de los lados del octógono (formando una cruz interior). Calcula el área que debe pintarse de rojo y el ángulo interior de dicho octógono.

Un arquitecto está diseñando un ventanal para un museo con una forma geométrica particular. El diseño consiste en un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden $10\text{ m}$ y cuya base mide $12\text{ m}$. En el interior, desea colocar un panel solar rectangular cuya base esté apoyada sobre la base del triángulo y sus dos vértices superiores toquen los lados iguales del triángulo. Si el arquitecto quiere que la altura del rectángulo sea exactamente la mitad de su base, calcula las dimensiones del rectángulo y el área de la región del triángulo que queda sin cubrir por el panel solar.

El "Rosetón de la Catedral" de una ciudad está formado por una circunferencia exterior de diámetro $6\text{ m}$. En su interior, se inscriben cuatro semicircunferencias iguales cuyos diámetros coinciden con los radios perpendiculares de la circunferencia exterior, formando una especie de flor de cuatro pétalos. Calcula el área de la región central que queda delimitada por el cruce de estas cuatro semicircunferencias (la zona sombreada en la figura).