Tú y un amigo salen en bicicleta, uno hacia el otro, desde los dos extremos de un sendero de 36 millas. Tú pedaleas a 10 mph y tu amigo a 8 mph. ¿Cuándo se encuentran? Podrías probar números hasta acertar, pero una ecuación corta lo resuelve más rápido. Resolver una ecuación es casi mecánico. Lo difícil, y lo que de verdad importa, es plantearla.
El método de cuatro pasos
Define la incógnita. Escribe qué significa la variable: "$x$ = la edad de Priya hoy". Si hay varias cantidades desconocidas, trata de escribirlas todas con la misma variable.
Traduce cada dato a una expresión algebraica.
Plantea una ecuación con la condición que da el problema y luego resuélvela.
Comprueba tu respuesta con el problema (no con tu ecuación, que podría estar mal) y responde con una oración completa y con unidades.
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En un torneo de eSports, el equipo de Alex ha conseguido el triple de puntos que el equipo de Lucía. Si entre los dos equipos han sumado un total de $152$ puntos,…
En un torneo de eSports, el equipo de Alex ha conseguido el triple de puntos que el equipo de Lucía. Si entre los dos equipos han sumado un total de $152$ puntos, ¿cuántos puntos ha obtenido cada equipo?
Un repartidor de una aplicación de comida a domicilio lleva en su mochila el doble de pizzas que de hamburguesas. Si en total transporta $12$ pedidos entre pizzas y…
Un repartidor de una aplicación de comida a domicilio lleva en su mochila el doble de pizzas que de hamburguesas. Si en total transporta $12$ pedidos entre pizzas y hamburguesas, ¿cuántos hay de cada clase?
Lucía ha empezado a ahorrar para comprarse una tablet que cuesta $\$240$. Ya tiene ahorrados $\$60$ y, a partir de ahora, va a guardar $\$12…
Lucía ha empezado a ahorrar para comprarse una tablet que cuesta $\$240$. Ya tiene ahorrados $\$60$ y, a partir de ahora, va a guardar $\$12$ de su mesada cada semana. ¿Cuántas semanas tardará en tener el dinero suficiente para la compra?
Muchos problemas tratan de números desconocidos. Aprende a traducir las frases clave:
Frase
Expresión
un número más 5 / 5 más que un número
$x + 5$
3 menos que un número
$x - 3$
el doble de un número
$2x$
el cuadrado de un número
$x^2$
tres enteros consecutivos
$x,\ x + 1,\ x + 2$
enteros pares (o impares) consecutivos
$x,\ x + 2,\ x + 4$
La misma idea sirve para precios y cantidades. Si un boleto de pie cuesta $\$15$ más que un boleto con asiento, llama $x$ al precio del asiento. El precio de pie es $x + 15$.
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Un grupo de amigos compra boletos para un concierto. Los boletos de "pista" cuestan $\$15…
Un grupo de amigos compra boletos para un concierto. Los boletos de "pista" cuestan $\$15$ más que los de "grada". Si compran uno de cada tipo y el total de la factura es de $\$85$, ¿cuál es el precio de cada boleto?
La suma de tres números de dorsal de una carrera, que resultan ser tres números enteros consecutivos, es igual a $63$. ¿Qué números llevan esos tres corredores en su…
La suma de tres números de dorsal de una carrera, que resultan ser tres números enteros consecutivos, es igual a $63$. ¿Qué números llevan esos tres corredores en su camiseta?
En el número 74, el 7 está en el lugar de las decenas y el 4 en el de las unidades. Entonces $74 = 10 \cdot 7 + 4$. En general, un número de dos cifras con cifra de las decenas $x$ y cifra de las unidades $y$ vale $10x + y$. Si inviertes las cifras, obtienes $10y + x$.
Hay dos incógnitas, $x$ y $y$. El problema siempre te da una relación entre ellas, como "las cifras suman 11". Úsala para escribir $y$ en términos de $x$ y luego sustituye.
Practica★★★Sin empezar
Halla un número de dos cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es $12$ y que, si se invierte el orden de sus cifras, el nuevo número obtenido supera al original en…
Halla un número de dos cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es $12$ y que, si se invierte el orden de sus cifras, el nuevo número obtenido supera al original en $18$ unidades. Representa el número original como $10x + y$.
Haz una tabla con columnas para "ahora", "dentro de … años" o "hace … años". El tiempo pasa igual para todos, así que sumas (o restas) el mismo número a la edad de cada persona.
Ahora
Dentro de 4 años
Priya
$x$
$x + 4$
Marcus (5 años mayor)
$x + 5$
$x + 9$
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Sofía tiene $4$ años más que su hermano pequeño, Hugo. Dentro de $6$ años, la suma de las edades de ambos será de $32$ años. Calcula la edad actual de cada uno…
Sofía tiene $4$ años más que su hermano pequeño, Hugo. Dentro de $6$ años, la suma de las edades de ambos será de $32$ años. Calcula la edad actual de cada uno planteando una ecuación de primer grado.
Actualmente, la edad de un padre es el triple que la de su hija. Dentro de $12$ años, la edad del padre será solamente el doble que la de su hija. ¿Qué edad tiene cada…
Actualmente, la edad de un padre es el triple que la de su hija. Dentro de $12$ años, la edad del padre será solamente el doble que la de su hija. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?
A veces queda un término $x^2$ al simplificar. Pasa todo a un lado para obtener una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$. Luego usa una de dos herramientas.
Herramienta 1: factorizar. Si $(x - p)(x - q) = 0$, entonces $x - p = 0$ o $x - q = 0$. Un producto solo puede ser cero si uno de sus factores es cero, así que $x = p$ o $x = q$.
Las soluciones de una ecuación cuadrática son las intersecciones con el eje $x$ de su gráfica. Aquí está $y = x^2 - 3x - 10$, que cruza el eje $x$ dos veces.
Practica★★☆Sin empezar
Halla un número natural tal que la diferencia entre su cuadrado y su triple sea igual a $40$. ¿Es única la solución para este problema en el conjunto de los números…
Halla un número natural tal que la diferencia entre su cuadrado y su triple sea igual a $40$. ¿Es única la solución para este problema en el conjunto de los números naturales? Justifica tu respuesta planteando la ecuación correspondiente.
La edad actual de una madre es el cuadrado de la edad de su hija. Dentro de $9$ años, la edad de la madre será solamente el triple de la edad que tenga su hija en ese…
La edad actual de una madre es el cuadrado de la edad de su hija. Dentro de $9$ años, la edad de la madre será solamente el triple de la edad que tenga su hija en ese momento. Halla las edades actuales de ambas.
Dibuja siempre la figura y rotula sus lados con $x$. Luego usa la fórmula adecuada: perímetro, área, el teorema de Pitágoras, etcétera.
Practica★☆☆Sin empezar
Se quiere cercar un huerto escolar de forma rectangular para proteger los cultivos. Sabemos que el largo del huerto mide $5$ pies más que el ancho y que para rodearlo…
Se quiere cercar un huerto escolar de forma rectangular para proteger los cultivos. Sabemos que el largo del huerto mide $5$ pies más que el ancho y que para rodearlo completamente se han necesitado $38$ pies de cerca. ¿Cuáles son las dimensiones del huerto?
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en un parque municipal. Se sabe que el largo de la zona debe ser $5$ pies mayor que el ancho. Si el área total…
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en un parque municipal. Se sabe que el largo de la zona debe ser $5$ pies mayor que el ancho. Si el área total destinada a los juegos es de $150$ $m^2$, calcula las dimensiones (largo y ancho) que tendrá dicha zona.
Cuando un borde de ancho $x$ rodea un rectángulo, agrega $x$ en ambos lados. Cada dimensión crece $2x$, no $x$.
Triángulos rectángulos e isósceles
Para un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b$: área $= \tfrac{1}{2}ab$ y $a^2 + b^2 = c^2$. En un triángulo isósceles, la altura divide la base por la mitad. Eso forma un triángulo rectángulo: $(\text{mitad de la base})^2 + h^2 = (\text{lado igual})^2$.
Practica★★☆Sin empezar
Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide $4$ $cm$ menos que cada uno de los lados iguales y que el perímetro total es de $26$…
Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide $4$ $cm$ menos que cada uno de los lados iguales y que el perímetro total es de $26$ $cm$. Una vez hallados los lados, calcula el área del triángulo.
Un diseñador gráfico está trabajando en el logo de una nueva empresa. El diseño consiste en un rectángulo central para el nombre, rodeado por un borde decorativo de…
Un diseñador gráfico está trabajando en el logo de una nueva empresa. El diseño consiste en un rectángulo central para el nombre, rodeado por un borde decorativo de grosor uniforme $x$. El rectángulo interior tiene unas dimensiones de $12\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$. Si el área total del logo (incluyendo el borde) debe ser exactamente el doble del área del rectángulo interior, ¿cuál debe ser el grosor $x$ de dicho borde?
Todo esto sale de una sola fórmula: distancia = tasa × tiempo, o $d = rt$. Usa estos planteamientos:
Situación
Ecuación
Encuentro (se acercan, salen juntos)
$r_1 t + r_2 t = \text{distancia total}$
Alcance (misma dirección)
$r_1 t = \text{ventaja inicial} + r_2 t$
Salida retrasada (uno sale más tarde)
el que sale después viaja $t - \text{retraso}$
¿Por qué funciona el encuentro? Cuando se encuentran, las dos distancias recorridas juntas cubren todo el espacio entre los puntos de salida.
Practica★★☆Sin empezar
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, se encuentran a una distancia de $60$ $km$ y deciden encontrarse en un punto intermedio. Lucía parte de $A$ hacia Marcos a una velocidad…
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, se encuentran a una distancia de $60$ $km$ y deciden encontrarse en un punto intermedio. Lucía parte de $A$ hacia Marcos a una velocidad constante de $20$ $km/h$. Al mismo tiempo, Marcos parte de $B$ hacia Lucía a una velocidad de $10$ $km/h$. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto $A$ ocurrirá el encuentro?
Dos ciudades, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $155\text{ km}$. A las 10:00 a. m., un ciclista sale de $A$ hacia $E$ a una velocidad constante de…
Dos ciudades, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $155\text{ km}$. A las 10:00 a. m., un ciclista sale de $A$ hacia $E$ a una velocidad constante de $20\text{ km/h}$. Una hora y media más tarde, una motocicleta sale de $E$ hacia $A$ a una velocidad de $80\text{ km/h}$. ¿A qué hora se cruzarán y a qué distancia de la ciudad $A$ se producirá el encuentro?
Todos estos problemas siguen un mismo patrón. Si tomas partes de dos cosas, el valor total es la suma de los valores de las partes.
Tipo
Ecuación
Mezcla de precios
$p_1 x + p_2 (T - x) = p_{\text{mez}} \cdot T$
Solución porcentual
$r_1 x + r_2 (T - x) = r_{\text{mez}} \cdot T$
Dos inversiones
$r_1 x + r_2 (T - x) = \text{interés total}$
Aquí $x$ es la cantidad de la primera cosa y $T - x$ es la cantidad de la segunda, donde $T$ es el total. Convierte los porcentajes a decimales antes de calcular.
Practica★★☆Sin empezar
En una tienda gourmet se quieren mezclar dos tipos de café. El café "Arábica" tiene un precio de $\$12$/lb y el café "Robusta" cuesta $\$8$/lb. Si queremos obtener una…
En una tienda gourmet se quieren mezclar dos tipos de café. El café "Arábica" tiene un precio de $\$12$/lb y el café "Robusta" cuesta $\$8$/lb. Si queremos obtener una mezcla de $20$ $kg$ que salga a un precio de $\$10,50$/lb, ¿cuántas libras de cada tipo de café debemos utilizar?
En un laboratorio químico se necesitan $20\text{ litros}$ de una solución ácida al $25\%$. El técnico dispone de dos garrafones: uno con una mezcla al $10\%$ de ácido y…
En un laboratorio químico se necesitan $20\text{ litros}$ de una solución ácida al $25\%$. El técnico dispone de dos garrafones: uno con una mezcla al $10\%$ de ácido y otro con una mezcla concentrada al $50\%$. ¿Cuántos galones de cada garrafón debe mezclar para obtener la concentración deseada?
Un inversionista dispone de $12\,000\text{ \$}$ que divide en dos partes para depositarlas en dos productos financieros diferentes. El primero ofrece una rentabilidad del $4\%$ anual, mientras que el segundo, más arriesgado, ofrece un $7\%$ anual. Si al finalizar el año los beneficios totales obtenidos han sido de $630\text{ \$}$, ¿qué cantidad destinó a cada producto?
Si un costo $C$ se reparte entre $x$ personas, cada una paga $\dfrac{C}{x}$. Cuando se unen más personas, la parte de cada una baja. Escribe: (parte antes) − (parte después) = la diferencia.
Trabajar en conjunto
Si una persona termina un trabajo en $x$ horas, hace $\dfrac{1}{x}$ del trabajo por hora. Esa es su tasa. Cuando varias personas trabajan juntas, sus tasas se suman. Si terminan en $T$ horas juntas, la tasa combinada es $\dfrac{1}{T}$.
Practica★★☆Sin empezar
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\$120…
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\$120$. Al principio eran un número determinado de personas, pero en el último momento se inscribieron $2$ amigos más, lo que hizo que cada uno tuviera que pagar $\$5$ menos. ¿Cuántos amigos había inicialmente en el grupo?
Dos tuberías conectadas a un tanque pueden llenarlo juntas en $4\text{ horas}$. Si se utilizan por separado, la tubería de menor diámetro tarda $6\text{ horas}$ más que…
Dos tuberías conectadas a un tanque pueden llenarlo juntas en $4\text{ horas}$. Si se utilizan por separado, la tubería de menor diámetro tarda $6\text{ horas}$ más que la tubería de mayor diámetro en llenar el tanque completo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada tubería en solitario?
Volvamos al inicio: Emma y Liam, a 36 millas de distancia y a 10 mph y 8 mph, se encuentran cuando $10t + 8t = 36$, es decir, $t = 2$ horas. Plantear la ecuación llevó una sola línea.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado