Volumen de cuerpos geométricos
Emma está comprando una pecera. La caja dice "20 galones" y la pecera mide 24 in. por 12 in. por 16 in. ¿De verdad caben 20 galones? Para saberlo necesitas el volumen: la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. Volveremos a la pecera de Emma al final.
Unidades de volumen y capacidad
El volumen se mide en unidades cúbicas. Una pulgada cúbica ($1\text{ in.}^3$) es un cubo de 1 pulgada en cada arista. Si cuentas cuántos de esos cubos caben dentro de un cuerpo, obtienes su volumen.
Las unidades cúbicas crecen rápido. Como $1\text{ ft} = 12\text{ in.}$, un cubo de 1 pie de lado contiene $12 \times 12 \times 12$ cubitos de una pulgada.
Estas son las equivalencias que necesitas.
| Sistema | Equivalencias |
|---|---|
| Usual de EE. UU. | $1\text{ ft}^3 = 1{,}728\text{ in.}^3$, $\;1\text{ yd}^3 = 27\text{ ft}^3$ |
| Capacidad (usual) | $1\text{ gal} = 231\text{ in.}^3$, así que $1\text{ ft}^3 \approx 7.48\text{ gal}$ |
| Métrico | $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$, $\;1\text{ dm}^3 = 1{,}000\text{ cm}^3 = 1\text{ L}$ |
La capacidad es la cantidad de líquido que cabe en un recipiente. El volumen es el espacio; la capacidad es ese mismo espacio medido en galones, litros o tazas.
Una nota sobre la notación: algunos problemas escriben los decimales con coma, como $\pi \approx 3,14$ o $1,5\text{ ft}$. En EE. UU. escribimos punto decimal: $\pi \approx 3.14$ y $1.5\text{ ft}$.
Un acuario tiene forma de ortoedro con las siguientes medidas: $60\text{ cm}$ de largo, $30\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de alto. Calcula cuántos litros de agua…
Un acuario tiene forma de ortoedro con las siguientes medidas: $60\text{ cm}$ de largo, $30\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de alto. Calcula cuántos litros de agua caben en el acuario si se llena por completo. (Recuerda que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro}$).
Un termo para café tiene forma cilíndrica. El radio de la base mide $4 \text{ cm}$ y la altura total es de $25 \text{ cm}$. Si el termo está lleno hasta el $80 \%$ de su…
Un termo para café tiene forma cilíndrica. El radio de la base mide $4 \text{ cm}$ y la altura total es de $25 \text{ cm}$. Si el termo está lleno hasta el $80 \%$ de su capacidad, ¿cuántos vasos de $150 \text{ ml}$ se pueden llenar completamente?
(Toma $\pi \approx 3,14$ y recuerde que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litro}$).
Prismas y cilindros
Un prisma o un cilindro es una pila de capas idénticas. Cada capa tiene la misma forma y el mismo área que la base. Si las apilas hasta una altura $h$, obtienes:
$$V = B \cdot h$$Aquí $B$ es el área de la base y $h$ es la altura (la distancia perpendicular entre las bases). En un prisma rectangular, $B = \ell w$, así que $V = \ell w h$. En un cilindro, la base es un círculo, así que $V = \pi r^2 h$.
Si cortas un cuerpo en dos partes iguales, cada parte tiene la mitad del volumen. Un cilindro cortado por la mitad a lo largo da dos piezas de volumen $\tfrac{1}{2}\pi r^2 h$.
Un paquete que contiene un teclado "gamer" tiene forma de prisma rectangular. Sus dimensiones son $45\text{ cm}$ de largo, $15\text{ cm}$ de ancho y $5\text{ cm}$ de…
Un paquete que contiene un teclado "gamer" tiene forma de prisma rectangular. Sus dimensiones son $45\text{ cm}$ de largo, $15\text{ cm}$ de ancho y $5\text{ cm}$ de altura. Calcule el volumen de aire que ocupa la caja en pulgadas cúbicas.
Una lata de refresco cilíndrica tiene un diámetro de $6\text{ cm}$ y una altura de $12\text{ cm}$. Calcule su volumen utilizando el valor de $\pi \approx 3,14$.
Una lata de refresco cilíndrica tiene un diámetro de $6\text{ cm}$ y una altura de $12\text{ cm}$. Calcule su volumen utilizando el valor de $\pi \approx 3,14$.
Una pieza de queso tiene forma de cilindro con un radio de $10\text{ cm}$ y una altura de $8\text{ cm}$. Si cortamos el queso exactamente por la mitad verticalmente,…
Una pieza de queso tiene forma de cilindro con un radio de $10\text{ cm}$ y una altura de $8\text{ cm}$. Si cortamos el queso exactamente por la mitad verticalmente, ¿cuál será el volumen de cada una de las dos partes resultantes? (Usa $\pi \approx 3,14$).
Cuando la base da más trabajo
La regla $V = B \cdot h$ funciona para cualquier prisma. La única dificultad es hallar $B$. Aquí tienes dos bases que verás mucho.
Triángulo: $B = \tfrac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}$. En un triángulo rectángulo, los dos catetos son la base y la altura del triángulo.
Hexágono regular: seis triángulos iguales se juntan en el centro. Cada uno es equilátero, así que la distancia del centro a un vértice es igual al lado $s$. La apotema $a$ es la distancia del centro al punto medio de un lado. Usa el teorema de Pitágoras para hallarla.
$$B = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot P \qquad (P = \text{perímetro})$$Calcula el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, sabiendo que la altura del prisma es de $15\text{ cm}$.
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, sabiendo que la altura del prisma es de $15\text{ cm}$.
La ciudad ha instalado jardineras de concreto con forma de prisma hexagonal regular. Si cada lado del hexágono de la base mide $30 \text{ cm}$ y la altura de la…
La ciudad ha instalado jardineras de concreto con forma de prisma hexagonal regular. Si cada lado del hexágono de la base mide $30 \text{ cm}$ y la altura de la jardinera es de $60 \text{ cm}$, calcule el volumen de tierra (en litros) necesario para llenarla por completo.
(Dato: recuerde que primero debe hallar la apotema de la base utilizando el teorema de Pitágoras).
Pirámides y conos: un tercio
Llena una pirámide con agua y viértela en un prisma con la misma base y la misma altura. Necesitarás exactamente tres pirámides para llenar el prisma. Lo mismo pasa con un cono y un cilindro.
$$V_{\text{pirámide}} = \frac{1}{3}Bh \qquad V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$La altura $h$ es siempre la distancia perpendicular desde la punta hasta la base. No es la arista inclinada. Si un problema da la altura inclinada $\ell$ de un cono o una arista lateral de una pirámide, usa el teorema de Pitágoras para hallar $h$.
El mismo plan sirve para cualquier base regular: la distancia del centro a una esquina es un cateto del triángulo rectángulo. En un hexágono regular, esa distancia es simplemente la longitud del lado.
Una pirámide de vidrio decorativa tiene una base cuadrada de $8\text{ cm}$ de lado y una altura de $10\text{ cm}$. Calcule el volumen de vidrio necesario para fabricarla.
Una pirámide de vidrio decorativa tiene una base cuadrada de $8\text{ cm}$ de lado y una altura de $10\text{ cm}$. Calcule el volumen de vidrio necesario para fabricarla.
Un cono de helado tiene forma de cono. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$. Calcule cuántas pulgadas cúbicas de helado caben en su…
Un cono de helado tiene forma de cono. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$. Calcule cuántas pulgadas cúbicas de helado caben en su interior (sin que sobresalga nada por arriba).
Una pirámide de vidrio para decoración tiene una base cuadrada de $12 \text{ cm}$ de lado. Si la arista lateral (el segmento que une el vértice superior con un vértice…
Una pirámide de vidrio para decoración tiene una base cuadrada de $12 \text{ cm}$ de lado. Si la arista lateral (el segmento que une el vértice superior con un vértice de la base) mide $10 \text{ cm}$, calcule el volumen de vidrio que contiene la pieza.
(Nota: deberá aplicar el teorema de Pitágoras dos veces: primero para hallar la diagonal de la base y luego para hallar la altura de la pirámide).
Esferas
Una esfera es el conjunto de todos los puntos que están a distancia $r$ de un centro. Su volumen es
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$Una semiesfera (o hemisferio) es la mitad de una esfera, así que $V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$.
Una idea muy útil: cuando derrites un cuerpo y lo moldeas de nuevo, el volumen se conserva (si no se pierde material). Iguala los volúmenes y resuelve.
El profesor de educación física guarda las pelotas de balonmano en una caja. Si cada pelota tiene un radio de $9\text{ cm}$, calcule el volumen de una de ellas y…
El profesor de educación física guarda las pelotas de balonmano en una caja. Si cada pelota tiene un radio de $9\text{ cm}$, calcule el volumen de una de ellas y redondee a dos decimales. (Use $\pi \approx 3,14$).
Tres bolas metálicas de radio $3 \text{ cm}$ se funden para crear una única esfera de mayor tamaño. Suponiendo que no se pierde material en el proceso, ¿cuál será el…
Tres bolas metálicas de radio $3 \text{ cm}$ se funden para crear una única esfera de mayor tamaño. Suponiendo que no se pierde material en el proceso, ¿cuál será el radio de la nueva esfera resultante? Redondee el resultado a las centésimas.
Cuerpos compuestos
Muchos objetos reales están formados por varios cuerpos sencillos: un silo (cilindro más cono más cúpula), un tanque de propano (cilindro más dos semiesferas), un tubo hueco. Para hallar el volumen, divide el objeto en piezas, halla el volumen de cada una y luego suma (o resta un hueco).
Se desea fabricar un helado con forma de cono cuya generatriz mide $15 \text{ cm}$ y el radio de su base es de $6 \text{ cm}$. Calcule el volumen de helado que cabe en…
Se desea fabricar un helado con forma de cono cuya generatriz mide $15 \text{ cm}$ y el radio de su base es de $6 \text{ cm}$. Calcule el volumen de helado que cabe en el interior del cono. Si al servirlo se añade una semiesfera perfecta de helado sobre la base (del mismo radio), ¿cuál será el volumen total del helado?
Calcule el volumen de un cuerpo geométrico formado por un cilindro de $10 \text{ cm}$ de altura y $4 \text{ cm}$ de radio, que tiene en su parte superior una pirámide…
Calcule el volumen de un cuerpo geométrico formado por un cilindro de $10 \text{ cm}$ de altura y $4 \text{ cm}$ de radio, que tiene en su parte superior una pirámide cuadrangular cuya base está inscrita en la circunferencia del cilindro y cuya altura es de $6 \text{ cm}$.
(Pista: el lado del cuadrado de la base de la pirámide coincide con el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio $4 \text{ cm}$).
Desplazamiento y agua que sube
Cuando dejas caer un objeto en un recipiente con agua, el objeto empuja el agua y el nivel sube. Si el objeto está completamente sumergido, el agua que subió tiene exactamente el mismo volumen que el objeto.
El agua "extra" forma un prisma o cilindro cuya base es la base del recipiente y cuya altura es la subida $\Delta h$:
$$V_{\text{objeto}} = B_{\text{recipiente}} \cdot \Delta h$$Un vaso cilíndrico de $6 \text{ cm}$ de diámetro interior contiene agua hasta una altura de $10 \text{ cm}$. Se introduce en su interior una piedra de forma irregular y…
Un vaso cilíndrico de $6 \text{ cm}$ de diámetro interior contiene agua hasta una altura de $10 \text{ cm}$. Se introduce en su interior una piedra de forma irregular y el nivel del agua sube hasta los $12,5 \text{ cm}$ sin llegar a desbordarse. ¿Cuál es el volumen de la piedra expresado en pulgadas cúbicas?
Se desea sumergir una pieza metálica con forma de pirámide hexagonal regular en un recipiente cilíndrico de $15\text{ cm}$ de radio que contiene agua. La pirámide tiene…
Se desea sumergir una pieza metálica con forma de pirámide hexagonal regular en un recipiente cilíndrico de $15\text{ cm}$ de radio que contiene agua. La pirámide tiene una arista básica de $10\text{ cm}$ y una arista lateral de $20\text{ cm}$. Al introducir la pieza completamente, ¿cuántos milímetros subirá el nivel del agua en el recipiente? (Recuerde que primero debe calcular la altura de la pirámide usando el teorema de Pitágoras dos veces).
Densidad y recipientes parcialmente llenos
La densidad te dice cuánta masa hay en cada unidad de volumen:
$$\text{densidad} = \frac{\text{masa}}{\text{volumen}} \qquad\text{así que}\qquad \text{masa} = \text{densidad} \times \text{volumen}$$El agua tiene una densidad de $1\text{ g/cm}^3$ (o unas $62.4\text{ lb/ft}^3$). Mantén las unidades consistentes: si la densidad está por $\text{cm}^3$, el volumen debe estar en $\text{cm}^3$.
Si un recipiente está lleno al $75\%$ de su capacidad, el volumen del contenido es $0.75 \times$ la capacidad. Si un proceso pierde el $5\%$ del material, te quedas con el $95\%$, así que multiplica por $0.95$.
Una esfera de plomo de $10\text{ cm}$ de radio se funde para fabricar pequeños cilindros de $2\text{ cm}$ de diámetro y $3\text{ cm}$ de altura. Suponiendo que en el…
Una esfera de plomo de $10\text{ cm}$ de radio se funde para fabricar pequeños cilindros de $2\text{ cm}$ de diámetro y $3\text{ cm}$ de altura. Suponiendo que en el proceso de fundición se pierde un $5\%$ del material, ¿cuántos cilindros completos se podrán fabricar? Si cada cilindro tiene una masa de $107\text{ g}$, ¿cuál es la densidad del plomo utilizado en $g/cm^3$?
Un silo de cereales tiene una forma compuesta: una parte central cilíndrica de $12\text{ m}$ de altura y $4\text{ m}$ de diámetro, rematada en la parte superior por una…
Un silo de cereales tiene una forma compuesta: una parte central cilíndrica de $12\text{ m}$ de altura y $4\text{ m}$ de diámetro, rematada en la parte superior por una semiesfera y en la parte inferior por un cono de descarga de $3\text{ m}$ de altura. Calcule la capacidad total del silo en pies cúbicos. Si el silo se llena al $85\%$ de su capacidad, ¿cuántas toneladas de trigo contendrá si la densidad del trigo es de $750\text{ kg/m}^3$?
Cuerpos semejantes y troncos
Dos cuerpos son semejantes si uno es una copia ampliada o reducida del otro, con todas las longitudes multiplicadas por el mismo factor de escala $k$. Entonces:
-
las longitudes se multiplican por $k$,
-
las áreas se multiplican por $k^2$,
-
los volúmenes se multiplican por $k^3$.
Así, un cono cortado a la mitad de la altura (medida desde la punta) es un cono semejante con $k = \tfrac{1}{2}$. Su volumen es $\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = \tfrac{1}{8}$ del cono completo. Así se halla el radio de la superficie de un líquido en un recipiente cónico: el radio se escala con el mismo $k$ que la altura.
Un tronco (frustum) es lo que queda de un cono o una pirámide al cortar la punta con un plano paralelo a la base. Para hallar su volumen, piénsalo como un cono grande menos un cono pequeño.
Los conos semejantes también ayudan con arena o líquido dentro de un cono. El volumen dividido entre la tasa de flujo da el tiempo: $\text{tiempo} = \text{volumen} \div \text{tasa}$.
Un tanque de agua tiene forma de tronco de cono. El radio de la base mayor es de $3 \text{ m}$, el radio de la base menor es de $1,5 \text{ m}$ y la altura del tanque es…
Un tanque de agua tiene forma de tronco de cono. El radio de la base mayor es de $3 \text{ m}$, el radio de la base menor es de $1,5 \text{ m}$ y la altura del tanque es de $4 \text{ m}$. Calcule la capacidad del tanque en pies cúbicos.
(Sugerencia: puede usar la fórmula del volumen del tronco de cono o verlo como la diferencia entre dos conos).
Se tiene un reloj de arena formado por dos conos idénticos unidos por sus vértices, dentro de un cilindro protector de vidrio. Los conos tienen un radio de base de…
Se tiene un reloj de arena formado por dos conos idénticos unidos por sus vértices, dentro de un cilindro protector de vidrio. Los conos tienen un radio de base de $6\text{ cm}$ y una altura de $10\text{ cm}$. Si el recipiente superior está lleno de arena hasta la mitad de su altura, calcule el volumen de arena en $cm^3$. Si la arena cae al recipiente inferior a un ritmo constante de $5\text{ cm}^3$ por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse la parte superior? (Recuerde aplicar la semejanza de conos para hallar el radio de la superficie de la arena).
Cuerpos huecos y tallados
A veces necesitas el volumen del material, no el del espacio interior. Entonces:
$$V_{\text{material}} = V_{\text{exterior}} - V_{\text{hueco}}$$Para hallar el tamaño del hueco, resta el grosor de la pared a cada medida exterior que toque una pared: dos veces en un ancho que tiene pared en ambos lados, y una vez en el fondo de un recipiente abierto por arriba.
El mismo plan funciona cuando el exterior es un tronco: halla el volumen exterior con el atajo del tronco, reduce cada lado de la base en el doble del grosor de la pared y la altura en el grosor del fondo para obtener el hueco, usa el atajo otra vez y resta. Si piden la respuesta en $\text{dm}^3$, convierte desde $\text{cm}^3$ al final (divide entre $1{,}000$).
También puedes tallar esquinas. Si cortas una esquina de un cubo por los puntos medios de las tres aristas de esa esquina, la pieza que quitas es una pirámide. Sus tres aristas son perpendiculares entre sí, así que la base es un triángulo rectángulo y la tercera arista es la altura.
Una empresa de diseño de mobiliario urbano ha proyectado un bote de basura de concreto con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las dimensiones externas de…
Una empresa de diseño de mobiliario urbano ha proyectado un bote de basura de concreto con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las dimensiones externas de la base superior son de $40\text{ cm}$ de lado, las de la base inferior son de $30\text{ cm}$ de lado y la altura total es de $80\text{ cm}$. Para que sea funcional, el interior está hueco con la misma forma, pero dejando unas paredes de un grosor constante de $5\text{ cm}$ en los laterales y en la base inferior (la parte superior está abierta). Calcule el volumen de concreto necesario para fabricar cada bote de basura en decímetros cúbicos ($dm^3$).
Un escultor desea crear una pieza de acero inoxidable que consiste en un cubo de $20\text{ cm}$ de arista al que se le han extraído ocho tetraedros en sus esquinas. Cada…
Un escultor desea crear una pieza de acero inoxidable que consiste en un cubo de $20\text{ cm}$ de arista al que se le han extraído ocho tetraedros en sus esquinas. Cada tetraedro se forma uniendo el vértice del cubo con los puntos medios de las tres aristas que concurren en dicho vértice (un truncamiento medio). Determine el volumen final de la escultura. ¿Qué porcentaje del volumen del cubo original se ha eliminado?
Un envase de perfume tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. Sin embargo, el vidrio tiene un grosor de $2\text{ mm}$ en todas sus caras. El…
Un envase de perfume tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. Sin embargo, el vidrio tiene un grosor de $2\text{ mm}$ en todas sus caras. El fabricante afirma que el envase puede contener $80\text{ ml}$ de fragancia ($1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Realice los cálculos necesarios para comprobar si la afirmación es verdadera. (Dato: El volumen de un octaedro de arista $a$ es $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$. Deberá considerar cómo afecta el grosor a la arista del hueco interior).
Principio de Cavalieri y el volumen de la esfera
Toma una pila de monedas y empújala para que se incline. Las monedas son las mismas y la pila tiene la misma altura, así que el volumen no puede haber cambiado.
Así comparan los matemáticos una esfera con cuerpos que ya conocen. Corta una esfera de radio $R$ a una distancia $y$ de su centro. La sección es un círculo. Su radio $s$, la distancia $y$ y $R$ forman un triángulo rectángulo, así que por el teorema de Pitágoras $s = \sqrt{R^2 - y^2}$ y la sección tiene área $\pi(R^2 - y^2)$.
Ahora compara la esfera con un segundo cuerpo: un cilindro de radio $R$ y altura $2R$ al que se le quita por dentro un doble cono. Los dos conos se tocan en el centro del cilindro, y cada uno tiene altura $R$ y radio de base $R$. Corta ambos cuerpos a una distancia $y$ del centro.
La sección del cilindro es un círculo completo de área $\pi R^2$. El doble cono es un cono cuyo radio es igual a su distancia al centro, así que su sección tiene radio $y$ y área $\pi y^2$. Lo que queda, el anillo, tiene área $\pi R^2 - \pi y^2 = \pi(R^2 - y^2)$. Esa es exactamente el área de la sección de la esfera a la misma altura. Las alturas son iguales ($2R$), así que el principio de Cavalieri dice que los dos cuerpos tienen el mismo volumen.
El principio de Cavalieri establece que si dos cuerpos tienen la misma altura y el área de sus secciones a cualquier altura es igual, entonces tienen el mismo volumen.…
El principio de Cavalieri establece que si dos cuerpos tienen la misma altura y el área de sus secciones a cualquier altura es igual, entonces tienen el mismo volumen. Utilice esta idea para comparar el volumen de una esfera de radio $R$ con el volumen comprendido entre un cilindro de radio $R$ y altura $2R$, y un doble cono inscrito en él. Demuestre matemáticamente que el volumen de la esfera es efectivamente $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ calculando primero el volumen del cilindro y restándole el de los dos conos.
De vuelta al inicio: la pecera de Emma tiene un volumen de $24 \times 12 \times 16 = 4{,}608\text{ in.}^3$. Como $1\text{ gal} = 231\text{ in.}^3$, son $4{,}608 \div 231 \approx 19.95$ galones. La etiqueta de "20 galones" es correcta.