Ejercicios: Fracciones y decimales

Observe la siguiente ilustración que representa el nivel de carga de la batería de un teléfono celular.

1. Escriba la fracción que representa la parte cargada de la batería respecto al total.

2. Simplifique dicha fracción hasta obtener su fracción irreducible.

3. Si la batería tiene una capacidad total de $4000 \text{ mAh}$, ¿cuántos mAh de energía quedan disponibles?

Indique si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. Para justificar su respuesta, utilice el método del producto cruzado (multiplicar en cruz) o simplifique ambas fracciones hasta obtener la irreducible.

1. a) $\frac{3}{5}$ y $\frac{9}{15}$
2. b) $\frac{4}{7}$ y $\frac{10}{21}$
3. c) $\frac{-2}{3}$ y $\frac{8}{-12}$

Represente en la siguiente recta numérica, de forma aproximada, los números racionales que se indican a continuación.

Números a representar:

• $A = \frac{3}{2}$

• $B = -\frac{1}{2}$

• $C = \frac{3}{4}$

• $D = -1,5$

Realice las siguientes operaciones combinadas con fracciones. Recuerde simplificar el resultado final siempre que sea posible y respete el orden de las operaciones (primero paréntesis, luego multiplicaciones/divisiones, y finalmente sumas/restas).

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$
2. b) $\left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) : \frac{5}{2}$
3. c) $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$

Clasifique los siguientes números decimales según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, convierta los dos primeros (incisos a y b) en su correspondiente fracción generatriz.

1. a) $2,5$
2. b) $1,333...$
3. c) $4,1252525...$
4. d) $0,08$

Un grupo de amigos compra una pizza gigante para cenar.

• Isabella se come $\frac{1}{6}$ de la pizza.

• Carlos se come $\frac{2}{6}$ de la pizza.

• Sofía se come $\frac{1}{3}$ de la pizza.

1. a) ¿Qué fracción de la pizza se comieron entre los tres? (Recuerde reducir a común denominador si es necesario).
2. b) ¿Qué fracción de pizza ha sobrado?

Calcule la fracción irreducible equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes y números decimales.

1. a) $25\%$
2. b) $0,75$
3. c) $10\%$
4. d) $1,5$

En una escuela secundaria de 500 estudiantes, se ha realizado una encuesta sobre sus deportes favoritos. Los resultados son los siguientes:

• $\frac{1}{2}$ de los estudiantes prefiere el fútbol.

• $\frac{3}{10}$ de los estudiantes prefiere el básquetbol.

• El resto de los estudiantes prefiere otros deportes.

1. a) ¿Cuántos estudiantes prefieren el fútbol?
2. b) ¿Cuántos estudiantes prefieren el básquetbol?
3. c) ¿Qué fracción del total de estudiantes prefiere "otros deportes"?

Clasifique los siguientes números en el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) y, para aquellos que sean decimales (exactos o periódicos), halle su fracción generatriz simplificada.

1. a) $4,25$
2. b) $-7$
3. c) $3,1\widehat{6}$
4. d) $5,\widehat{27}$
5. e) $-\frac{18}{3}$

Una vez obtenidas las fracciones, ordénelas de menor a mayor.

Realice las siguientes operaciones combinadas con fracciones, respetando el orden de las operaciones. Recuerde simplificar el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.

$$ \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right)^{-2} + \frac{5}{3} \cdot \left( \frac{2}{5} - 1 \right) - \frac{1}{2} : \frac{3}{4} $$

Diego ha estado revisando el almacenamiento de su teléfono celular, que tiene una capacidad total de $128 \text{ GB}$. Observe la siguiente distribución de sus datos:

1. El sistema operativo y las aplicaciones preinstaladas ocupan $\frac{1}{8}$ del total.

2. Las fotos y videos de sus vacaciones ocupan $\frac{2}{5}$ del resto (lo que queda libre tras contar el sistema).

3. Sus juegos ocupan $\frac{1}{4}$ de lo que quedaba tras guardar las fotos.

¿Qué fracción del total representa el espacio que aún tiene libre? ¿Cuántos Gigabytes (GB) son? Apóyese en el siguiente esquema para visualizar el problema.

Tenemos dos básculas diferentes.

• Báscula A: Se utiliza en un laboratorio y al pesar una probeta nos da un valor de $24,5 \text{ g}$. El valor real exacto es $\frac{49}{2} \text{ g}$.

• Báscula B: Se utiliza en una bodega y al pesar una caja nos da un valor de $5,4 \text{ kg}$. El valor real exacto es $\frac{16}{3} \text{ kg}$.

Calcule el error absoluto y el error relativo cometido en cada medición. ¿Cuál de las dos mediciones es más precisa? Justifique su respuesta basándose en el error relativo.

Calcule el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo primero todos los números decimales a su fracción generatriz. No utilice aproximaciones decimales durante el proceso.

$$ \frac{1,2 - 0,\widehat{6}}{1 - 0,8\widehat{3}} : 3^{-1} $$

Tres amigos, Isabella, Beto y Carla, deciden comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\$120 \text{ \$}$.

• Isabella aporta $\frac{2}{5}$ del total.

• Beto aporta $\frac{1}{3}$ del total.

• Carla pone el resto.

1. a) ¿Qué fracción del total aporta Carla?
2. b) ¿Cuántos dólares paga cada uno?
3. c) Si hubieran decidido pagar a partes iguales, ¿qué fracción del total habría pagado cada uno y cuánto dinero supondría?

Se quiere cercar un terreno rectangular. Sabemos que la longitud de su base es de $\frac{15}{2}$ pies y su altura mide $\frac{2}{3}$ de la medida de la base.

1. a) Calcule el perímetro del rectángulo en forma de fracción y en forma decimal.
2. b) Calcule el área del terreno en pies cuadrados ($\text{m}^2$).
3. c) Si el pie de cerca cuesta $\$8,50 \text{ \$}$, ¿cuánto costará cercar todo el terreno?

Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada hora. Inicialmente, en un cultivo hay un número determinado de bacterias que ocupa $\frac{1}{64}$ de la capacidad total de la placa de Petri.

1. a) Si cada hora se duplica la población, ¿qué fracción de la placa estará ocupada después de 3 horas? Exprese el resultado como una potencia de base 2.
2. b) ¿Cuántas horas en total tendrán que pasar (desde el inicio) para que la placa esté completamente llena (es decir, la fracción sea 1)?
3. c) Si al inicio había 500 bacterias (correspondientes a ese $\frac{1}{64}$), ¿cuántas bacterias habrá cuando la placa esté a la mitad de su capacidad?

Calcule el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificando el resultado paso a paso:

$$ \frac{1,1\widehat{6} - \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \cdot 0,1}{2 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}} + \sqrt{0,\widehat{4}} $$

Nota: Recuerde respetar el orden de las operaciones y trabajar con fracciones durante todo el proceso para evitar errores de redondeo.

Un servidor de almacenamiento en la nube ha sufrido una serie de cargas masivas de datos y borrados accidentales durante el fin de semana.

1. El sábado por la mañana, el servidor estaba lleno hasta los $\frac{3}{4}$ de su capacidad total.

2. Al mediodía, un script automático borró $\frac{1}{5}$ de los datos que había almacenados en ese momento.

3. Por la tarde, se subieron nuevos archivos que ocuparon $\frac{2}{3}$ de la capacidad que había quedado libre tras el borrado.

Si al final del día aún quedaban 120 GB de espacio libre en el disco duro del servidor:

a) ¿Qué fracción del total del disco representa el espacio libre final?

b) ¿Cuál es la capacidad total de almacenamiento del servidor en GB?

Observe la siguiente figura geométrica que representa un terreno cuadrado dividido en diferentes parcelas de cultivo.

Calcule qué fracción del área total del cuadrado representa la zona sombreada (color naranja). Exprese el resultado como una fracción irreducible.

Pista: Puede asumir que las líneas divisorias conectan vértices con puntos medios o puntos medios entre sí de manera recursiva.

En un laboratorio de química se están realizando mediciones de precisión. Dos estudiantes, Álex y Bea, miden la longitud de una fibra microscópica.

• El valor real de la longitud de la fibra es $2,345 \cdot 10^{-4}$ metros.

• Álex obtiene una medida de $2,3 \cdot 10^{-4}$ metros.

• Bea obtiene una medida de $2,4 \cdot 10^{-4}$ metros.

Responda justificando sus respuestas con cálculos:

a) Calcule el error absoluto cometido por cada estudiante. Exprese el resultado en notación científica.

b) Calcule el error relativo de cada medición y expréselo como un porcentaje.

c) Basándose en el error relativo, ¿cuál de las dos mediciones es más precisa y por qué?

d) Si truncamos el valor real a las diezmilésimas, ¿coincide con el redondeo a las diezmilésimas? Explíquelo.

Tres llaves ($A$, $B$ y $C$) vierten agua a un tanque, y un desagüe ($D$) permite vaciarlo.

• La llave $A$ llena el tanque en 4 horas si funciona sola.

• La llave $B$ llena el tanque en 6 horas si funciona sola.

• La llave $C$ llena el tanque en 12 horas si funciona sola.

• El desagüe $D$ vacía el tanque lleno en 8 horas.

El tanque está inicialmente vacío. Se abren las tres llaves ($A$, $B$, $C$) y el desagüe ($D$) simultáneamente. Sin embargo, a las 2 horas de funcionamiento, se cierra la llave $A$ por una falla, dejando las otras dos y el desagüe funcionando.

Calcule el tiempo total (en horas y minutos) que tardará el tanque en llenarse por completo desde el inicio.

Encuentre dos números racionales y dos números irracionales que se encuentren estrictamente comprendidos en el intervalo:

$$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1,4\widehat{5} \right) $$

Explique detalladamente el procedimiento que siguió para encontrarlos y demuestre que, efectivamente, pertenecen a dicho intervalo.

Un joyero dispone de dos lingotes de una aleación de oro y cobre.

• El primer lingote tiene una pureza tal que por cada 5 partes de oro hay 2 de cobre.

• El segundo lingote es de menor calidad, teniendo 3 partes de oro por cada 4 partes de cobre.

El joyero funde una cierta cantidad del primer lingote con una cierta cantidad del segundo para obtener un nuevo lingote de 420 gramos. Si desea que la fracción final de oro en el nuevo lingote sea exactamente $\frac{2}{3}$ del peso total:

¿Cuántos gramos debe cortar y fundir de cada uno de los dos lingotes originales?

Sea $x$ un número decimal periódico mixto cuya parte entera es 0.

Sabiendo que:

• Su anteperiodo tiene 2 cifras.

• Su periodo tiene 1 cifra.

• La fracción generatriz irreducible de dicho número tiene como denominador 900.

• El número satisface que: $\frac{1}{8} < x < \frac{1}{7}$

Encuentre todos los posibles valores de $x$ y expréselos como fracción y como número decimal.