Poliedros
Un dado de 20 caras de un juego de mesa, una caja de zapatos, las pirámides de Giza, un balón de futbol clásico… Todos son poliedros: sólidos cerrados cuyas caras son polígonos planos. Cuenta las piezas de un balón de futbol clásico y aparece un misterio: ¿cuántas caras, aristas y vértices tiene, y hay una regla que relacione esos números? Al final de esta página tendrás la regla y las herramientas para medir cualquier poliedro.
Partes de un poliedro
Gira el sólido con el dedo y cuenta cada tipo de parte. Mira los contadores en la parte de abajo.
Un cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Una caja con base rectangular (un prisma rectangular) tiene los mismos conteos, y sus caras forman tres pares de rectángulos iguales: arriba y abajo, frente y atrás, izquierda y derecha.
Observa el siguiente cubo y numera sus elementos fundamentales. Indica cuántas caras, vértices y aristas tiene en total. Hazlo en tu cuaderno.
Observa el siguiente cubo y numera sus elementos fundamentales. Indica cuántas caras, vértices y aristas tiene en total. Hazlo en tu cuaderno.
Un fabricante de cajas de regalo quiere diseñar una con forma de ortoedro. Si las dimensiones de la base son $10\text{ cm}$ y $15\text{ cm}$, y la altura es de…
Un fabricante de cajas de regalo quiere diseñar una con forma de ortoedro. Si las dimensiones de la base son $10\text{ cm}$ y $15\text{ cm}$, y la altura es de $20\text{ cm}$, indica cuántas de sus caras son iguales entre sí.
Fórmula de Euler
Los números de caras, vértices y aristas no son independientes. Para el cubo: $6 + 8 = 14$ y $12 + 2 = 14$.
¿Por qué funciona? Corta una esquina de un sólido. Añades 1 cara, 2 vértices (un vértice desaparece y aparecen tres nuevos) y 3 aristas. El lado izquierdo aumenta en $1 + 2 = 3$ y el derecho aumenta en 3. El equilibrio nunca se rompe.
Comprueba si se cumple el Teorema de Euler en un prisma de base triangular. Para ello, cuenta sus elementos y aplica la fórmula: $C + V = A + 2$ donde $C$ es el número…
Comprueba si se cumple el Teorema de Euler en un prisma de base triangular. Para ello, cuenta sus elementos y aplica la fórmula:
$C + V = A + 2$
donde $C$ es el número de caras, $V$ el de vértices y $A$ el de aristas.
Si tenemos un poliedro convexo con 12 caras y 20 vértices (un dodecaedro), utiliza el Teorema de Euler para calcular el número de aristas que tiene.
Si tenemos un poliedro convexo con 12 caras y 20 vértices (un dodecaedro), utiliza el Teorema de Euler para calcular el número de aristas que tiene.
Un arquitecto está diseñando una estructura para un museo de arte moderno. La pieza central es un poliedro convexo que tiene $12$ caras y $30$ aristas. Debido a un error…
Un arquitecto está diseñando una estructura para un museo de arte moderno. La pieza central es un poliedro convexo que tiene $12$ caras y $30$ aristas. Debido a un error en los planos, no se indica el número de vértices. Utiliza el Teorema de Euler para calcular cuántos vértices tiene la escultura y explica si es posible que se trate de un dodecaedro regular basándote en sus elementos.
Prismas y pirámides
La mayoría de los poliedros que encontrarás pertenecen a una de dos familias.
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Prisma: dos bases que son polígonos iguales y paralelos, unidas por caras laterales que son paralelogramos. En un prisma recto las caras laterales son rectángulos.
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Pirámide: una base y caras laterales triangulares que se unen en un solo punto, el vértice o ápice.
Ambos se nombran según la base: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal… Un prisma o pirámide es regular si es recto y su base es un polígono regular.
Una pirámide tiene dos segmentos importantes:
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la altura $h$, desde el ápice hasta el centro de la base, en línea recta;
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la altura inclinada (apotema de la pirámide) $s$, la altura de una cara lateral triangular (va a lo largo de la superficie).
Clasifica el siguiente cuerpo geométrico indicando si es un prisma o una pirámide. Razona tu respuesta fijándote en sus caras laterales y en sus bases.
Clasifica el siguiente cuerpo geométrico indicando si es un prisma o una pirámide. Razona tu respuesta fijándote en sus caras laterales y en sus bases.
Observa el dibujo de esta pirámide cuadrangular. Identifica y nombra el segmento marcado con la letra $h$ (que va del vértice al centro de la base) y el segmento marcado…
Observa el dibujo de esta pirámide cuadrangular. Identifica y nombra el segmento marcado con la letra $h$ (que va del vértice al centro de la base) y el segmento marcado con la letra $a$ (altura de una cara lateral).
Triángulos rectángulos dentro de los sólidos
Muchas medidas de un sólido están escondidas dentro de un triángulo rectángulo, así que el teorema de Pitágoras hace el trabajo. El primer lugar donde buscar es la pirámide.
Las pirámides esconden un segundo triángulo rectángulo. La arista lateral $e$ (del ápice a una esquina de la base), la altura $h$ y la distancia $R$ del centro de la base a una esquina cumplen $e^2 = h^2 + R^2$. Para una base cuadrada de arista $\ell$, $R$ es la mitad de la diagonal del cuadrado, $R = \ell\sqrt{2}/2$.
Otros dos triángulos rectángulos aparecen en las bases.
Un trapecio isósceles con bases $B$ y $b$ y lados no paralelos $\ell$ tiene dos "salientes" iguales de longitud $\frac{B - b}{2}$ a cada lado. Traza una perpendicular desde cada esquina de arriba para formar un triángulo rectángulo:
$$h^2 = \ell^2 - \left(\tfrac{B - b}{2}\right)^2$$Para un hexágono regular de lado $s$, el apotema sale del triángulo rectángulo con hipotenusa $s$ y un cateto $s/2$ (medio lado): $a^2 = s^2 - (s/2)^2$. Para un hexágono de lado 10 esto da $a^2 = 100 - 25 = 75$, así que $a = \sqrt{75} \approx 8.66$.
Una empresa de perfumes ha diseñado un frasco con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $6 \text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el…
Una empresa de perfumes ha diseñado un frasco con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $6 \text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el vértice con una esquina de la base) mide $10 \text{ cm}$. Calcula la altura de la pirámide para saber si cabe en un estante de $9 \text{ cm}$ de alto.
Área de la superficie
El área de la superficie es el área total de todas las caras. Tiene dos partes:
$$\text{Área de la superficie} = \text{área lateral} + \text{área de las bases}$$¿Por qué? Si despliegas las caras laterales de un prisma, obtienes un rectángulo grande de ancho $P$ y altura $h$. Las caras laterales de una pirámide son triángulos con base $\ell$ y altura $s$, y sus áreas $\tfrac{1}{2}\ell s$ suman $\tfrac{1}{2} P s$.
En la clase de tecnología, un grupo de estudiantes está construyendo una caja con forma de prisma hexagonal regular para guardar filamentos de una impresora 3D. La…
En la clase de tecnología, un grupo de estudiantes está construyendo una caja con forma de prisma hexagonal regular para guardar filamentos de una impresora 3D. La arista de la base mide $10 \text{ cm}$ y la altura del prisma es de $25 \text{ cm}$. Calcula el área total de cartón necesaria para fabricar la caja (incluida la tapa).
Dato: Recuerda calcular primero la apotema de la base usando el Teorema de Pitágoras.
Volumen
Un prisma es una pila de capas, cada una de área $B$, apiladas hasta la altura $h$. Por eso $V = Bh$. Una pirámide con la misma base y altura que un prisma ocupa exactamente un tercio: caben tres pirámides iguales en un cubo. Por ejemplo, una pirámide con base de $6 \times 6$ y altura 5 tiene $V = \tfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = 60$.
Para la capacidad en galones, usa $1\ \text{ft}^3 \approx 7.48$ galones.
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $12 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, y sus lados oblicuos miden…
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $12 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, y sus lados oblicuos miden $5 \text{ cm}$. La altura del prisma es de $20 \text{ cm}$.
Dato: Primero deberás hallar la altura del trapecio de la base para poder calcular su área.
Un tanque de agua tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $4$ pies y $10$ pies, y los lados iguales miden $5$ pies.…
Un tanque de agua tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $4$ pies y $10$ pies, y los lados iguales miden $5$ pies. Si la altura del tanque (la longitud del prisma) es de $15$ pies:
- a) Calcula el área de la base del tanque (necesitarás hallar primero la altura del trapecio).
- b) Calcula el área total del tanque.
- c) Si se llena hasta el $80\%$ de su capacidad, ¿cuántos galones de agua contendrá?
Se quiere construir una carpa de circo con forma de pirámide octogonal regular. La arista de la base mide $6$ pies y la altura de la carpa en el centro es de $10$ pies.…
Se quiere construir una carpa de circo con forma de pirámide octogonal regular. La arista de la base mide $6$ pies y la altura de la carpa en el centro es de $10$ pies. Sabiendo que la apotema de un octógono regular de lado $L$ es aproximadamente $1,21 \cdot L$:
- a) Calcula la apotema de la pirámide.
- b) Calcula la cantidad de lona necesaria para cubrir las paredes laterales de la carpa.
- c) Calcula el volumen de aire que contiene la carpa.
Poliedros regulares
Un poliedro es regular si es convexo, todas sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice se unen el mismo número de caras. Hay exactamente cinco, los sólidos platónicos:
| Poliedro | Las caras son | $F$ | $V$ | $E$ |
|---|---|---|---|---|
| Tetraedro | triángulos equiláteros | 4 | 4 | 6 |
| Cubo (hexaedro) | cuadrados | 6 | 8 | 12 |
| Octaedro | triángulos equiláteros | 8 | 6 | 12 |
| Dodecaedro | pentágonos regulares | 12 | 20 | 30 |
| Icosaedro | triángulos equiláteros | 20 | 12 | 30 |
Comprueba cualquier fila con Euler: para el icosaedro, $20 + 12 = 30 + 2$. ✓
Observa el patrón: el cubo tiene $(F, V) = (6, 8)$ y el octaedro tiene $(8, 6)$. Si pones un punto en el centro de cada cara de un sólido y unes los puntos de caras vecinas, obtienes el poliedro dual. Caras y vértices se intercambian, y el número de aristas se queda igual. El cubo y el octaedro son duales, el dodecaedro y el icosaedro son duales, y el tetraedro es dual de otro tetraedro.
¿Cuál es el nombre del poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros? Dibuja un esquema sencillo de su forma e indica cuántos vértices tiene.
¿Cuál es el nombre del poliedro regular que tiene 4 caras que son triángulos equiláteros? Dibuja un esquema sencillo de su forma e indica cuántos vértices tiene.
Relaciona cada uno de los 5 Poliedros Regulares (Sólidos Platónicos) con el polígono que forma sus caras: Tetraedro Cubo (Hexaedro) Octaedro Dodecaedro Icosaedro Los…
Relaciona cada uno de los 5 Poliedros Regulares (Sólidos Platónicos) con el polígono que forma sus caras:
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Tetraedro
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Cubo (Hexaedro)
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Octaedro
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Dodecaedro
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Icosaedro
Los polígonos disponibles son: Triángulo equilátero, Cuadrado y Pentágono regular.
Un coleccionista de dados tiene uno muy especial con forma de octaedro regular (8 caras triangulares) donde cada arista mide $4 \text{ cm}$. Si decide fabricar un nuevo…
Un coleccionista de dados tiene uno muy especial con forma de octaedro regular (8 caras triangulares) donde cada arista mide $4 \text{ cm}$. Si decide fabricar un nuevo dado uniendo los centros de las caras del octaedro original:
- a) ¿Qué nombre recibe el poliedro resultante (su poliedro dual)?
- b) ¿Cuántas caras y cuántos vértices tendrá este nuevo poliedro? Comprueba si cumple la fórmula de Euler.
La diagonal de una caja
¿Cabe un objeto largo (un palo de hockey, una jabalina, un tubo fluorescente) en una caja si lo pones de una esquina a la esquina opuesta? Ese segmento recto más largo es la diagonal del espacio. Usa el teorema de Pitágoras dos veces: primero en la base y luego en un triángulo vertical.
Tenemos una caja de cartón en forma de ortoedro de dimensiones $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Queremos guardar en su interior un tubo…
Tenemos una caja de cartón en forma de ortoedro de dimensiones $40 \text{ cm} \times 30 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}$. Queremos guardar en su interior un tubo fluorescente que mide $128 \text{ cm}$ de largo. ¿Es posible guardarlo en línea recta uniendo dos vértices opuestos de la caja? Justifica tu respuesta calculando la diagonal principal del poliedro.
Una empresa de logística utiliza cajas con forma de ortoedro para transportar material deportivo. Un cliente necesita enviar una jabalina de entrenamiento que mide…
Una empresa de logística utiliza cajas con forma de ortoedro para transportar material deportivo. Un cliente necesita enviar una jabalina de entrenamiento que mide exactamente $2,25$ pies de largo. El almacén dispone de cajas cuyas dimensiones son $200$ pulgadas de largo, $80$ pulgadas de ancho y $60$ pulgadas de alto. Determina razonadamente, mediante el cálculo de la diagonal del ortoedro, si la jabalina puede viajar dentro de la caja sin doblarse (suponiendo que su grosor es despreciable).
Truncar un poliedro
Truncar significa cortar una esquina con un corte plano. Aquí un cubo pierde una esquina, con un plano que pasa por los puntos medios de las tres aristas que se unen allí.
Si cortas todas las esquinas y los cortes se tocan en los puntos medios de las aristas, no puedes sumar los cambios uno por uno. Cuenta directamente el sólido final: los vértices son los puntos medios de las aristas originales, las caras son las caras originales (ahora más pequeñas) más una cara nueva por esquina, y cada arista del nuevo sólido limita con una de las caras nuevas.
Se ha diseñado una pieza mecánica que consiste en un cubo de $8 \text{ cm}$ de arista al que se le ha realizado un corte plano que pasa por los puntos medios de tres…
Se ha diseñado una pieza mecánica que consiste en un cubo de $8 \text{ cm}$ de arista al que se le ha realizado un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas concurrentes en un vértice, eliminando así una pequeña pirámide triangular (proceso de truncamiento).
- a) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene el nuevo poliedro resultante?
- b) ¿Se sigue cumpliendo el Teorema de Euler tras el corte?
Un diseñador de trofeos para una competencia de videojuegos ha decidido crear una pieza a partir de un cubo de cristal de $12$ pulgadas de arista. El proceso consiste en…
Un diseñador de trofeos para una competencia de videojuegos ha decidido crear una pieza a partir de un cubo de cristal de $12$ pulgadas de arista. El proceso consiste en "truncar" el cubo cortando cada uno de sus $8$ vértices mediante planos que pasan por los puntos medios de las tres aristas que concurren en dicho vértice.
- a) Calcula el número de caras, vértices y aristas del poliedro resultante.
- b) Comprueba si el nuevo poliedro sigue cumpliendo el Teorema de Euler.
- c) ¿Qué tipo de polígonos forman las caras del nuevo trofeo?
Sólidos semejantes
Dos sólidos son semejantes si uno es una ampliación del otro con un factor de escala $k$. Cada longitud (aristas, alturas, apotemas) se multiplica por $k$. Las áreas se multiplican por $k^2$ y los volúmenes por $k^3$.
¿Por qué? El área mide dos dimensiones, así que cada dimensión recibe un factor $k$: $k \cdot k = k^2$. El volumen mide tres dimensiones: $k^3$.
Si te dan la razón de volúmenes, trabaja al revés: $k = \sqrt[3]{\text{razón de volúmenes}}$. Un volumen 27 veces mayor significa $k = 3$.
Tenemos dos prismas rectos de base hexagonal regular que son semejantes. El primero tiene una altura de $10$ pulgadas y su área total es de $350$ $cm^2$. Si el segundo…
Tenemos dos prismas rectos de base hexagonal regular que son semejantes. El primero tiene una altura de $10$ pulgadas y su área total es de $350$ $cm^2$. Si el segundo prisma tiene un volumen que es exactamente $8$ veces el volumen del primero:
- a) ¿Cuál es la razón de semejanza $k$ entre ambos cuerpos?
- b) Calcula la altura y el área total del segundo prisma basándote en las relaciones de semejanza para áreas y volúmenes.
Troncos de pirámide
Corta una pirámide con un plano paralelo a su base. La pieza de arriba es una pirámide más pequeña semejante a la original. La pieza de abajo es un tronco de pirámide (frustum): una pirámide con la punta cortada.
Para hallar el volumen de un tronco, resta la pirámide pequeña de la completa:
$$V_{\text{tronco}} = V_{\text{pirámide completa}} - V_{\text{pirámide pequeña}}$$Los triángulos semejantes de la vista lateral dan la altura que falta: si la base de arriba es $b$ y la de abajo es $B$, entonces (altura pequeña) ÷ (altura completa) $= b \div B$.
Un trofeo tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de la base inferior miden $10 \text{ cm}$, las de la base superior $4 \text{ cm}$ y la…
Un trofeo tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de la base inferior miden $10 \text{ cm}$, las de la base superior $4 \text{ cm}$ y la altura del tronco es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de metal necesario para fundir este trofeo.
Sugerencia: Puedes usar la fórmula del volumen del tronco o considerar el tronco como la diferencia de dos pirámides.
Una pirámide cuadrangular regular tiene una altura de $24$ pulgadas y el área de su base es de $100$ $cm^2$. Se realiza un corte con un plano paralelo a la base a una…
Una pirámide cuadrangular regular tiene una altura de $24$ pulgadas y el área de su base es de $100$ $cm^2$. Se realiza un corte con un plano paralelo a la base a una altura de $12$ pulgadas desde el vértice (es decir, por el punto medio de la altura).
- a) Calcula la arista de la base del tronco de pirámide superior.
- b) Calcula el volumen del tronco de pirámide inferior resultante tras retirar la parte superior.
Sólidos compuestos y simetría
Muchos objetos reales son dos sólidos pegados o un sólido al que se le quitó una pieza.
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Sólidos unidos: suma los volúmenes. Para el área de la superficie, suma todas las caras, excepto las caras que están pegadas (quedan ocultas).
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Sólido con un hueco: resta el volumen del hueco. Para el área de la superficie, quita la abertura de la cara exterior y suma las paredes del hueco.
Un plano de simetría corta un sólido en dos mitades que son imágenes reflejadas una de la otra. Algunos ejemplos:
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Una caja que no es un cubo tiene 3 planos de simetría.
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Un cubo tiene 9.
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Una pirámide cuadrada regular tiene 4, todos verticales.
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Un prisma triangular regular tiene 4: tres planos verticales y un plano horizontal a media altura.
Cuando apilas sólidos, solo sobreviven los planos que funcionan para ambas partes y para la figura completa. Un plano horizontal deja de ser plano de simetría si la parte de arriba y la de abajo del objeto son distintas.
Un bloque de granito tiene forma de ortoedro de dimensiones $40 \times 40 \times 100$ pulgadas. Un escultor quiere tallar un hueco en su interior con forma de pirámide…
Un bloque de granito tiene forma de ortoedro de dimensiones $40 \times 40 \times 100$ pulgadas. Un escultor quiere tallar un hueco en su interior con forma de pirámide cuadrangular cuya base coincida con una de las caras de $40 \times 40$ pulgadas y cuyo vértice llegue exactamente al centro de la cara opuesta.
- a) Calcula el volumen de granito que queda tras extraer la pirámide.
- b) Calcula el área de la superficie total del cuerpo resultante (incluyendo las paredes interiores del hueco piramidal).
Se construye una pieza mecánica uniendo un cubo de arista $a = 6$ pulgadas y una pirámide regular cuya base coincide con una de las caras del cubo. Se sabe que el…
Se construye una pieza mecánica uniendo un cubo de arista $a = 6$ pulgadas y una pirámide regular cuya base coincide con una de las caras del cubo. Se sabe que el volumen total de la pieza es de $288$ $cm^3$.
- a) Calcula la altura de la pirámide.
- b) Calcula la distancia máxima entre el vértice de la pirámide y cualquiera de los vértices de la base inferior del cubo.
- c) ¿Cuántos planos de simetría tiene esta pieza compuesta?
Volvamos al principio: un balón de futbol clásico es un icosaedro truncado: 12 pentágonos regulares y 20 hexágonos regulares. Eso da $F = 32$ caras. Cada uno de los 60 vértices está en 3 caras, y cada una de las 90 aristas pertenece a 2 caras. Comprobación: $32 + 60 = 92 = 90 + 2$ ✓. La fórmula de Euler funciona, incluso en un balón de futbol. (La presión del aire infla las caras planas, así que el balón real es "casi" un poliedro.)