Medidas de centro y de dispersión
Jayden y Maya promedian 20 puntos por partido en el equipo de basquetbol de la escuela. Jayden anota alrededor de 20 casi todas las noches. Maya alterna entre partidos enormes y partidos malísimos. Si fueras el entrenador, ¿a quién elegirías para el último tiro de la final del campeonato? Un solo número no te lo dice. Necesitas saber dónde está el centro de los datos y qué tan dispersos están.
Media, mediana y moda
Los estadísticos estudian una población, el grupo completo del que quieren aprender (por ejemplo, todos los adolescentes en un estudio sobre el uso de TikTok). Los números que recopilan son los datos. Un número que resume los datos se llama estadístico o parámetro. Los primeros tres resúmenes describen el centro.
Cambia los datos y observa dónde quedan la media y la mediana:
¿Por qué se divide entre $N$? La media es lo que le tocaría a cada persona si el total se repartiera por igual. ¿Por qué la mediana está en el medio? Porque divide la lista ordenada en dos mitades con la misma cantidad de valores.
En un estudio sobre el uso de redes sociales, se ha preguntado a un grupo de adolescentes cuántas horas al día dedican a ver videos en TikTok. Los resultados obtenidos…
En un estudio sobre el uso de redes sociales, se ha preguntado a un grupo de adolescentes cuántas horas al día dedican a ver videos en TikTok. Los resultados obtenidos son:
$2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 5, 2, 1$
Identifica la población del estudio y calcula la moda de las horas de uso.
Siete amigos comparan el número de mensajes que tienen sin leer en su aplicación de mensajería. Los datos son los siguientes: $12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$ Calcula la…
Siete amigos comparan el número de mensajes que tienen sin leer en su aplicación de mensajería. Los datos son los siguientes:
$12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$
Calcula la media aritmética ($\bar{x}$) del número de mensajes pendientes de este grupo.
Durante una semana de entrenamiento, una atleta ha registrado las millas que ha corrido cada día para preparar una carrera: $5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$ Halla la mediana…
Durante una semana de entrenamiento, una atleta ha registrado las millas que ha corrido cada día para preparar una carrera:
$5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$
Halla la mediana ($Me$) de la distancia recorrida. ¿Qué significado tiene este valor en relación con el total de los días entrenados?
Leer datos en gráficas
Muchas veces los datos no vienen en una lista. Un diagrama de puntos (dot plot) tiene un punto por cada dato, apilados sobre una recta numérica. Una gráfica de líneas muestra un valor por punto (por ejemplo, la temperatura máxima de cada día). Primero lee todos los valores de la gráfica y escríbelos en una lista. Luego calcula como siempre.
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas máximas registradas en un refugio de montaña durante los primeros 5 días de enero. Sabiendo que las temperaturas han…
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas máximas registradas en un refugio de montaña durante los primeros 5 días de enero.
Sabiendo que las temperaturas han sido $4^\circ C, 6^\circ C, 2^\circ C, 8^\circ C$ y $5^\circ C$, calcula el rango o recorrido de la temperatura en esos días.
Observa la siguiente representación de un conjunto de datos sobre una recta numérica. Los puntos representan el número de mascotas que tienen varios vecinos: A partir de…
Observa la siguiente representación de un conjunto de datos sobre una recta numérica. Los puntos representan el número de mascotas que tienen varios vecinos:
A partir de la gráfica, escribe la lista de datos y calcula la moda ($Mo$) y el rango.
¿Cuál es la mejor medida de centro?
Las tres medidas pueden contar historias distintas, sobre todo cuando un valor está lejos de todos los demás. Ese valor es un valor atípico (outlier).
Un grupo de 20 adolescentes ha anotado cuántas veces han ido al cine en los últimos seis meses. Los datos obtenidos son los siguientes:…
Un grupo de 20 adolescentes ha anotado cuántas veces han ido al cine en los últimos seis meses. Los datos obtenidos son los siguientes:
$2, 3, 0, 1, 5, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 0, 3$
Organiza estos datos en una tabla de frecuencias y calcula las medidas de centralización: la media aritmética ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) y la moda ($Mo$). ¿Cuál de ellas consideras que representa mejor al grupo?
Una tienda de ropa juvenil quiere analizar la edad de sus clientes. Para ello, toma una muestra de 10 personas un sábado por la mañana:…
Una tienda de ropa juvenil quiere analizar la edad de sus clientes. Para ello, toma una muestra de 10 personas un sábado por la mañana:
$14, 15, 16, 14, 22, 15, 17, 14, 35, 16$
- a) Calcula el rango y la media de edad.
- b) La mediana es $15,5$ años. Si eliminamos al cliente de 35 años (que se considera un valor atípico), calcula la nueva media y la nueva mediana. ¿Qué parámetro ha cambiado más? ¿Por qué crees que ocurre esto?
En una pequeña empresa, los salarios de los $5$ empleados son: $\$1100, \$1200, \$1250, \$1300$ y $\$1400$. El gerente tiene un salario de $\$4500$. a) Calcula la media…
En una pequeña empresa, los salarios de los $5$ empleados son: $\$1100, \$1200, \$1250, \$1300$ y $\$1400$. El gerente tiene un salario de $\$4500$.
- a) Calcula la media y la mediana de los salarios incluyendo al gerente.
- b) ¿Cuál de las dos medidas representa mejor el sueldo "típico" de la empresa? Explica el efecto que produce el salario del gerente (valor extremo) sobre la media y por qué la mediana es un parámetro más robusto en este caso.
- c) Si se quiere dar una imagen de prosperidad en la publicidad de la empresa, ¿qué parámetro se utilizaría? ¿Sería engañoso?
Trabajar con totales
La media esconde un dato útil: $\text{media} \times N = \text{suma de los datos}$. Cuando se agrega, se quita o se desconoce un valor, trabaja con el total, no con la media.
Construir un conjunto de datos a partir de pistas
Algunos problemas te dan la media, la mediana, la moda o el rango y te piden inventar los datos. Coloca las pistas una por una.
Con 6 valores, la mediana es la media de los valores 3.º y 4.º. Planea primero esos dos.
Las notas de Lucía en los cuatro primeros exámenes de Matemáticas han sido un $6,5$, un $4$, un $8$ y un $7,5$. Si todavía le queda un quinto examen por realizar, ¿qué…
Las notas de Lucía en los cuatro primeros exámenes de Matemáticas han sido un $6,5$, un $4$, un $8$ y un $7,5$. Si todavía le queda un quinto examen por realizar, ¿qué nota debe sacar para que su media final sea exactamente de $7$? Justifica tu respuesta planteando una ecuación.
En un grupo de $10$ amigos, la media de sus estaturas es de $172$ pulgadas. Si se incorpora al grupo una persona que mide $194$ pulgadas, ¿cuál será la nueva media? Si…
En un grupo de $10$ amigos, la media de sus estaturas es de $172$ pulgadas. Si se incorpora al grupo una persona que mide $194$ pulgadas, ¿cuál será la nueva media? Si después se marcha otra persona que medía $161$ pulgadas, ¿cuál será la media final del grupo? Justifica paso a paso cómo afecta cada cambio a la suma total de las estaturas para realizar el cálculo.
Inventa una serie de $6$ datos estadísticos (números enteros positivos) que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: 1. La moda es $4$. 2. La mediana es $5$.…
Inventa una serie de $6$ datos estadísticos (números enteros positivos) que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:
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La moda es $4$.
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La mediana es $5$.
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El rango es $10$.
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La media es mayor que la mediana.
Muestra los cálculos que verifiquen que tu serie cumple todos los requisitos.
Cuartiles y diagramas de caja
La mediana divide los datos ordenados en dos mitades. Los cuartiles los dividen en cuatro partes con cerca del 25% de los datos cada una.
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$Q_1$ (primer cuartil): la mediana de la mitad inferior. Cerca del 25% de los datos están en ese valor o por debajo.
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$Q_2$: la mediana de todos los datos (50%).
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$Q_3$ (tercer cuartil): la mediana de la mitad superior. Cerca del 75% de los datos están en ese valor o por debajo.
El resumen de cinco números es mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo. Un diagrama de caja (y bigotes) (box plot) lo dibuja: la caja va de $Q_1$ a $Q_3$ con una línea en la mediana, y los bigotes llegan al mínimo y al máximo.
La caja contiene el 50% central de los datos. La distancia $Q_3 - Q_1$ es el rango intercuartílico (RIC) (IQR). Mide qué tan dispersa está la mitad central.
Cuando $N$ es impar, deja la mediana fuera de ambas mitades.
Leer un diagrama de caja
Cada parte del diagrama (un bigote, la mitad de la caja) contiene cerca del 25% de los datos. Supón que una encuesta sobre tiempo de lectura tiene $\text{mín} = 0$, $Q_1 = 2$, mediana $= 4$, $Q_3 = 7$, $\text{máx} = 12$. Un estudiante que lee 6 horas está entre la mediana (4) y $Q_3$ (7), así que está en la parte del 50%–75%. Cerca del 75% de los estudiantes lee 7 horas o menos.
Se ha medido la estatura de un grupo de estudiantes de 8.º grado y se han ordenado los datos de menor a mayor. Los valores de los cuartiles obtenidos son:…
Se ha medido la estatura de un grupo de estudiantes de 8.º grado y se han ordenado los datos de menor a mayor. Los valores de los cuartiles obtenidos son:
$Q_1 = 158 \text{ cm}, Q_2 = 165 \text{ cm}, Q_3 = 172 \text{ cm}$
- a) ¿Cuál es el valor de la mediana?
- b) ¿Qué porcentaje de alumnos mide $172 \text{ cm}$ o menos?
Se ha realizado una encuesta sobre el número de horas semanales que dedican los alumnos de 8.º grado a leer libros por placer. Los parámetros de posición obtenidos son:…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de horas semanales que dedican los alumnos de 8.º grado a leer libros por placer. Los parámetros de posición obtenidos son:
$Mín = 0$; $Q_1 = 2$; $Me = 4$; $Q_3 = 7$; $Máx = 12$
Dibuja el diagrama de caja y bigotes (Box-plot) correspondiente. Si un alumno lee 6 horas a la semana, ¿en qué cuarto de la población se encuentra (entre el 0-25%, 25-50%, 50-75% o 75-100%)?
Observa el siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa las horas de uso semanales de una aplicación móvil en una muestra de adolescentes: Basándote en el…
Observa el siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa las horas de uso semanales de una aplicación móvil en una muestra de adolescentes:
Basándote en el gráfico, responde:
- a) ¿Cuál es el valor de la mediana, el primer cuartil ($Q_1$) y el tercer cuartil ($Q_3$)?
- b) Calcula el rango intercuartílico ($RIC$).
- c) Razona si la distribución es simétrica o si presenta asimetría. ¿En qué mitad de los datos hay mayor dispersión?
Dispersión: rango y desviación estándar
Las medidas de dispersión indican qué tan lejos están los datos entre sí o de la media.
Algunos problemas escriben la varianza como $S^2$. Es la misma idea. ¿Por qué elevar al cuadrado las distancias? Los valores por debajo de la media dan distancias negativas y los de arriba dan positivas, y se cancelan (su suma siempre es 0). Elevar al cuadrado hace que todas las distancias sean positivas.
El rango es rápido, pero solo usa dos valores. La desviación estándar usa todos los valores. Cuando dos conjuntos de datos tienen la misma media, el que tiene la desviación estándar menor es más consistente: sus valores se agrupan cerca de la media.
Dos equipos de e-sports han anotado sus puntuaciones en las últimas 5 partidas. Equipo A: $85, 88, 90, 92, 95$ Equipo B: $60, 75, 90, 105, 120$ Ambos equipos tienen la…
Dos equipos de e-sports han anotado sus puntuaciones en las últimas 5 partidas.
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Equipo A: $85, 88, 90, 92, 95$
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Equipo B: $60, 75, 90, 105, 120$
Ambos equipos tienen la misma media, $\bar{x} = 90$. Sin realizar cálculos complejos de desviación típica, observa los datos y explica cuál de los dos equipos es más regular (tiene menos dispersión) y por qué.
En una clase de Educación Física, se ha medido el tiempo de recuperación de dos grupos tras una carrera. Ambos grupos tienen la misma media de pulsaciones,…
En una clase de Educación Física, se ha medido el tiempo de recuperación de dos grupos tras una carrera. Ambos grupos tienen la misma media de pulsaciones, $\bar{x} = 85$ ppm. Sin embargo, la varianza del Grupo 1 es $S^2 = 16$ y la del Grupo 2 es $S^2 = 100$.
- a) Calcula la desviación típica de cada grupo.
- b) ¿En cuál de los dos grupos los alumnos tienen una condición física más similar entre ellos? Razona tu respuesta basándote en la dispersión.
Observa los siguientes dos conjuntos de datos que representan los puntos obtenidos por dos jugadores de básquetbol en sus últimos 5 partidos: Jugador A:…
Observa los siguientes dos conjuntos de datos que representan los puntos obtenidos por dos jugadores de básquetbol en sus últimos 5 partidos:
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Jugador A: $18, 20, 22, 19, 21$
-
Jugador B: $10, 30, 5, 25, 30$
Sin realizar cálculos complejos de varianza, observa los datos y responde:
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¿Tienen la misma media aritmética?
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¿Cuál de los dos jugadores es más "constante" en sus puntuaciones?
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Si tuvieras que elegir a uno para jugar el último minuto de una final, ¿a cuál elegirías y por qué? Usa los conceptos de media y dispersión en tu respuesta.
Tablas de frecuencias y datos agrupados
Cuando los valores se repiten, una tabla de frecuencias lista cada valor $x$ y cuántas veces ocurre, la frecuencia $f$. Entonces $N$ es la suma de las frecuencias, no el número de filas.
Para datos en intervalos como $[0, 10)$, ya no conocemos los valores exactos. Usa la marca de clase $x$, el punto medio de cada intervalo: $\dfrac{\text{inferior} + \text{superior}}{2}$. Luego usa las mismas fórmulas.
Agrupar pierde información, así que los valores calculados con marcas de clase son estimaciones. Supón que los datos en $[0, 10)$ y $[10, 20)$ fueran en realidad $1, 9, 11, 19$. Las marcas de clase $5, 5, 15, 15$ dan $\sigma = 5$, pero la desviación estándar real es $\sqrt{41} \approx 6.4$.
Un profesor ha organizado en una tabla de frecuencias el número de faltas de ortografía que han tenido sus alumnos en el último dictado: | Faltas ($x_i$) | Nº alumnos…
Un profesor ha organizado en una tabla de frecuencias el número de faltas de ortografía que han tenido sus alumnos en el último dictado:
| Faltas ($x_i$) | Nº alumnos ($f_i$) |
|---|---|
| $0$ | $8$ |
| $1$ | $12$ |
| $2$ | $6$ |
| $3$ | $4$ |
Calcula la media del número de faltas de la clase utilizando los datos de la tabla.
Un club de e-sports ha registrado el tiempo (en minutos) que tardan sus miembros en completar un nivel difícil de un videojuego. Los resultados se muestran en esta tabla…
Un club de e-sports ha registrado el tiempo (en minutos) que tardan sus miembros en completar un nivel difícil de un videojuego. Los resultados se muestran en esta tabla de datos agrupados:
| Tiempo (min) | [10, 20) | [20, 30) | [30, 40) | [40, 50) |
|---|---|---|---|---|
| N.º jugadores | 4 | 12 | 8 | 6 |
Calcula la media aritmética y la desviación típica de la distribución utilizando las marcas de clase.
Una empresa de mensajería analiza el peso de los paquetes que transporta. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla de frecuencias por intervalos: | Peso en libras…
Una empresa de mensajería analiza el peso de los paquetes que transporta. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla de frecuencias por intervalos:
| Peso en libras $[L_i, L_s)$ | N.º de paquetes ($f_i$) |
|---|---|
| $[0, 2)$ | $12$ |
| $[2, 4)$ | $25$ |
| $[4, 6)$ | $38$ |
| $[6, 8)$ | $15$ |
| $[8, 10)$ | $10$ |
Calcula la media aritmética, la varianza y la desviación típica de la distribución. Para ello, identifica primero las marcas de clase ($x_i$) de cada intervalo.
Comparar la dispersión con el coeficiente de variación
¿Una desviación estándar de 5 es grande o pequeña? Depende de la media. Una dispersión de 5 minutos importa cuando la media es 10 minutos, y casi no importa cuando la media es 500 minutos. El coeficiente de variación compara la dispersión relativa a la media.
Volvamos al principio: Jayden tiene $\sigma \approx 1.4$ y $CV \approx 1.4 \div 20 \approx 7\%$. Maya tiene $\sigma \approx 11.2$ y $CV \approx 56\%$. Para un entrenador que necesita 20 puntos confiables, Jayden es la opción más segura. Si el equipo necesita un partido enorme para ganar y un mal partido no cuesta nada extra, la dispersión de Maya es un riesgo que vale la pena.
Dos aplicaciones de mensajería, "App A" y "App B", están compitiendo por ser las más estables. Se ha medido el tiempo de respuesta (en milisegundos) en 10 intentos…
Dos aplicaciones de mensajería, "App A" y "App B", están compitiendo por ser las más estables. Se ha medido el tiempo de respuesta (en milisegundos) en 10 intentos distintos, obteniendo los siguientes resultados:
-
App A: $\bar{x} = 120$ ms; $\sigma = 15$ ms
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App B: $\bar{x} = 125$ ms; $\sigma = 5$ ms
Calcula el coeficiente de variación ($CV$) de ambas aplicaciones y explica de forma razonada cuál de las dos es más "confiable" o regular en su funcionamiento para un usuario.
Dos jugadores de eSports, Alex y Bea, han registrado sus puntuaciones en las últimas $8$ partidas de un torneo. Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$ Bea:…
Dos jugadores de eSports, Alex y Bea, han registrado sus puntuaciones en las últimas $8$ partidas de un torneo.
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Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$
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Bea: $70, 98, 65, 100, 75, 95, 80, 100$
- a) Calcula la media y la desviación típica de ambos jugadores.
- b) Utiliza el coeficiente de variación ($CV$) para determinar cuál de los dos es un jugador más regular y confiable para el equipo. Explica qué significa en este contexto que un jugador tenga una desviación típica mucho más alta que el otro si sus medias fueran similares.
Cambiar los datos y la curva normal
¿Qué pasa con la media y la desviación estándar cuando todos los valores cambian de la misma manera?
Un aumento del 10% multiplica por $k = 1.10$.
La regla 68–95–99.7
Muchos conjuntos de datos (estaturas, calificaciones, piezas de máquinas) forman una curva normal (campana) simétrica. Para estos, cerca del 68% de los datos está a menos de $1\sigma$ de la media, 95% a menos de $2\sigma$ y 99.7% a menos de $3\sigma$.
Para ver qué tan lejos está un valor de la media en desviaciones estándar, calcula $\dfrac{x - \bar{x}}{\sigma}$. Un valor a más de $3\sigma$ de la media es muy raro (cerca del 0.3% de los datos), así que cuenta como valor atípico. Un valor a 2σ es inusual pero no extremo.
Un profesor ha calificado los exámenes de una clase de $25$ alumnos. La media ha resultado ser de $6,4$ y la desviación típica de $1,2$. Tras revisar uno de los…
Un profesor ha calificado los exámenes de una clase de $25$ alumnos. La media ha resultado ser de $6,4$ y la desviación típica de $1,2$. Tras revisar uno de los ejercicios, decide subir $0,5$ puntos a todos los alumnos de la clase.
- a) ¿Cuál será la nueva media y la nueva desviación típica?
- b) Si en lugar de sumar una cantidad fija, decidiera aumentar todas las notas un $10\%$, ¿cómo se verían afectados ambos parámetros? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de los parámetros estadísticos.
Se conoce que en una distribución de datos muy numerosa que sigue una forma de "campana de Gauss", el $68\%$ de los datos se encuentran en el intervalo…
Se conoce que en una distribución de datos muy numerosa que sigue una forma de "campana de Gauss", el $68\%$ de los datos se encuentran en el intervalo $(\bar{x} - \sigma, \bar{x} + \sigma)$.
En una fábrica de focos, la duración media de un modelo es de $1200$ horas con una desviación típica de $150$ horas. Si se producen $5000$ focos:
- a) ¿Cuántos focos se espera que duren entre $1050$ y $1350$ horas?
- b) Si un foco dura más de $1500$ horas, ¿a cuántas desviaciones típicas de la media se encuentra? ¿Consideras que es un valor común o un valor atípico?