Ecuaciones cuadráticas
Una caja para guardar videojuegos tiene una base cuadrada con un área de 144 pulgadas cuadradas. ¿Cuánto mide cada lado? Necesitas un número $x$ tal que $x^2 = 144$. Esa es una ecuación cuadrática, porque la incógnita está elevada al cuadrado. Una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones, una solución o ninguna. Además, hay una fórmula que las resuelve todas.
Forma estándar
¿Por qué $a \neq 0$? Si $a = 0$, el término $x^2$ desaparece y te queda una ecuación lineal.
La gráfica de $y = ax^2 + bx + c$ es una parábola. Las soluciones de $ax^2 + bx + c = 0$ son los puntos donde la parábola cruza el eje $x$. Mueve los deslizadores y observa cuántos cruces hay:
Para cada una de las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifica los coeficientes $a$, $b$ y $c$ e indica si se trata de una ecuación completa o incompleta: a)…
Para cada una de las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifica los coeficientes $a$, $b$ y $c$ e indica si se trata de una ecuación completa o incompleta:
- a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
- b) $2x^2 - 32 = 0$
- c) $x^2 + 8x = 0$
- d) $3 - x^2 + 2x = 0$
Ecuaciones incompletas: $ax^2 + c = 0$
Cuando falta el término del medio, puedes resolver sin ninguna fórmula. Despeja $x^2$ y luego saca la raíz cuadrada.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$. Recuerda que si el resultado de la raíz cuadrada no es un número real, debes…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$. Recuerda que si el resultado de la raíz cuadrada no es un número real, debes indicarlo:
- a) $x^2 - 25 = 0$
- b) $3x^2 - 12 = 0$
- c) $x^2 + 16 = 0$
- d) $2x^2 = 50$
El área de la base cuadrada de una caja de almacenamiento para videojuegos es de $144\text{ cm}^2$. Calcula cuánto mide el lado de la base planteando una ecuación de…
El área de la base cuadrada de una caja de almacenamiento para videojuegos es de $144\text{ cm}^2$. Calcula cuánto mide el lado de la base planteando una ecuación de segundo grado.
Ecuaciones incompletas: $ax^2 + bx = 0$
Cuando falta el término constante, factoriza el máximo común divisor (MCD), que aquí incluye a $x$. Luego usa la propiedad del producto cero: si un producto es igual a $0$, al menos un factor es $0$.
Si una ecuación tiene el término $x^2$ en un lado y el término $x$ en el otro (como $3x^2 = 6x$), primero pasa todo a un lado para que el otro lado sea $0$.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante la extracción de factor común: a) $x^2 - 7x = 0$ b) $2x^2 + 10x = 0$ c)…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante la extracción de factor común:
- a) $x^2 - 7x = 0$
- b) $2x^2 + 10x = 0$
- c) $3x^2 = 6x$
- d) $x^2 + x = 0$
Si al cuadrado de un número entero le sumamos su triple, obtenemos como resultado cero. ¿De qué números podría tratarse? Plantea la ecuación y halla las posibles…
Si al cuadrado de un número entero le sumamos su triple, obtenemos como resultado cero. ¿De qué números podría tratarse? Plantea la ecuación y halla las posibles soluciones.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más rápido (extracción de factor común o despeje directo de la raíz): a)…
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más rápido (extracción de factor común o despeje directo de la raíz):
- a) $4x^2 - 100 = 0$
- b) $3x^2 + 15x = 0$
- c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
- d) $5x^2 = 2x$
La fórmula cuadrática
Para una ecuación completa $ax^2 + bx + c = 0$, usa esta fórmula:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$El $\pm$ da dos soluciones: una sumando la raíz cuadrada y otra restándola. (La fórmula sale de reescribir la ecuación general completando el cuadrado, así que funciona para toda ecuación cuadrática.)
Si el número bajo la raíz no es un cuadrado perfecto, deja la raíz en tu respuesta o redondea. Para $x^2 - 4x + 1 = 0$: $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 3.73$ o $0.27$.
Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones completas: a) $x^2 - 6x + 8 = 0$ b)…
Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones completas:
- a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
- b) $x^2 + x - 12 = 0$
Comprobar soluciones y coeficientes desconocidos
Una solución es un valor de $x$ que hace verdadera la ecuación. Para probar un valor, sustitúyelo y mira si ambos lados coinciden. No necesitas resolver nada.
Esto también te permite hallar un coeficiente que falta: si conoces una solución, sustitúyela y despeja la incógnita.
Comprueba, sin resolver la ecuación, si los valores de $x$ propuestos son solución de la igualdad $x^2 - 4x + 3 = 0$: a) $x = 1$ b) $x = 0$ c) $x = 3$ d) $x = -1$
Comprueba, sin resolver la ecuación, si los valores de $x$ propuestos son solución de la igualdad $x^2 - 4x + 3 = 0$:
- a) $x = 1$
- b) $x = 0$
- c) $x = 3$
- d) $x = -1$
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 + kx + 12 = 0$, calcula el valor del coeficiente $k$ sabiendo que una de las soluciones de la ecuación es $x = 3$. Una vez…
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 + kx + 12 = 0$, calcula el valor del coeficiente $k$ sabiendo que una de las soluciones de la ecuación es $x = 3$. Una vez encontrado $k$, halla la otra solución de la ecuación.
Primero, a la forma estándar
Muchas ecuaciones no parecen cuadráticas a primera vista. Desarrolla, elimina fracciones, combina términos semejantes y pasa todo a un lado. Dos herramientas te ayudan:
Para eliminar fracciones, multiplica todos los términos de ambos lados por el mcm de los denominadores.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado simplificando primero las expresiones algebraicas mediante el desarrollo de las identidades notables: $$(2x - 3)^2 - (x +…
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado simplificando primero las expresiones algebraicas mediante el desarrollo de las identidades notables:
$$(2x - 3)^2 - (x + 1)^2 = -5$$Recuerda que para aplicar la fórmula general, primero debes reducir la ecuación a la forma $ax^2 + bx + c = 0$.
Resuelve la siguiente ecuación operando previamente para simplificar los miembros y utilizando las identidades notables donde sea necesario:…
Resuelve la siguiente ecuación operando previamente para simplificar los miembros y utilizando las identidades notables donde sea necesario:
$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$
El discriminante: ¿cuántas soluciones?
La expresión bajo la raíz cuadrada, $\Delta = b^2 - 4ac$, se llama discriminante. Te dice cuántas soluciones reales hay sin resolver.
| $\Delta = b^2 - 4ac$ | Soluciones reales |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dos soluciones distintas |
| $\Delta = 0$ | Una solución (raíz repetida): $x = -\dfrac{b}{2a}$ |
| $\Delta < 0$ | Ninguna solución real (un número negativo no tiene raíz cuadrada real) |
El discriminante también sirve cuando una ecuación tiene un parámetro desconocido.
También pueden pedirte que no haya soluciones reales. Entonces necesitas $\Delta < 0$, lo que da una desigualdad (también llamada inecuación) para la incógnita.
Calcula el valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada ecuación e indica si tiene dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real (no es necesario…
Calcula el valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada ecuación e indica si tiene dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real (no es necesario que calcules las soluciones):
- a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
- b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
- c) $x^2 - 5x - 1 = 0$
Estudia el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) de las siguientes ecuaciones y determina, sin resolverlas, cuántas soluciones reales tiene cada una. Justifica tu…
Estudia el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) de las siguientes ecuaciones y determina, sin resolverlas, cuántas soluciones reales tiene cada una. Justifica tu respuesta en cada caso:
- a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
- b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
- c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$
¿Qué valor debería tomar el término independiente en la ecuación a) para que de repente no tuviera solución?
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina qué valores debe tomar el parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (solución…
Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina qué valores debe tomar el parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (solución doble).
Ecuaciones de forma cuadrática
En $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ solo aparecen $x^4$ y $x^2$. Usa una sustitución: sea $t = x^2$, así que $x^4 = (x^2)^2 = t^2$. En algunos problemas estas ecuaciones se llaman bicuadráticas.
Las ecuaciones bicuadradas se pueden resolver haciendo un cambio de variable $t = x^2$. Utiliza esta técnica para encontrar las cuatro soluciones reales de la siguiente…
Las ecuaciones bicuadradas se pueden resolver haciendo un cambio de variable $t = x^2$. Utiliza esta técnica para encontrar las cuatro soluciones reales de la siguiente ecuación:
$$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$$Ecuaciones con $x$ en el denominador
Cuando la incógnita está en un denominador, multiplica por el mcm de los denominadores para eliminarlo. Esto suele producir una ecuación cuadrática. Pero un denominador nunca puede ser $0$, así que anota qué valores de $x$ no están permitidos y revisa tus respuestas con esa lista.
El siguiente ejemplo es un clásico: los problemas de trabajo. Si un trabajo toma $x$ horas hecho por una sola persona, cada hora se termina $\dfrac{1}{x}$ del trabajo. Las tasas (trabajos por hora) de dos personas se suman.
Resuelve la siguiente ecuación. Para ello, busca el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminar las incógnitas de los mismos y comprueba que las soluciones…
Resuelve la siguiente ecuación. Para ello, busca el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminar las incógnitas de los mismos y comprueba que las soluciones obtenidas no anulan ningún denominador:
$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$
Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $2$ horas en completar una maqueta compleja. Si trabajasen por separado, la impresora más antigua tardaría $3$ horas más que…
Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $2$ horas en completar una maqueta compleja. Si trabajasen por separado, la impresora más antigua tardaría $3$ horas más que la impresora nueva. ¿Cuánto tiempo tardaría cada una en hacer la maqueta en solitario? (Ayuda: recuerda que el trabajo realizado en una hora es la inversa del tiempo total).
Problemas de números y de triángulos
En los problemas con palabras, nombra la incógnita, escribe la ecuación, resuélvela y luego descarta las soluciones que no tengan sentido: una longitud negativa, un número fraccionario de personas, etc.
En un triángulo rectángulo, usa el teorema de Pitágoras: $\text{cateto}^2 + \text{cateto}^2 = \text{hipotenusa}^2$. Si los lados son tres enteros consecutivos, llámalos $x$, $x + 1$, $x + 2$. La hipotenusa es el lado más largo, así que es $x + 2$:
$$x^2 + (x + 1)^2 = (x + 2)^2$$El producto de dos números naturales consecutivos es igual a su suma aumentada en $19$ unidades. ¿De qué números estamos hablando? Pista: Recuerda que si el primer…
El producto de dos números naturales consecutivos es igual a su suma aumentada en $19$ unidades. ¿De qué números estamos hablando?
Pista: Recuerda que si el primer número es $x$, su consecutivo se expresa como $x + 1$.
Calcula las dimensiones de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados son tres números enteros consecutivos.
Calcula las dimensiones de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados son tres números enteros consecutivos.
Problemas de área
Para rectángulos, escribe cada lado con la incógnita y usa $\text{área} = \text{largo} \times \text{ancho}$. Un borde de ancho $x$ alrededor de un rectángulo agrega $x$ en ambos lados, así que cada dimensión aumenta $2x$.
Dividir todos los términos entre un factor común (como el $2$ de arriba) hace los números más pequeños y la fórmula más fácil.
Un programador de videojuegos está diseñando una interfaz para una nueva aplicación. Necesita crear un botón rectangular cuya base sea $5\text{ cm}$ más larga que su…
Un programador de videojuegos está diseñando una interfaz para una nueva aplicación. Necesita crear un botón rectangular cuya base sea $5\text{ cm}$ más larga que su altura. Si el área total que debe ocupar el botón en la pantalla es de $84\text{ cm}^2$, ¿cuáles deben ser las dimensiones (base y altura) del botón?
Plantea una ecuación de segundo grado y resuélvela.
Queremos colocar un marco de madera de ancho constante $x$ alrededor de una fotografía rectangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Si sabemos que el área total…
Queremos colocar un marco de madera de ancho constante $x$ alrededor de una fotografía rectangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Si sabemos que el área total (foto más marco) debe ser de $300\text{ cm}^2$, ¿cuál debe ser el ancho $x$ del marco?
Una empresa de diseño paisajístico quiere rodear una piscina rectangular de $8 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho con un borde de césped artificial de…
Una empresa de diseño paisajístico quiere rodear una piscina rectangular de $8 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho con un borde de césped artificial de anchura uniforme $x$. Si el área total del recinto (piscina más borde de césped) debe ser exactamente de $80 \text{ m}^2$, calcula cuánto debe medir la anchura $x$ del borde.
Problemas con dos incógnitas
A veces un problema tiene dos incógnitas ligadas por dos datos. Usa el dato más sencillo (normalmente una suma o un perímetro) para escribir una incógnita en términos de la otra, y luego sustituye en el segundo dato.
Se dispone de un cable de $40 \text{ cm}$ de longitud que se corta en dos trozos para formar dos cuadrados diferentes. Si la suma de las áreas de los dos cuadrados es de…
Se dispone de un cable de $40 \text{ cm}$ de longitud que se corta en dos trozos para formar dos cuadrados diferentes. Si la suma de las áreas de los dos cuadrados es de $58 \text{ cm}^2$, ¿cuánto mide el lado de cada uno de estos cuadrados?
Modelos de altura
Un objeto lanzado sigue una parábola. Su altura $h$ en el tiempo $t$ es una expresión cuadrática en $t$. Para hallar cuándo está a cierta altura, iguala la fórmula a esa altura y resuelve.
Un dron de vigilancia despega y sigue una trayectoria cuya altura en pies respecto al tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcula en…
Un dron de vigilancia despega y sigue una trayectoria cuya altura en pies respecto al tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcula en qué instantes de tiempo el dron se encuentra exactamente a $53 \text{ metros}$ de altura.
De vuelta al principio: Para la caja de videojuegos, $x^2 = 144$ da $x = \pm\sqrt{144} = \pm 12$. La longitud de un lado no puede ser negativa, así que cada lado de la base mide exactamente $12$ pulgadas.